专题01 数据分析与统计估计（知识&考点&公式&5高频&3易错&4重难&4模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

专题01 数据分析与统计估计 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(8类) 公式清单(1类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01  算术平均数 1.概念：一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比值，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作，读作 “x 拔”,即． 2.意义：算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平． 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数． 3.拓展结论：若；． 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±； ②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（±）． ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b． 【易错提醒】 计算时数据个数不能遗漏，单位要统一．分组数据用组中值计算时，需乘以对应频数再除以总数．勿与加权平均数混淆． 知识点02 加权平均数 1.概念：已知n个数x1，x2，…，xn，若ω1，ω2，…，ωn为一组正数，则把叫做n个数x1，x2，…，xn的加权平均数．ω1，ω2 ，…，ωn分别叫作这n个数的权重． 【易错提醒】权可以是次数、比例或百分比，权相加不一定为1，计算时勿忘除以权的总和．勿与算术平均数混淆． 知识点03  中位数 1.概念：一般地,将n个数据按大小顺序排列,若n 为奇数,则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数；若n为偶数,则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数. 2.意义：中位数是一种位置量数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平． 知识点04  众数 1.概念：一般地,把一组数据中出现次数最多的数据叫作众数.一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数. 2.意义：当一组数据中有较多的重复数据时,可以用众数作为这组数据的代表值. 注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量． 【易错提醒】众数是一组数据中出现次数**最多**的数据（可能不止一个或多个）．注意：不能把“次数”当作众数，如数据1，2，2，3中众数是2（数值），不是2次．当所有数出现次数相同时，没有众数，勿误认为所有数都是． 知识点05  四分位数、箱线图 1.四分位数：一般地,用 m50 表示一组数据的中位数,那么,中位数把这组数据分为两组,用 m25 和 m75 分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.这样,m25,m50,m75 这三个数就把这组数据分为个数相等的四组,这三个数叫作这组数据的四分位数.其中,m25,m50,m75 分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 2.箱线图：为了直观地表示两组数据,便于对比它们的整体分布情况,还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值,绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形,从而得到箱线图. 3.意义：用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图． 4.画法：先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间．箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响． 【易错提醒】四分位数与箱线图易错警示：先排序，下四分位数（Q1）为第25%位置，上（Q3）为第75%．箱线图五数（最小、Q1、中位、Q3、最大）．注意：若数据个数为偶数，中位数取平均；Q1/Q3按位置法或插值法，可能不同，需明确规则． 知识点06   方差、离差平方和 1.概念：设n个数据x1,…,xn 的平均数为,各数据与平均数偏差的平方分别是 .偏差平方的平均数叫作这组数据的方差,用s2表示,即 .我们称 为这组数据的离差平方和. 2.意义：当一组数据分布比较分散时,方差较大;当一组数据分布比较集中时,方差较小.因此,方差的大小反映了这组数据的离散程度(或波动程度). 3.拓展结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2． 知识点07   数据的分类 1.组内离差平方和与组间离差平方和 设一组数据为 ，将这组数据分成两组，第一组为 ，第二组为 .称 为组内离差平方和（简称组内差）， 为组间离差平方和（简称组间差），则有 其中 是全体数据的离差平方和. 知识点08   样本推断总体 1.用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差 用样本估计总体是统计的基本思想，一般常用样本的某种特征去估计总体的相应特征.总体的平均数和方差是最重要的两个数字特征，在统计学中，常用样本平均数估计总体平均数，常用样本方差估计总体方差. 考点01 算术平均数 考点内容：n个数据的总和除以数据总个数得到算术平均数，记作 ，反映数据的整体集中趋势；受所有数据影响，极端值会明显干扰结果；数据偏大时可通过减去常数a的简化公式快速计算. 常见考法： ①直接计算给定数据的平均数； ②已知平均数反推缺失数据； ③利用平均数做简单决策； ④结合实际测量场景，用多次测量的平均数估计真实值. 考点02 加权平均数 考点内容：数据的整体平均水平不仅和数值有关，还和对应“权重”相关；权重可以是次数、比例、百分比等形式；算术平均数是所有权重相等的特殊加权平均数. 常见考法： ①按给定比例（如成绩2:3:5占比）计算加权得分； ②结合招聘评分、比赛打分场景，用加权平均数做人员选拔决策； ③判断不同权重对最终结果的影响差异. 考点03 中位数 考点内容：将数据按大小排序后，奇数个数据取中间位置的数，偶数个数据取中间两个数的平均数；中位数唯一，不受极端值影响，代表数据的中间水平. 常见考法： ①直接计算一组数据的中位数； ②结合“去掉最高分最低分”的比赛评分场景，判断统计量的稳定性； ③利用中位数分析数据的中间分布特征. 考点04 众数 考点内容：一组数据中出现次数最多的数值；众数一定出现在数据中，可能有多个，也可能没有众数；适合反映高频重复数据的集中趋势. 常见考法： ①找出给定数据的众数； ②结合商品销量、尺码统计场景，用众数做进货、生产决策； ③区分“众数”和“众数出现的次数”两个易混概念. 考点05 集中趋势统计量的综合选择 考点内容：平均数利用全部数据信息，应用最广但易受极端值干扰；中位数抗极端值能力强，仅反映中间位置；众数侧重高频数据，适合重复数据多的场景. 常见考法： ①结合实际场景判断选用哪种统计量更合理； ②对比三个统计量在极端值变化时的稳定性差异； ③分析不同统计量的优缺点和适用边界. 考点06 四分位数与箱线图 考点内容：将有序排列的数据平均分为四段，25%、50%、75%分位数统称为四分位数；箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个关键值绘制，可直观展示数据分布. 常见考法： ①计算给定数据的三个四分位数； ②根据五个关键值补全箱线图； ③通过箱线图对比多组数据的集中程度、整体水平和分布差异. 考点07 方差与离差平方和 考点内容：方差是各数据与平均数偏差平方的平均值，衡量数据的整体波动程度，方差越小数据越稳定；离差平方和是所有偏差平方的总和，可延伸出组内离差平方和、组间离差平方和的分类应用. 常见考法： ①直接计算一组数据的方差； ②已知方差反推缺失数据； ③结合运动员成绩、产品质量检测场景，用方差判断稳定性； ④按“组内离差平方和最小”的原则对数据合理分组. 考点08 用样本估计总体 考点内容：统计核心思想，用样本的平均数、方差、百分比、频数等特征，推断总体的对应特征，是统计推断的基础. 常见考法： ①用样本中某类数据的占比，估计总体中该类数据的总数量； ②用样本平均数、方差直接估计总体的对应特征； ③结合抽样调查场景，计算总体中特定群体的预估人数. 