专题06 图形的相似17大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材苏科版

专题06 图形的相似 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例线段 考点二 比例的基本性质 考点三 比例中项 考点四 相似形 考点五 相似多边形 考点六 平行线分线段成比例 考点七 相似三角形的判定 考点八 相似三角形的性质 考点九 相似三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 比例线段 题型二 黄金分割 题型三 平行线分线段成比例 题型四 位似图形 题型五 相似多边形及其性质 题型六 相似三角形的判定 题型七 相似三角形的性质 题型八 相似三角形的动点问题 题型九 相似三角形的判定与性质 题型十 网格中的相似三角形问题 题型十一 重心的有关性质 题型十二 相似三角形的模型问题 题型十三 相似三角形的实际应用 题型十四 相似三角形的其他应用 题型十五 相似三角形的新定义问题 题型十六 相似三角形与函数结合 题型十七 相似三角形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九年级上册期中，图形的相似板块分值一般在 20～28 分，占整张试卷 17%～23%，属于几何重难点。题型覆盖选择、填空、解答，经常和勾股定理、圆结合综合出题，和圆、二次函数同为期中拉分核心模块，对总分影响较大。 2. 题型特点 选择、填空多考查比例线段、黄金分割、相似的简单判定与性质；解答题以三角形相似证明、线段长度计算为主，高频出现 A 字、8 字、母子相似模型。命题素材贴近课本，部分试题设置等积式转化，注重对应边角关系的考查。 3. 难度分布 基础题约占 55%，直接运用判定、性质计算；中档题约 35%，需要在图形中识别模型，进行比例转化；难题多为填空压轴或解答次压轴，常伴随动点、多组相似，容易因为顶点对应关系找错、忽略分类讨论造成漏解。 4. 备考方向 熟练掌握相似三角形判定定理以及周长、面积比性质，多训练从复杂图形中剥离基础模型；强化等积式和比例式互化，做题先锁定对应顶点；规范几何证明书写，重点攻克相似分类讨论题型，减少对应边匹配错误。 识记 熟记比例线段、黄金分割、相似图形概念；牢记相似三角形三条判定定理、相似三角形对应边成比例、对应角相等，周长、面积比的性质。分清相似与全等的区别，记住相似比顺序，能准确说出 A 字型、8 字型等基础相似模型。 理解 理解线段成比例的意义，理解相似判定定理的推导逻辑；理解相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；明白对应关系的重要性，能结合图形分清对应顶点、对应边，看懂模型中边角传递关系。 应用 能根据条件选择合适判定证明三角形相似，利用相似求线段长、周长与面积；会从复杂图中分离基础相似模型，能将等积式转化为比例式，注意分类讨论多解情况，规范证明步骤，规避对应边找错的常见失误。 考点一 比例线段 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段； 考点二 比例的基本性质 比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 考点三 比例中项 比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 考点四 相似形 相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 考点五 相似多边形 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 考点六 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 考点七 相似三角形的判定 相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 考点八 相似三角形的性质 相似三角形周长比的性质 1.相似三角形等于相似比； 2.相似多边形等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 考点九 相似三角形的实际应用 相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 题型一 比例线段 典例1（26-27九年级上·四川成都·期中）如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 迁移应用 1．（26-27九年级上·广西桂林·期中）已知为成比例线段，其中，则的长度为__________． 2．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）若，则_______． 题型二 黄金分割 典例2（25-26九年级上·江苏徐州·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，若A，P，B三点共线，点为的黄金分割点，若，则_______． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，、两点都是线段的黄金分割点，若，则线段的长为______． 2．（25-26九年级上·山西大同·期中）阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程： 设，则，．．．．．． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数的解答过程． (3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型三 平行线分线段成比例 典例3（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．1 迁移应用 1．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 题型四 位似图形 典例4（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以坐标原点为位似中心，画出与位似的三角形，使，并求的面积． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧； (2)点的坐标为_______． (3)的面积是 平方单位． 题型五 相似多边形及其性质 典例5（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）一个四边形各边长为2、3、4、5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则四边形与四边形的周长比为______． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 题型六 相似三角形的判定 典例6（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 迁移应用 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型七 相似三角形的性质 典例7（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型八 相似三角形的动点问题 典例8（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为______． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 题型九 相似三角形的判定与性质 典例9（26-27九年级上·山西太原·期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长： (2)若的面积为，直接写出四边形的面积是________． 迁移应用 1．