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 算术平均数 n为数据总个数， 读作“x拔”，反映数据整体集中趋势 2 加权平均数 = 为对应数据的权重，权重可以是次数、比例、百分比 3 中位数 排序后奇数个数据取第位数值；偶数个数据取第位与第+1位的平均值 不受极端值影响，代表数据的中间水平 4 极差 数据最大值减去最小值，是最简单的离散程度统计量 5 离差平方和 所有数据与平均数偏差的平方总和 6 方差 衡量数据整体波动幅度，数值越小数据越稳定 7 线性变换方差性质 新数据ax+b的方差为a2s2 常数项b不改变方差大小，方差仅和系数的平方相关 8 总体特征估计 总体预估总数 = 总体容量 × 样本特征占比 用样本特征推断总体特征，是统计估计的核心公式 辨析01 集中趋势统计量的本质属性辨析 平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的统计量，但三者的适用场景和计算逻辑完全不同，不能随意混用。平均数利用全部数据信息，易受极端值干扰；中位数仅反映数据中间位置，抗极端值能力强；众数侧重高频重复数据，适合偏态分布场景。 辨析02 加权平均数的“权重”不能直接忽略 计算加权平均数时，不能直接对所有数据求算术平均，权重代表数据的重要性、频次或占比，直接决定最终结果的合理性。比如计算年度平均不良率时，必须以各季度产量作为权重，不能直接对各季度不良率求算术平均，否则结果会严重偏离真实水平。 辨析03 “两边之差小于第三边”的统计版：方差与标准差的单位差异 方差的单位是原始数据单位的平方，仅用于数学推导和波动程度的相对比较；标准差单位与原始数据完全一致，可直接用来解释实际数据的波动幅度。不能直接用方差数值描述数据的实际离散程度，否则会出现单位不匹配的理解障碍。 辨析04 判断样本能否代表总体，不必盲目追求大样本量 只要抽样方法科学、样本具备代表性，小样本也能合理估计总体；反之样本量再大，抽样存在偏差也无法得到可靠结论。 比如街头随机采访的大样本，若覆盖人群存在明显偏向，依然不能代表全群体的真实观点。 辨析05 求出统计估计结果后必须做合理性检验 比如用样本均值估计总体均值后，必须结合实际业务场景校验结果是否在合理范围内，不能直接将计算结果当成绝对真实值。 例如估算某地区人均月收入时，若计算结果明显超出当地经济发展的合理区间，说明抽样或计算过程一定存在错误。 【题型一】平均数的计算及应用 【例1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【详解】解：由统计图可知，评9分的人数为（人）， 则901班平均得分（分）． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级下·河北保定·期末）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（     ） A．元 B．元 C．元 D．8元 【答案】B 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）. 【变式1-2】（25-26八年级下·云南临沧·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩（单位：分）如下表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 乙 如果公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，则被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．两人均可能 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵笔试成绩与面试成绩同等重要， 甲的平均成绩为（分），乙的平均成绩为（分）， ∴两人平均成绩相同， 两人均可能被录用． 【题型二】利用众数和中位数求值 【例2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【答案】C 【详解】解：原个数据中各分数的出现次数为：分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次， ∴原数据的众数为分和分， ∵分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是分，故A选项不符合题意； ∵去掉分或分后，分和分的出现次数仍均为次，众数不变，故B、D选项不符合题意， ∵去掉个分后，分出现次，分仍出现次，众数变为分，发生改变，故C选项符合题意． 【变式2-1】某中学篮球队名队员的年龄情况如下： 年龄（单位：岁） 人数 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵年龄14岁有2人，15岁有4人，16岁有3人，17岁有2人，18岁有2人， ∴出现次数最多的年龄是15岁，故众数为15； ∵总人数为13，为奇数， ∴中位数是第7个年龄； ∵按年龄从小到大排列，第个为14岁，第个为15岁，第个为16岁， ∴第7个年龄为16岁，故中位数为16． ∴众数和中位数分别为15和16． 故选：C． 【变式2-2】（2026·河北邢台·模拟预测）某班举办“近视防控”主题知识问答活动（共5道题，答对一题得2分，答错或不答不得分）．将全班48名学生的成绩进行统计，制作成如图所示的扇形统计图（不完整）．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（     ） A．全班48名学生成绩为6分的有16人 B．“4分”所在扇形的圆心角的度数为 C．全班48名学生成绩的众数一定是6分 D．全班48名学生成绩的中位数可能是4分 【答案】D 【详解】解：A、全班48名学生成绩为6分的有（人），故A正确； B、“4分”所在扇形的圆心角的度数为，故B正确； C、∵扇形统计图中6分的圆心角最大， ∴全班48名学生成绩中6分的人数最多， ∴全班48名学生成绩的众数一定是6分，故C正确； D、全班48名学生成绩为8分的有（人），4分的有（人）， ∴8分的人数和6分的人数和为（人） ∴从大到小排列后，中间的两个数为第24名和第25名，分别为6分和6分， ∴全班48名学生成绩的中位数是（分），故D错误． 【题型三】求四分位数 【例3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【答案】B 【详解】解：将原数据从小到大排序得，33，34，40，44，44，46，48，53， 方法一：数据总个数为8， 第一四分位数为前半部分的数的中位数， 这组数据的第一四分位数是； 方法二：数据总个数为8， ∴， 这组数据的第一四分位数是． 【变式3-1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将数据从小到大排序为 方法一：，第一四分位数为第个与第个数据的平均数，即； 方法二：第一四分位数为这四个数据的中位数，即． 【变式3-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组被墨水污染的数据：，，，，，★，★，，，，，，其箱线图如图所示．则这组数据的第一四分位数和平均数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据箱线图可确定第一四分位数，以及最小数和最大数，则可得到被污染的两个数，再根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，这组数据的第一四分位数为4，最小数为3，最大的数为18 ∴这两个被污染的数为3和18， ∴这组数据的平均数为． 【题型四】方差的应用 【例4】（25-26八年级下·河北唐山·期末）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】方差越小，则成绩越稳定，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴丁的成绩最稳定． 【变式4-1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【答案】D 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 【变式4-2】（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学知识竞赛，下表记录了各组几轮知识模拟比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加竞赛，则应选择的小组是（     ） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 95 96 96 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【详解】解：∵丙、丁的平均数为，高于甲的和乙的， ∴成绩较好的小组为丙和丁， 又∵丁的方差为，小于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴丁组成绩好且状态稳定，应选择丁组． 【题型五】利用样本估计总体求值 【例5】去年某校有1200人参加中考，为了了解他们的数学成绩．从中抽取200名考生的数学成绩，其中有80名考生达到优秀，那么该校考生数学成绩达到优秀的有（    ） A．400名 B．450名 C．480名 D．500名 【答案】C 【详解】解：∵抽取200名考生的数学成绩，其中有80名考生的数学成绩达到优秀， ∴该校考生的优秀率是：， ∴该校考生数学成绩达到优秀的约有：（名）； 故选：C． 【变式5-1】（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）某厂加工了400个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.3，49.8，50.0，50.0，50.7，50.2，49.9，50.1，49.0，50.2．当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这400个工件中一等品的个数是（     ） A．320 B．360 C．50 D．80 【答案】A 【详解】解：∵ 随机抽取的10个工件中，满足的工件共有8个， ∴ 估计400个工件中一等品的个数为． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ， 故选：C． 【题型一】混淆平均数和加权平均数 【例1】某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是 _______分． 【答案】93 【详解】解：根据题意，八一班的最终成绩是：（分）． 易错警示 加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆. 【变式1-1】在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为，为使前4场的平均得分为，第四场他应得 ________分． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，，即第四场他应得. 【变式1-2】某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为___分． 【答案】9 【详解】解：由题意可得，（分）. 【题型二】求众数和中位数时忽略排序直接数 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）从小到大排列的一组数据：2，3，5，x，7，11，中位数为6，则这组数据的众数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵这组数据共个数，个数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数， ∴中位数等于排序后第个数与第个数的平均数， 已知中位数为，可得第个数与第个数的和为， 这组数据中位于中间的两个数一定为和， ∴ ，解得， ∴这组数据为， ∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数为，故选C． 易错警示 要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错. 【变式2-1】某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：，，，，，这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．， B．， C．5.0， D．， 【答案】D 【详解】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，排在中间的数是， 故中位数是； 这组数据中出现的次数最多， 故众数为． 故选：D． 【变式2-2】（2026·山东淄博·二模）如下表为淄博市高青县城区某周7天的最高气温，这组数据的中位数与众数分别为（     ） 日期 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 最高温度℃ 15 16 18 13 11 12 13 A．14，13 B．13，14 C．14，14 D．13，13 【答案】D 【详解】解：将这7天的最高气温从小到大排列，得： ∵数据个数为7，是奇数，中位数为排序后中间位置的数，即第个数， ∴这组数据的中位数为 ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中出现的次数最多，共出现2次 ∴这组数据的众数为 因此这组数据的中位数与众数分别为， 【题型三】含参求“三数”忽略分类讨论 【例3】（2026·黑龙江双鸭山·二模）一组数据的中位数与平均数相同，则的值为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分三种情况进行讨论， ①当时，平均数，中位数， 可得：，解得：， ②当时，平均数，中位数， 可得：，解得：， ③当时，平均数，中位数， 可得：，解得：，（不合题意，舍去）， ∴可取． 易错警示 在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论．其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决. 【变式3-1】已知数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，如果这组数据有唯一的众数，那么a的值为______． 【答案】4 【详解】解：∵数据4，4，6，6，8，a有唯一的众数， ∴或， 当时，这组数据从小到大排列为4，4，4，6，6，8，则这组数据的中位数为，符合题意； 当时，这组数据从小到大排列为4，4，6，6，6，8，则这组数据的中位数为，不符合题意； ∴， 【变式3-2】已知一组数据有唯一众数，那么这组数据的中位数是__________． 【答案】或0/0或 【详解】解：∵数据有唯一众数， ∴x等于或1， 当时，中位数为， 当时，中位数为0. 【变式3-3】若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是_____________ ． 【答案】或4或9 【详解】解：平均数：.当，则一组数据从小到大排序得x，2，3，5，6， 此时中位数为.因为平均数与中位数相同，则.解得，满足条件； 当，则一组数据从小到大排序得2，x，3，5，6，此时中位数为. 因为平均数与中位数相同，则.解得，不满足条件，故舍去； 当，则一组数据从小到大排序得2， 3，x，5，6，此时中位数为. 因为平均数与中位数相同，则解得，满足条件； 当，则一组数据从小到大排序得2， 3，5，x，6，此时中位数为 因为平均数与中位数相同，则解得，不满足条件，故舍去； 当，则一组数据从小到大排序得2，3，5，6，x， 此时中位数为 因为平均数与中位数相同，则.解得，满足条件； 综上：实数x的值可以是或4或9. 【题型一】已知平均数求未知数据的值 【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴． ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）若数据8，7，7，6，5，5，x的平均数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵数据8，7，7，6，5，5，x的平均数是6，且共有7个数据， ∴数据总和为． ∵已知数据8、7、7、6、5、5之和为， ∴， ∴所有数据为：8，7，7，6，5，5，4． 将数据从小到大排序：4，5，5，6，7，7，8． ∵数据个数为7，中位数为第4个数据， ∴中位数为6． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据5，7，4，m，6，8的平均数为6，则这组数据的方差是（   ） A． B． C．2 D．10 【答案】A 【详解】解：数据5，7，4，m，6，8的平均数为6， 故总和为， ， 解得， 所以这组数据的方差为， 故选：A． 【变式1-3】 一组数据：-1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】根据题意得： 解得 则这组数的众数为3． 故选：C． 【题型二】利用中位数求未知数据的值 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵ 原数据从小到大排列为 ，共个数据，添加 个数后总共有个数据， ∴ 新数据的中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由中位数为 可得 ，即 第3个数据第4个数据， ∵ 结合原数据排序可知，若中位数为，则第个数据为， ∴ 第个数据为 ，因此添加的数是． 【变式2-1】一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m， ∴数据按大小排序为：1，2，m，m，5，7， ∴整数m可能是2，3，4，5， ∴整数m可能的值有4个． 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟.初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示.为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计.若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（   ） A．2.8分钟，3.7分钟 B．2.0分钟，3.0分钟 C．3.6分钟，4.2分钟 D．