（26-27九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，， (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十 网格中的相似三角形问题 典例10（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是由边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图1中画一个格点三角形，使与格点三角形相似（相似比不为1）． (2)在图2中，画出的中线； 迁移应用 1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形： (1)在图①中画，使得，且相似比为． (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图②中画出． 题型十一 重心的有关性质 典例11（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点是的重心，若，，，直接利用上面的结论，则四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为的重心，过点作的垂线，垂足为，交于点，则____________． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，G是的重心，于H，则______． 题型十二 相似三角形的模型问题 典例12（26-27九年级上·江苏泰州·期中）解答下列问题 (1)如图①，中，点为边上的点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，则___________． (2)如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； (3)如图③，中，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是___________． 迁移应用 1．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当时，连接交于点，求的值； (3)如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 2．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 题型十三 相似三角形的实际应用 典例13（26-27九年级上·全国·期中）如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江·期中）【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 2．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 题型十四 相似三角形的其他应用 典例14（2025·广东深圳·模拟预测）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于____m． 迁移应用 1．（2025·浙江金华·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点O是凸透镜的中心，光线，点F是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点D，B，O，F在同一条直线上． (1)如图1，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为 ； ②求此时虚像的高度； (2)如图2，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 题型十五 相似三角形的新定义问题 典例15（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 迁移应用 1．（2026·宁夏吴忠·一模）给出定义：如图，在四边形的边上取一点（点不与点，重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点叫做四边形的边上的强相似点． 解决问题 (1)如图，在四边形中，已知． 试判断点是否为四边形的边上的相似点，并说明理由； 若为边的中点，求证：点为四边形的边上的强相似点． 拓展探究 (2)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形边上的一个强相似点，试探究线段与的数量关系．                                 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，是“精准三角形”，，垂足为点，那么的长度为___． 题型十六 相似三角形与函数结合 典例16（2026·江苏苏州·二模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京房山·期中）给出定义：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接、，若满足，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数的图象是“相似抛物线”，且，则此抛物线的对称轴为 ___________． 2．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点，点与点关于点对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出关于的不等式的解集． (3)点在轴的负半轴上，且与相似，请直接写出点的坐标． 题型十七 相似三角形的存在性问题 典例17（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． (1)直接写出________，________； (2)根据图像直接写出不等式的解集为________； (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)在平面内存在点，使得点、点关于点成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标为_____． (3)连接、，点是轴上一点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）若，它们的周长比为，则对应边与之比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为，则到的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知，那么___________． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 9．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是______． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，点E、F在线段上，，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）大明寺栖灵塔雄踞在古城扬州北郊蜀冈中峰之上，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量栖灵塔的高度，如图，栖灵塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为47.5m，并且栖灵塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出栖灵塔的高度（结果精确到）． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 17．（2026·江苏宿迁·二模）如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为，为的中点，则的值为（     ） A．4 B． C．5 D． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 19．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，且边在x轴上，点A的横坐标是6，如果反比例函数的图象经过的重心P，那么k的值是________． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，以为直径的与交于点，连接，．若，作交于点，则的值为______． 23．（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 24．（26-27九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，，F是的中点．与相交于点G．则的值为__________． 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 26．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 27．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴有一点，．连接，，且． (1)求的值； (2)过点作，交反比例函数（其中）的图象于点，连接交于点，求的值． 28．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 29．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 30．（26-27九年级上·浙江金华·期中）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形的相似 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例线段 考点二 比例的基本性质 考点三 比例中项 考点四 相似形 考点五 相似多边形 考点六 平行线分线段成比例 考点七 相似三角形的判定 考点八 相似三角形的性质 考点九 相似三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 比例线段 题型二 黄金分割 题型三 平行线分线段成比例 题型四 位似图形 题型五 相似多边形及其性质 题型六 相似三角形的判定 题型七 相似三角形的性质 题型八 相似三角形的动点问题 题型九 相似三角形的判定与性质 题型十 网格中的相似三角形问题 题型十一 重心的有关性质 题型十二 相似三角形的模型问题 题型十三 相似三角形的实际应用 题型十四 相似三角形的其他应用 题型十五 相似三角形的新定义问题 题型十六 相似三角形与函数结合 题型十七 相似三角形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九年级上册期中，图形的相似板块分值一般在 20～28 分，占整张试卷 17%～23%，属于几何重难点。题型覆盖选择、填空、解答，经常和勾股定理、圆结合综合出题，和圆、二次函数同为期中拉分核心模块，对总分影响较大。 2. 题型特点 选择、填空多考查比例线段、黄金分割、相似的简单判定与性质；解答题以三角形相似证明、线段长度计算为主，高频出现 A 字、8 字、母子相似模型。命题素材贴近课本，部分试题设置等积式转化，注重对应边角关系的考查。 3. 难度分布 基础题约占 55%，直接运用判定、性质计算；中档题约 35%，需要在图形中识别模型，进行比例转化；难题多为填空压轴或解答次压轴，常伴随动点、多组相似，容易因为顶点对应关系找错、忽略分类讨论造成漏解。 4. 备考方向 熟练掌握相似三角形判定定理以及周长、面积比性质，多训练从复杂图形中剥离基础模型；强化等积式和比例式互化，做题先锁定对应顶点；规范几何证明书写，重点攻克相似分类讨论题型，减少对应边匹配错误。 识记 熟记比例线段、黄金分割、相似图形概念；牢记相似三角形三条判定定理、相似三角形对应边成比例、对应角相等，周长、面积比的性质。分清相似与全等的区别，记住相似比顺序，能准确说出 A 字型、8 字型等基础相似模型。 理解 理解线段成比例的意义，理解相似判定定理的推导逻辑；理解相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；明白对应关系的重要性，能结合图形分清对应顶点、对应边，看懂模型中边角传递关系。 应用 能根据条件选择合适判定证明三角形相似，利用相似求线段长、周长与面积；会从复杂图中分离基础相似模型，能将等积式转化为比例式，注意分类讨论多解情况，规范证明步骤，规避对应边找错的常见失误。 考点一 比例线段 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段； 考点二 比例的基本性质 比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 考点三 比例中项 比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 考点四 相似形 相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 考点五 相似多边形 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 考点六 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 考点七 相似三角形的判定 相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 考点八 相似三角形的性质 相似三角形周长比的性质 1.相似三角形等于相似比； 2.相似多边形等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 考点九 相似三角形的实际应用 相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 题型一 比例线段 典例1（26-27九年级上·四川成都·期中）如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 【答案】B 【分析】分析四个数据，判断能否满足两内项之积等于两外项之积，再将其写成比例式形式即可． 【详解】解：，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，，，成比例． 迁移应用 1．（26-27九年级上·广西桂林·期中）已知为成比例线段，其中，则的长度为__________． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义得到线段之间的关系，代入已知边长计算即可． 【详解】解：∵ 为成比例线段， ∴ ，即， ∵， ∴． 2．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）若，则_______． 【答案】/ 【分析】已知两个比值都等于，且，可通过设参数的方法求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 可得，， 代入得 ， ∵ ， ∴ 约去，可得． 题型二 黄金分割 典例2（25-26九年级上·江苏徐州·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，若A，P，B三点共线，点为的黄金分割点，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割比，一元一次方程． 利用较长的线段与整条线段的比值建立等式，求解即可． 【详解】解：∵A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）． ∴ 设，则， ， 解得：， ∴． 故答案为：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，、两点都是线段的黄金分割点，若，则线段的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点的定义．熟悉黄金分割点的定义和比值的大小是解题的关键．黄金分割点是指将一条线段分成两部分，其中较长部分与较短部分的比等于整个线段与较长部分的比，这个比值为．根据、两点都是线段的黄金分割点，依据和的比值计算出线段的长度，进而得出线段的长度． 【详解】解：∵、两点都是线段的黄金分割点， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山西大同·期中）阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程： 设，则，．．．．．． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数的解答过程． (3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)2 (2) 根据，得， 则，， 解得，（舍去）， ∴． (3) 如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，一元二次方程的求解，勾股定理，尺规作图及线段比例关系的计算与应用． （1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）因为，而是黄金分割数，先作线段，作线段的垂直平分线，交线段于点O，以点B为圆心，过点B以为半径作垂线，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求． 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点， 故答案为：2． （2）略 （3）解：证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 平行线分线段成比例 典例3（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．1 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 迁移应用 1．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；根据平行线分线段成比例定理，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 位似图形 典例4（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以坐标原点为位似中心，画出与位似的三角形，使，并求的面积． 【答案】如图，即为所求，的面积为 【分析】根据位似的性质作图即可；再利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：图略， 的面积为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1)解：如图所示，点的坐标为， (2) (3)解：点如图所示， 【分析】（1）根据位似图形的性质，结合、、，得出，，，在坐标系中描点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质解答即可； （3）根据相似三角形的性质，取点，，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：∵、、，与的相似比为， ∴，，， ∴如图所示，略 （2）解：∵点的坐标为， ∴经过（1）的变化后点的对应点的坐标是． （3）解：取点，，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧； (2)点的坐标为_______． (3)的面积是 平方单位． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)14 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，顺次连接、和即可； （2）根据（1）中作图可直接得出答案； （3）利用割补法求出的面积，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点的坐标为； （3）解：， 与的相似比为， 与的面积比为， ． 题型五 相似多边形及其性质 典例5（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 【答案】10 【分析】根据相似多边形的性质和矩形性质求得，，进而可求解． 【详解】解：矩形矩形，且相似比为， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）一个四边形各边长为2、3、4、5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则四边形与四边形的周长比为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，根据已知最长边求相似比即可． 【详解】解：四边形与四边形相似，且最长边分别为和， 相似比为， 周长比为， 即， 故答案为． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 题型六 相似三角形的判定 典例6（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 迁移应用 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ． 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明． 【详解】略 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 题型七 相似三角形的性质 典例7（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ， ， ∵， ， ， ∵， ，， ， ． 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ， ， ， ， ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、垂直定义和余角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据垂直定义和余角性质得到，．再根据相似三角形的判定定理可证明结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由得，， ∵，，， ∴， ∴． 题型八 相似三角形的动点问题 典例8（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可． 【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动， ∴点的时间为，点的时间为， 设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为18 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）作于点M，根据相似三角形的性质列出比例式，用t表示出，设四边形的面积为y，根据三角形的面积公式计算得，再根据二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，， 综上所述，或时，与相似； （2）解：作于点M， 则， ∴，即， 解得，， 设四边形的面积为y， 由题意得：， ∴当时，y有最小值18， 即当时，四边形的面积最小，最小值为18． 题型九 相似三角形的判定与性质 典例9（26-27九年级上·山西太原·期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长： (2)若的面积为，直接写出四边形的面积是________． 【答案】(1)2 (2)12 【分析】由四边形是平行四边形，可得，因此与相似，这是解题的突破口． （1）因为相似三角形对应边成比例，所以结合与的长度，即可求出的长． （2）因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以先求出的面积，再减去和的面积，就能得到平行四边形的面积，其中与的相似比可由线段比例关系推导得出． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． （2）∵和的相似比为， ∴面积比为． ∵， ∴． 又∵平行四边形对边平行，， ∴： ∵， ∴， 即与的相似比为， ∴面积比为， ∴． ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)12 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可得到，再由相似三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴． 