4.3分钟，4.5分钟 【答案】A 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在3.5分钟以下，其中编号2的选手演讲时长为3.5分钟，编号为1、5的选手演讲时长在3.5分钟以上，则原来5名选手演讲时长从小到大排列，第3个数（中位数）等于3.5分钟， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为， A、，，则新增一个小于3.5的数和一个大于的数，中位数保持为，符合题意； B、，，新增两个数都小于，中位数变小，不符合题意； C、，，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； D、，，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意． 【变式2-3】为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（   ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：页和2页的人数和为14，中位数没有改变， 总人数不能超过27， ∵第二次抽查的同学，最少的练了3页， 第二次最多抽查：（人）； 故选：B． 【题型三】箱线图的应用 【例3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项说法正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项说法错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故C选项说法正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项说法正确． 【变式3-1】（25-26八年级下·河北衡水·期末）某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 【答案】D 【详解】解：观察箱线图可知： A产品评分的中位数高于7分，B产品评分的中位数低于7分， ∴A产品用户使用评分的中位数高于B产品，故①错误 由箱线图可知，A产品的箱体长度及须的长度均明显小于B产品， ∴A产品用户使用评分的波动较小，分布更集中，故②正确； ∴只有结论②正确． 【变式3-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【详解】解：由题意可知：三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 【变式3-3】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）小伟参加加弈围棋学生社团2026年度校园挑战赛；共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分制作了箱线图如图，下列说法正确的是（     ） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是分 C．有的比赛得分不高于分 D．比赛得分的第三四分位数是45分 【答案】C 【详解】解：A、由箱线图可知，比赛最高得分是55分，原说法错误，不符合题意； B、由箱线图可知，比赛得分的中位数是45分，原说法错误，不符合题意； C、由箱线图可知，比赛得分的下四分位数为分，故有的比赛得分不高于分，原说法正确，符合题意； D、由箱线图可知，比赛得分的第三四分位数是50分，原说法错误，不符合题意. 【题型四】离差平方和的应用 【例4】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【答案】B 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 【变式4-1】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（     ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 【答案】C 【详解】解：∵方案①第一组只有个数据，离差平方和为， 第二组数据为，第二组的平均数， ∴第二组的离差平方和为， ∴， 比较四个方案的组内离差平方和得 ， ∵组内离差平方和越小，组内同学成绩越接近，水平越一致， ∴方案③分组最合理． 【变式4-2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：， 最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 【题型一】集中趋势统计量计算模型 【模型解读】这是本章最基础的标准化解题流程，覆盖算术平均数、加权平均数、中位数、众数四类核心统计量的计算题型。第一步先完成数据排序预处理，第二步根据统计量定义代入对应公式计算，第三步结合场景判断统计量的合理性，避免极端值干扰结果。加权平均数需重点关注权重的分配逻辑，中位数计算必须先排序再取中间位置数值，众数是出现频次最高的原始数据而非频次本身 【结论1】算术平均数公式： 加权平均数公式：. 【结论2】奇数个数据的中位数取排序后第位数值，偶数个数据的中位数取排序后中间两个数的平均值. 【结论3】偏态分布场景下，优先用中位数或众数代表数据集中水平，避免被极端值拉偏的平均数误导. 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【答案】A 【详解】解：观察图形可知，小军、小华、小亮的投球成绩点主要分布在线的左侧， ∴他们的平均成绩明显小于， 而小伟的投球成绩点分布在线的两侧，且偏离程度较小， ∴小伟的平均成绩最接近． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图是我国古代的一种铜制货币，其中质量为的有2枚，的有2枚，的有1枚，则这组铜钱质量的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：这组铜钱质量的平均数为． 【变式1-2】（26-27九年级上·北京·开学考试）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（     ） A．2 B．24 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 【变式1-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（     ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 【答案】D 【详解】解：将原6个数据从小到大排序：，，，，，， 原平均数为， 原中位数为， 原众数为； 加入视力为的同学后，共7个数据，从小到大排序：，，，，，，， 新平均数为，与原平均数不同， 新中位数为第4个数，与原中位数相同， 新众数为，与原众数相同， 综上，集中趋势相同的是中位数和众数． 【题型二】离散程度分析模型 【模型解读】专门用于解决方差、离差平方和、四分位数与箱线图相关题型，核心是刻画数据的波动与分布特征。先计算数据的平均数，再代入方差公式计算离散程度，最后通过四分位数拆分数据分布区间，绘制箱线图直观对比多组数据的整体差异。该模型还覆盖数据分类场景，遵循“组内离差平方和最小”的原则完成分组. 【结论1】方差公式：，数据做ax+b线性变换后，新方差为原方差的a2倍，常数项b不改变离散程度. 【结论2】四分位数将排序后数据分为四等份，分别对应25%、50%、75%分位数，可直接用于绘制箱线图对比多组数据分布. 【结论3】离差平方和为所有数据与均值偏差的平方总和，分组时组内差最小等价于组间差最大. 【例2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【答案】B 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 【变式2-1】（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，前组数据为、后组数据为， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和． 【变式2-2】（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 【变式2-3】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑．根据创新评价体系，获得A，B两个团队12种同类科技产品的创新贡献率（单位：），并将这些数据整理后绘制成箱线图，如图所示．以下关于两个团队创新水平的评价错误的是（     ） A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图 A．团队A的科技产品创新贡献率的中位数明显高于团队B B．团队A的科技产品创新贡献率的最大值明显高于团队B C．团队B的科技产品创新贡献率的波动大于团队A D．团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数 【答案】C 【详解】解：A、A的科技产品创新贡献率的中位数是高于B的科技产品创新贡献率的中位数，正确； B、A的科技产品创新贡献率的最大值高于B的科技产品创新贡献率的最大值，正确； C、A科技产品创新贡献率的四分位数间距为，B科技产品创新贡献率的四分位间距为，，B科技产品更稳定，波动小，错误； D、团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数，正确． 【题型三】样本估计总体模型 【模型解读】这是本章高频综合大题的核心解题框架，完全贴合冀教版教材“用样本特征推断总体特征”的核心统计思想。第一步先计算样本的统计量（样本平均数、样本方差、样本中目标群体占比），第二步通过样本占比乘以总体总量，估算总体中对应特征的数量，第三步补充误差校验，确认估算结果符合实际业务逻辑 结论1：用样本平均数直接估计总体平均数，用样本方差直接估计总体方差，是初中阶段统计估计的标准方法. 结论2：总体中某类特征的估算数量 = 总体总量 × 样本中该类特征的占比. 结论3：样本量越大，抽样误差越小，对总体的估计精度越高，小样本估算结果不能直接作为绝对结论 【例3】近期有300人参加了某地举办的非遗传承项目—仡佬族印染的培训活动，活动结束，每位学员必须提交一件用所学技法制作的印染作品．组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为．根据抽查结果可以预测，这300名学员作品合格率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为， ∴合格率为， ∴估计300名学员作品合格率是． 故选：D． 【变式3-1】小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 示数（度） 98 103 108 112 117 121 根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（    ） A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度 【答案】D 【详解】解：（度）；故选D． 【变式3-2】（25-26八年级下·云南文山·期末）八（1）班开展“阳光体育活动”，为了解同学们对排球、乒乓球、篮球、足球四个项目的活动喜好，对全班学生进行调查，收集整理喜爱的活动项目（A：排球、B：乒乓球、C：篮球、D：足球）数据后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，该班的学生人数为（     ） A．40 B．46 C．50 D．56 【答案】A 【详解】解：（人）． 【变式3-3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）某小区随机抽取50名居民进行每天使用人工智能问答次数调查，将调查结果制成频数分布直方图，如图所示（每组包含最小值，不包含最大值）．以下说法错误的是（     ） A．该频数分布直方图的组距是2，组数是5 B．的居民每天使用人工智能问答不少于6次 C．每天使用人工智能问答次（不含6次）的居民最多 D．估计该小区2000名居民中每天使用人工智能问答次数次（不含4次）的居民大约有400人 【答案】B 【详解】解：A、由题意得，该频数分布直方图的组距是2，组数是5，原说法正确，不符合题意； B、，则的居民每天使用人工智能问答不少于6次，原说法错误，符合题意； C、由题意得，每天使用人工智能问答次（不含6次）的居民最多，原说法正确，不符合题意； D、估计该小区2000名居民中每天使用人工智能问答次数次（不含4次）的居民大约有人，原说法正确． 【题型四】 统计决策应用模型 【模型解读】适配本章所有实际应用类题型，比如比赛评分、产品选型、方案成本对比等场景。先明确决策目标，再筛选对应统计量作为决策依据，最后通过计算不同方案的统计指标完成优劣对比，得出最终决策结果. 结论1‌：比赛“去掉一个最高分、去掉一个最低分”的评分规则下，中位数一定不会发生改变，平均数、众数、方差都可能受极端值影响. 结论2‌：选择产品时，若两组数据平均数相同，优先选择方差更小的样本，代表产品质量更稳定. 结论3‌：多方案成本对比时，结合加权平均数计算总成本，可直接判定哪种方案的综合成本更低. 【例4】在学校举办的一场以“礼赞祖国感党恩，青春逐梦新时代”为主题的歌咏比赛中，为了避免评委因为主观因素而给出过高或者过低的分数，学校采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后计算各个选手的平均得分的评分方法．如果去掉一个最高分和一个最低分，以下数据一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：得分按从大到小或从小到大顺序排列后，去掉一个最高分和一个最低分，处于中间位置的数据不受影响，所以中位数不变．而平均数、众数、方差均与所有数据有关，可能会受到影响．故选：B． 【变式4-1】（25-26八年级下·山西朔州·期末）学校为丰富课后服务，开设了绘画、书法、篮球、足球等课后服务社团．学期末开展投票活动评选“最受欢迎的社团”，全体参与投票的学生每人一票，仅可选择一个社团．统计投票结果时，最需要关注的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】解：最受欢迎的社团应关注出现次数最多的数据，故最应关注众数． 【变式4-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意 【变式4-3】（25-26九年级上·云南玉溪·期末）某校在开展“书香校园”活动期间，对甲、乙、丙、丁四名同学一学年的图书借阅册数情况进行统计，整理得出四人平均每月借阅册数和方差，如下表所示： 同学 甲 乙 丙 丁 平均每月借阅册数 方差 根据表中数据，学校要评选“读书达人”，要求年借阅总册数多且借阅习惯稳定，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：∵年借阅总册数多要求平均每月借阅册数高，借阅习惯稳定要求方差小， ∴平均每月借阅册数：甲，乙，丙，丁，乙和丁最高；方差：乙，丁，乙更小， ∴乙平均册数高且方差小，应选择乙，故选：． 技巧 一句话要点 数据预处理优先排序 计算中位数前必须先给原始数据从小到大排序，跳过排序直接取数必错 加权平均数先找权重 遇到“占比、频次、产量”类关键词，立刻标记权重，不能直接求算术平均 众数判定看原始数值 众数是出现次数最多的原始数据，不是该数据出现的频次，可存在多个众数 方差计算不忘除以n 算完离差平方和后必须除以数据总个数，不能直接把平方和当成方差结果 线性变换直接套性质 数据做ax+b变换时，新方差直接用原方差乘a2，常数项完全不影响波动 偏态分布选对统计量 存在极端值时优先用中位数/众数描述集中趋势，避免被平均数误导 总体估计先算样本占比 估算总体某类特征总数时，先算出样本中该类的占比，再乘总体总容量 稳定性对比优先看方差 两组数据平均数相同时，方差越小代表数据波动越小、产品/成绩越稳定 比赛评分题抓不变量 去掉1个最高分+1个最低分，中位数一定不会改变，其余统计量大概率变化 相关关系不直接等同因果 两个变量数值同步变化不代表存在因果，要先排除第三方混淆因素 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据分析与统计估计 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(8类) 公式清单(1类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01  算术平均数 1.概念：一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比值，叫做这n个数的________，简称平均数，记作，读作 “x 拔”,即． 2.意义：算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平． 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数． 3.拓展结论：若；． 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±； ②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（±）． ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b． 【易错提醒】 计算时数据个数不能遗漏，单位要统一．分组数据用组中值计算时，需乘以对应频数再除以总数．勿与加权平均数混淆． 知识点02 加权平均数 1.概念：已知n个数x1，x2，…，xn，若ω1，ω2，…，ωn为一组正数，则把叫做n个数x1，x2，…，xn的________．ω1，ω2 ，…，ωn分别叫作这n个数的________． 【易错提醒】权可以是次数、比例或百分比，权相加不一定为1，计算时勿忘除以权的总和．勿与算术平均数混淆． 知识点03  中位数 1.概念：一般地,将n个数据按大小顺序排列,若n 为奇数,则把处于中间位置的数据叫作这组数据的______；若n为偶数,则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数. 2.意义：中位数是一种位置量数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平． 知识点04  众数 1.概念：一般地,把一组数据中出现次数最多的数据叫作________.一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数. 2.