题型十 网格中的相似三角形问题 典例10（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是由边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图1中画一个格点三角形，使与格点三角形相似（相似比不为1）． (2)在图2中，画出的中线； 【答案】(1) 如图； (2) 如图即为所求， 【分析】本题考查格点作图，相似三角形的证明及矩形的基本性质，熟练掌握相关图形的性质是解题关键； （1）将原图分别缩小倍，即可． （2）根据矩形的性质作图即可； 【详解】（1）解：如图：由格点的性质可知， ， ∴， ∴； （2）解：由网格可作矩形，根据矩形的对角线互相平分，为中点，连接，则为的中线． 迁移应用 1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】(1) 如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， (2) 如图， 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）， ， ， ， 点即为所求作的点． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形： (1)在图①中画，使得，且相似比为． (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图②中画出． 【答案】(1)如图所示，即为所求： (2) 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了相似变换及旋转变换，相似三角形的性质，正确得出对应点位置是解此题的关键． （1）首先利用勾股定理求出，，的长度，然后利用相似三角形的性质得到，，的长度，进而画出图形即可； （2）首先根据旋转的性质画出点A，B绕点C顺时针旋转得到的点E，F，然后顺次连接即可． 【详解】（1）∵，，， ∵，且相似比为 ∴ ∴ ∴，，； （2）略 题型十一 重心的有关性质 典例11（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点是的重心，若，，，直接利用上面的结论，则四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据重心的性质得出，D、E分别为的中点，确定，再由直角三角形的面积得出，，，，结合图形即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴，D、E分别为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ，， ∴四边形的面积为：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为的重心，过点作的垂线，垂足为，交于点，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形重心的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先通过勾股定理求出斜边的长度，再利用重心的性质得到相关线段的比例关系，接着通过面积法求出的长度，进而求出的长度，然后根据平行线分线段成比例定理求出的长度，从而得到的长度，最后再次利用平行线分线段成比例定理求出的长度． 【详解】解：延长交于点，过点作，为垂足， 为的重心， ，， ，，， ，， ，解得， ， 为的重心， 是斜边的中线， ， ， ，, ， ， ， ， ， ，即， ，即， 解得， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，G是的重心，于H，则______． 【答案】 【分析】根据勾股定理解得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形重心的性质，得到，过点C作于F，进而由平行线定理证明，最后由相似三角形对应边成比例解题即可． 【详解】解：在中， ， 是斜边上的中线，G是的重心， ， 过点C作于F， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题了考查与重心有关的运用，勾股定理、直角三角形斜边的中线，相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型十二 相似三角形的模型问题 典例12（26-27九年级上·江苏泰州·期中）解答下列问题 (1)如图①，中，点为边上的点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，则___________． (2)如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； (3)如图③，中，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是___________． 【答案】(1)2.7 (2)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理， ， ； (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，利用平行线分线段成比例得到，即可求得； （2）由平行四边形性质得到，，证明得到，同理，，即可证明； （3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，连接交于点H，则，，且、分别是边的中点，利用平行线分线段成比例得到为的中位线，则，连接与交于点，此时周长最小，即的周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ，即， ； （2）略 （3）解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，连接交于点H，则，如图， ，且、分别是边的中点， ∴，， ∴点M为的中点，点N为的中点， 为的中位线， ∴， ， 连接与交于点，此时的周长最小，即的周长最小． ，， ∴， ∵， ，又， ∴， ∴， ， 在中， ， ． 即周长的最小值是． 迁移应用 1．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当时，连接交于点，求的值； (3)如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：相等，理由如下， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在正方形中，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为． 【分析】（1）连接，证明即可； （2）延长交于点，交延长线于点，设，同（1）可得，，设，则，则，对运用勾股定理求解，再由，求解即可； （3）证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴设，，， ∵， ∴， 同（1）可得，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）略 2．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 题型十三 相似三角形的实际应用 典例13（26-27九年级上·全国·期中）如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 【答案】(1)能拍摄外高为的景物 (2)相机的焦距应调整为 【分析】（1）先证明，可得，将相关数据代入求解即可； （2）由（1）的关系式，将相关数据代入求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． ∵像高，焦距是，物距为， 解得， ∴能拍摄外高为的景物； （2）解：∵拍摄高为的景物，物距为，像高不变， ∴由（1）可得， 解得， ∴相机的焦距应调整为． 