意义：当一组数据中有较多的重复数据时,可以用众数作为这组数据的代表值. 注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量． 【易错提醒】众数是一组数据中出现次数**最多**的数据（可能不止一个或多个）．注意：不能把“次数”当作众数，如数据1，2，2，3中众数是2（数值），不是2次．当所有数出现次数相同时，没有众数，勿误认为所有数都是． 知识点05  四分位数、箱线图 1.四分位数：一般地,用 m50 表示一组数据的中位数,那么,中位数把这组数据分为两组,用 m25 和 m75 分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.这样,m25,m50,m75 这三个数就把这组数据分为个数相等的四组,这三个数叫作这组数据的________.其中,m25,m50,m75 分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 2.箱线图：为了直观地表示两组数据,便于对比它们的整体分布情况,还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值,绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形,从而得到________. 3.意义：用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图． 4.画法：先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间．箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响． 【易错提醒】四分位数与箱线图易错警示：先排序，下四分位数（Q1）为第25%位置，上（Q3）为第75%．箱线图五数（最小、Q1、中位、Q3、最大）．注意：若数据个数为偶数，中位数取平均；Q1/Q3按位置法或插值法，可能不同，需明确规则． 知识点06   方差、离差平方和 1.概念：设n个数据x1,…,xn 的平均数为,各数据与平均数偏差的平方分别是 .偏差平方的平均数叫作这组数据的________,用s2表示,即 .我们称 为这组数据的________. 2.意义：当一组数据分布比较分散时,方差较大;当一组数据分布比较集中时,方差较小.因此,方差的大小反映了这组数据的离散程度(或波动程度). 3.拓展结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2． 知识点07   数据的分类 1.组内离差平方和与组间离差平方和 设一组数据为 ，将这组数据分成两组，第一组为 ，第二组为 .称 为组内离差平方和（简称组内差）， 为组间离差平方和（简称组间差），则有 其中 是全体数据的离差平方和. 知识点08   样本推断总体 1.用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差 用样本估计总体是统计的基本思想，一般常用样本的某种特征去估计总体的相应特征.总体的平均数和方差是最重要的两个数字特征，在统计学中，常用样本平均数估计总体平均数，常用样本方差估计总体方差. 考点01 算术平均数 考点内容：n个数据的总和除以数据总个数得到算术平均数，记作 ，反映数据的整体集中趋势；受所有数据影响，极端值会明显干扰结果；数据偏大时可通过减去常数a的简化公式快速计算. 常见考法： ①直接计算给定数据的平均数； ②已知平均数反推缺失数据； ③利用平均数做简单决策； ④结合实际测量场景，用多次测量的平均数估计真实值. 考点02 加权平均数 考点内容：数据的整体平均水平不仅和数值有关，还和对应“权重”相关；权重可以是次数、比例、百分比等形式；算术平均数是所有权重相等的特殊加权平均数. 常见考法： ①按给定比例（如成绩2:3:5占比）计算加权得分； ②结合招聘评分、比赛打分场景，用加权平均数做人员选拔决策； ③判断不同权重对最终结果的影响差异. 考点03 中位数 考点内容：将数据按大小排序后，奇数个数据取中间位置的数，偶数个数据取中间两个数的平均数；中位数唯一，不受极端值影响，代表数据的中间水平. 常见考法： ①直接计算一组数据的中位数； ②结合“去掉最高分最低分”的比赛评分场景，判断统计量的稳定性； ③利用中位数分析数据的中间分布特征. 考点04 众数 考点内容：一组数据中出现次数最多的数值；众数一定出现在数据中，可能有多个，也可能没有众数；适合反映高频重复数据的集中趋势. 常见考法： ①找出给定数据的众数； ②结合商品销量、尺码统计场景，用众数做进货、生产决策； ③区分“众数”和“众数出现的次数”两个易混概念. 考点05 集中趋势统计量的综合选择 考点内容：平均数利用全部数据信息，应用最广但易受极端值干扰；中位数抗极端值能力强，仅反映中间位置；众数侧重高频数据，适合重复数据多的场景. 常见考法： ①结合实际场景判断选用哪种统计量更合理； ②对比三个统计量在极端值变化时的稳定性差异； ③分析不同统计量的优缺点和适用边界. 考点06 四分位数与箱线图 考点内容：将有序排列的数据平均分为四段，25%、50%、75%分位数统称为四分位数；箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个关键值绘制，可直观展示数据分布. 常见考法： ①计算给定数据的三个四分位数； ②根据五个关键值补全箱线图； ③通过箱线图对比多组数据的集中程度、整体水平和分布差异. 考点07 方差与离差平方和 考点内容：方差是各数据与平均数偏差平方的平均值，衡量数据的整体波动程度，方差越小数据越稳定；离差平方和是所有偏差平方的总和，可延伸出组内离差平方和、组间离差平方和的分类应用. 常见考法： ①直接计算一组数据的方差； ②已知方差反推缺失数据； ③结合运动员成绩、产品质量检测场景，用方差判断稳定性； ④按“组内离差平方和最小”的原则对数据合理分组. 考点08 用样本估计总体 考点内容：统计核心思想，用样本的平均数、方差、百分比、频数等特征，推断总体的对应特征，是统计推断的基础. 常见考法： ①用样本中某类数据的占比，估计总体中该类数据的总数量； ②用样本平均数、方差直接估计总体的对应特征； ③结合抽样调查场景，计算总体中特定群体的预估人数. 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 算术平均数 n为数据总个数， 读作“x拔”，反映数据整体集中趋势 2 加权平均数 = 为对应数据的权重，权重可以是次数、比例、百分比 3 中位数 排序后奇数个数据取第位数值；偶数个数据取第位与第+1位的平均值 不受极端值影响，代表数据的中间水平 4 极差 数据最大值减去最小值，是最简单的离散程度统计量 5 离差平方和 所有数据与平均数偏差的平方总和 6 方差 衡量数据整体波动幅度，数值越小数据越稳定 7 线性变换方差性质 新数据ax+b的方差为a2s2 常数项b不改变方差大小，方差仅和系数的平方相关 8 总体特征估计 总体预估总数 = 总体容量 × 样本特征占比 用样本特征推断总体特征，是统计估计的核心公式 辨析01 集中趋势统计量的本质属性辨析 平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的统计量，但三者的适用场景和计算逻辑完全不同，不能随意混用。平均数利用全部数据信息，易受极端值干扰；中位数仅反映数据中间位置，抗极端值能力强；众数侧重高频重复数据，适合偏态分布场景。 辨析02 加权平均数的“权重”不能直接忽略 计算加权平均数时，不能直接对所有数据求算术平均，权重代表数据的重要性、频次或占比，直接决定最终结果的合理性。比如计算年度平均不良率时，必须以各季度产量作为权重，不能直接对各季度不良率求算术平均，否则结果会严重偏离真实水平。 辨析03 “两边之差小于第三边”的统计版：方差与标准差的单位差异 方差的单位是原始数据单位的平方，仅用于数学推导和波动程度的相对比较；标准差单位与原始数据完全一致，可直接用来解释实际数据的波动幅度。不能直接用方差数值描述数据的实际离散程度，否则会出现单位不匹配的理解障碍。 辨析04 判断样本能否代表总体，不必盲目追求大样本量 只要抽样方法科学、样本具备代表性，小样本也能合理估计总体；反之样本量再大，抽样存在偏差也无法得到可靠结论。 比如街头随机采访的大样本，若覆盖人群存在明显偏向，依然不能代表全群体的真实观点。 辨析05 求出统计估计结果后必须做合理性检验 比如用样本均值估计总体均值后，必须结合实际业务场景校验结果是否在合理范围内，不能直接将计算结果当成绝对真实值。 例如估算某地区人均月收入时，若计算结果明显超出当地经济发展的合理区间，说明抽样或计算过程一定存在错误。 【题型一】平均数的计算及应用 【例1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式1-1】（25-26八年级下·河北保定·期末）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（     ） A．元 B．元 C．元 D．8元 【变式1-2】（25-26八年级下·云南临沧·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩（单位：分）如下表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 乙 如果公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，则被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．两人均可能 D．无法确定 【题型二】利用众数和中位数求值 【例2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【变式2-1】某中学篮球队名队员的年龄情况如下： 年龄（单位：岁） 人数 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（2026·河北邢台·模拟预测）某班举办“近视防控”主题知识问答活动（共5道题，答对一题得2分，答错或不答不得分）．将全班48名学生的成绩进行统计，制作成如图所示的扇形统计图（不完整）．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（     ） A．全班48名学生成绩为6分的有16人 B．“4分”所在扇形的圆心角的度数为 C．全班48名学生成绩的众数一定是6分 D．全班48名学生成绩的中位数可能是4分 【题型三】求四分位数 【例3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【变式3-1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组被墨水污染的数据：，，，，，★，★，，，，，，其箱线图如图所示．则这组数据的第一四分位数和平均数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【题型四】方差的应用 【例4】（25-26八年级下·河北唐山·期末）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式4-1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【变式4-2】（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学知识竞赛，下表记录了各组几轮知识模拟比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加竞赛，则应选择的小组是（     ） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 95 96 96 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【题型五】利用样本估计总体求值 【例5】去年某校有1200人参加中考，为了了解他们的数学成绩．从中抽取200名考生的数学成绩，其中有80名考生达到优秀，那么该校考生数学成绩达到优秀的有（    ） A．400名 B．450名 C．480名 D．500名 【变式5-1】（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）某厂加工了400个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.3，49.8，50.0，50.0，50.7，50.2，49.9，50.1，49.0，50.2．当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这400个工件中一等品的个数是（     ） A．320 B．360 C．50 D．80 【变式5-2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ） 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【题型一】混淆平均数和加权平均数 【例1】某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是 _______分． 易错警示 加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆. 【变式1-1】在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为，为使前4场的平均得分为，第四场他应得 ________分． 【变式1-2】某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为___分． 【题型二】求众数和中位数时忽略排序直接数 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）从小到大排列的一组数据：2，3，5，x，7，11，中位数为6，则这组数据的众数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 易错警示 要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错. 【变式2-1】某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：，，，，，这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．， B．， C．5.0， D．， 【变式2-2】（2026·山东淄博·二模）如下表为淄博市高青县城区某周7天的最高气温，这组数据的中位数与众数分别为（     ） 日期 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 最高温度℃ 15 16 18 13 11 12 13 A．14，13 B．13，14 C．14，14 D．13，13 【题型三】含参求“三数”忽略分类讨论 【例3】（2026·黑龙江双鸭山·二模）一组数据的中位数与平均数相同，则的值为（   ）． A． B． C．或 D．或 易错警示 在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论．其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决. 【变式3-1】已知数据4，4，6，6，8，a的中位数是5，如果这组数据有唯一的众数，那么a的值为______． 【变式3-2】已知一组数据有唯一众数，那么这组数据的中位数是__________． 【变式3-3】若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是_____________ ． 【题型一】已知平均数求未知数据的值 【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）若数据8，7，7，6，5，5，x的平均数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知一组数据5，7，4，m，6，8的平均数为6，则这组数据的方差是（   ） A． B． C．2 D．10 【变式1-3】 一组数据：-1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型二】利用中位数求未知数据的值 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟.初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示.为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计.若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（   ） A．2.8分钟，3.7分钟 B．2.0分钟，3.0分钟 C．3.6分钟，4.2分钟 D．4.3分钟，4.5分钟 【变式2-3】为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（   ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 【题型三】箱线图的应用 【例3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【变式3-1】（25-26八年级下·河北衡水·期末）某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A．结论①、②都对 B．结论①、②都不对 C．只有结论①对 D．只有结论②对 【变式3-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【变式3-3】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）小伟参加加弈围棋学生社团2026年度校园挑战赛；共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分制作了箱线图如图，下列说法正确的是（     ） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是分 C．有的比赛得分不高于分 D．