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江·期中）【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）； （2）能，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴驾驶员能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，从实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； （2）过点M作交于点N，可证，得到比例式，求出即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴； （2）略 2．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 题型十四 相似三角形的其他应用 典例14（2025·广东深圳·模拟预测）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于____m． 【答案】70 【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形． 【详解】解：连接交于点H，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：． 设，，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 故答案为：70． 迁移应用 1．（2025·浙江金华·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点O是凸透镜的中心，光线，点F是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点D，B，O，F在同一条直线上． (1)如图1，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为 ； ②求此时虚像的高度； (2)如图2，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到线段之间的关系． （1）根据可证，根据相似三角形对应边成比例可证；由可得，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据的高度可求的高度； （2）根据可证，根据相似三角形的性质可证，根据焦距的长为，可求，从而可得：，根据可知，已知，从而可求的长度． 【详解】（1）解：①如图1，∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， ∴， 答：此时虚像的高度为； （2）解：如图2，∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：此时物距的长为． 题型十五 相似三角形的新定义问题 典例15（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2) 解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）略 迁移应用 1．（2026·宁夏吴忠·一模）给出定义：如图，在四边形的边上取一点（点不与点，重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点叫做四边形的边上的强相似点． 解决问题 (1)如图，在四边形中，已知． 试判断点是否为四边形的边上的相似点，并说明理由； 若为边的中点，求证：点为四边形的边上的强相似点． 拓展探究 (2)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形边上的一个强相似点，试探究线段与的数量关系．                                 【答案】(1)点是四边形的边上的相似点， 理由： 设， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴点是四边形的边上的相似点， 证明∶由（）得， ∴ ， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴点为四边形的边上的强相似点， (2)． 【分析】（）设，通过角度和差的，证明即可； 由（）得，根据相似三角形的性质得，又为的中点，从而可证明，则有，所以点为四边形的边上的强相似点， （）由折叠的性质和矩形的性质，得，，，点恰好是四边形的边上的一个强相似点，则，得，最后解直角三角形即可； 本题考查了折叠的性质和矩形的性质，相似三角形的判定与性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解∶由折叠的性质和矩形的性质，得，，， ∵点恰好是四边形的边上的一个强相似点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，是“精准三角形”，，垂足为点，那么的长度为___． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，黄金分割，解题关键是熟练掌握勾股定理；作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解. 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十六 相似三角形与函数结合 典例16（2026·江苏苏州·二模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据勾股二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的根的关系，逐项判断，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵二次函数是勾股二次函数， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 设点，则，， ∴m，n为方程的两根， ∴， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴，即， ∵m，n为方程的两根， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京房山·期中）给出定义：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接、，若满足，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数的图象是“相似抛物线”，且，则此抛物线的对称轴为 ___________． 【答案】直线 【分析】利用“相似抛物线”的定义结合相似三角形的性质列式求得线段，的长度，得到两点的坐标，即可求解． 【详解】解：在中，令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴，， ∴此抛物线的对称轴为． 故答案为：直线． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，勾股定理等知识，正确理解“相似抛物线”的定义，掌握相似三角形的性质，列出比例式是解题的关键． 2．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点，点与点关于点对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出关于的不等式的解集． (3)点在轴的负半轴上，且与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围； （3）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D的坐标，设点，利用坐标分别求出，，，，再由与相似，，则分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ∴由图象可得关于的不等式的解集为或． （3）解：令，得， ∴， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴，， 设点， ∴， ∵与相似，， 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 题型十七 相似三角形的存在性问题 典例17（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到，求出点B坐标，可得，则，然后设，利用三角形面积公式求出或，然后可得点的坐标； （3）过点作轴于点，根据得到，然后根据可知，推出，进而即可求解； （4）求出抛物线的对称轴为，设，然后利用勾股定理构建方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：存在，点的坐标是． 