比赛得分的第三四分位数是45分 【题型四】离差平方和的应用 【例4】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【变式4-1】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（     ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 【变式4-2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 【题型一】集中趋势统计量计算模型 【模型解读】这是本章最基础的标准化解题流程，覆盖算术平均数、加权平均数、中位数、众数四类核心统计量的计算题型。第一步先完成数据排序预处理，第二步根据统计量定义代入对应公式计算，第三步结合场景判断统计量的合理性，避免极端值干扰结果。加权平均数需重点关注权重的分配逻辑，中位数计算必须先排序再取中间位置数值，众数是出现频次最高的原始数据而非频次本身 【结论1】算术平均数公式： 加权平均数公式：. 【结论2】奇数个数据的中位数取排序后第位数值，偶数个数据的中位数取排序后中间两个数的平均值. 【结论3】偏态分布场景下，优先用中位数或众数代表数据集中水平，避免被极端值拉偏的平均数误导. 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【变式1-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图是我国古代的一种铜制货币，其中质量为的有2枚，的有2枚，的有1枚，则这组铜钱质量的平均数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·北京·开学考试）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（     ） A．2 B．24 C．15 D．16 【变式1-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（     ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 【题型二】离散程度分析模型 【模型解读】专门用于解决方差、离差平方和、四分位数与箱线图相关题型，核心是刻画数据的波动与分布特征。先计算数据的平均数，再代入方差公式计算离散程度，最后通过四分位数拆分数据分布区间，绘制箱线图直观对比多组数据的整体差异。该模型还覆盖数据分类场景，遵循“组内离差平方和最小”的原则完成分组. 【结论1】方差公式：，数据做ax+b线性变换后，新方差为原方差的a2倍，常数项b不改变离散程度. 【结论2】四分位数将排序后数据分为四等份，分别对应25%、50%、75%分位数，可直接用于绘制箱线图对比多组数据分布. 【结论3】离差平方和为所有数据与均值偏差的平方总和，分组时组内差最小等价于组间差最大. 【例2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 【变式2-1】（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑．根据创新评价体系，获得A，B两个团队12种同类科技产品的创新贡献率（单位：），并将这些数据整理后绘制成箱线图，如图所示．以下关于两个团队创新水平的评价错误的是（     ） A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图 A．团队A的科技产品创新贡献率的中位数明显高于团队B B．团队A的科技产品创新贡献率的最大值明显高于团队B C．团队B的科技产品创新贡献率的波动大于团队A D．团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数 【题型三】样本估计总体模型 【模型解读】这是本章高频综合大题的核心解题框架，完全贴合冀教版教材“用样本特征推断总体特征”的核心统计思想。第一步先计算样本的统计量（样本平均数、样本方差、样本中目标群体占比），第二步通过样本占比乘以总体总量，估算总体中对应特征的数量，第三步补充误差校验，确认估算结果符合实际业务逻辑. 结论1：用样本平均数直接估计总体平均数，用样本方差直接估计总体方差，是初中阶段统计估计的标准方法. 结论2：总体中某类特征的估算数量 = 总体总量 × 样本中该类特征的占比. 结论3：样本量越大，抽样误差越小，对总体的估计精度越高，小样本估算结果不能直接作为绝对结论 【例3】近期有300人参加了某地举办的非遗传承项目—仡佬族印染的培训活动，活动结束，每位学员必须提交一件用所学技法制作的印染作品．组织方从中抽查的30名学员作品通过专家组评判，不合格率仅为．根据抽查结果可以预测，这300名学员作品合格率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 示数（度） 98 103 108 112 117 121 根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（    ） A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度 【变式3-2】（25-26八年级下·云南文山·期末）八（1）班开展“阳光体育活动”，为了解同学们对排球、乒乓球、篮球、足球四个项目的活动喜好，对全班学生进行调查，收集整理喜爱的活动项目（A：排球、B：乒乓球、C：篮球、D：足球）数据后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，该班的学生人数为（     ） A．40 B．46 C．50 D．56 【变式3-3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）某小区随机抽取50名居民进行每天使用人工智能问答次数调查，将调查结果制成频数分布直方图，如图所示（每组包含最小值，不包含最大值）．以下说法错误的是（     ） A．该频数分布直方图的组距是2，组数是5 B．的居民每天使用人工智能问答不少于6次 C．每天使用人工智能问答次（不含6次）的居民最多 D．估计该小区2000名居民中每天使用人工智能问答次数次（不含4次）的居民大约有400人 【题型四】 统计决策应用模型 【模型解读】适配本章所有实际应用类题型，比如比赛评分、产品选型、方案成本对比等场景。先明确决策目标，再筛选对应统计量作为决策依据，最后通过计算不同方案的统计指标完成优劣对比，得出最终决策结果. 结论1‌：比赛“去掉一个最高分、去掉一个最低分”的评分规则下，中位数一定不会发生改变，平均数、众数、方差都可能受极端值影响. 结论2‌：选择产品时，若两组数据平均数相同，优先选择方差更小的样本，代表产品质量更稳定. 结论3‌：多方案成本对比时，结合加权平均数计算总成本，可直接判定哪种方案的综合成本更低. 【例4】在学校举办的一场以“礼赞祖国感党恩，青春逐梦新时代”为主题的歌咏比赛中，为了避免评委因为主观因素而给出过高或者过低的分数，学校采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后计算各个选手的平均得分的评分方法．如果去掉一个最高分和一个最低分，以下数据一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式4-1】（25-26八年级下·山西朔州·期末）学校为丰富课后服务，开设了绘画、书法、篮球、足球等课后服务社团．学期末开展投票活动评选“最受欢迎的社团”，全体参与投票的学生每人一票，仅可选择一个社团．统计投票结果时，最需要关注的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式4-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·云南玉溪·期末）某校在开展“书香校园”活动期间，对甲、乙、丙、丁四名同学一学年的图书借阅册数情况进行统计，整理得出四人平均每月借阅册数和方差，如下表所示： 同学 甲 乙 丙 丁 平均每月借阅册数 方差 根据表中数据，学校要评选“读书达人”，要求年借阅总册数多且借阅习惯稳定，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 技巧 一句话要点 数据预处理优先排序 计算中位数前必须先给原始数据从小到大排序，跳过排序直接取数必错 加权平均数先找权重 遇到“占比、频次、产量”类关键词，立刻标记权重，不能直接求算术平均 众数判定看原始数值 众数是出现次数最多的原始数据，不是该数据出现的频次，可存在多个众数 方差计算不忘除以n 算完离差平方和后必须除以数据总个数，不能直接把平方和当成方差结果 线性变换直接套性质 数据做ax+b变换时，新方差直接用原方差乘a2，常数项完全不影响波动 偏态分布选对统计量 存在极端值时优先用中位数/众数描述集中趋势，避免被平均数误导 总体估计先算样本占比 估算总体某类特征总数时，先算出样本中该类的占比，再乘总体总容量 稳定性对比优先看方差 两组数据平均数相同时，方差越小代表数据波动越小、产品/成绩越稳定 比赛评分题抓不变量 去掉1个最高分+1个最低分，中位数一定不会改变，其余统计量大概率变化 相关关系不直接等同因果 两个变量数值同步变化不代表存在因果，要先排除第三方混淆因素 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 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