过点作轴于点，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴； （4）存在，点M的坐标为或； ∵抛物线的对称轴为， ∴设， ∵，，是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． (1)直接写出________，________； (2)根据图像直接写出不等式的解集为________； (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)或 (3)存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或 【分析】（1）把交点分别代入直线解析式和反比例函数解析式，直接列方程求出b，m的值； （2）先联立直线与反比例函数方程求出两个交点横坐标，结合函数图像，找到直线在双曲线下方对应的x范围，注意反比例，写出不等式解集； （3）先求出B、C坐标，算出线段长度，识别是对应等角，分两组不同顶点对应关系列相似比例式求出长，结合D在x正半轴求出点D的坐标． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ，， ，； （2）解：令， 两边同时乘得， 因式分解得， 解得或， 的解集为或； （3）解：令得， 令得，解得， ，， ， ， ， ， ， ， 要使点、、构成的三角形与相似， 则有， 当时，，， 此时，点的坐标为； 当时，，， 此时，点的坐标为， 综上所述，存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或． 2．（2026·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)在平面内存在点，使得点、点关于点成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标为_____． (3)连接、，点是轴上一点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（）根据待定系数法分别求出一次函数、反比例函数的关系式； （）由中心对称的定义以及平行线等分线段定理可得答案； （）利用三角形面积公式以及平行线等分线段定理得出答案即可； 本题考查了一次函数、反比例函数图象的交点坐标，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过，两点． ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵一次函数的图象过，两点． ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为， 答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； （2）如图，    点关于点的对称点在轴上，点关于点的对称点在轴上， 即点是的中点，也是的中点， ∵， ∴， 即点的横坐标为， 同理点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 如图，    点关于点的对称点在轴上，点关于点的对称点在轴上， 即点是的中点，也是的中点， 同理可求出点的横坐标为，纵坐标为， 此时点， 故答案为：或； （3）如图，    直线，即直线与轴的交点的坐标为， 根据平行线等分线段定理可得， 当或时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴点或点， 综上所述，点的坐标为或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）若，它们的周长比为，则对应边与之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，周长比为， ∴与的相似比为， ∴对应边与的比为． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理判定且，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 3．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为，则到的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是位似图形、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 的面积为， 的面积为． 故选：． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 丙： ∵新正方形与原正方形的四个角都为，且新正方形的边长都是，原正方形的边长都是， ∴新正方形与原正方形对应角相等，对应边的比值都是， ∴新正方形与原正方形相似； 故上述三人的说法正确的个数是2个． 故选：C． 6．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知，那么___________． 【答案】 【详解】根据x与y的比例关系，设参数表示x和y，再代入计算约分，即可得到结果． 【解答】解：， 设， ． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件列比例式求解对应边的长度即可． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 9．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是______． 【答案】9 【分析】根据位似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心，根据中点坐标公式可得，，利用待定系数法求出直线和的解析式，再求出两直线的交点坐标即可得解． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心， ，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ，即的重心坐标为． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，点E、F在线段上，，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴∽； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据，即可证明； （2）根据相似三角形的性质即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：∵∽，， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：在与中， ∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例得，将数值代入计算即可求出的长； 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 【答案】(1) 如下图：作的垂直平分线，交于点，为中点，为所求； (2) 由题意得：， 【分析】（1）作的中点即可求出； （2）根据题意分别表示出各边长度，再根据三边成比例即可求出； 本题主要考查尺规作图，三角形相似的判定，熟练掌握尺规作图技巧和三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）大明寺栖灵塔雄踞在古城扬州北郊蜀冈中峰之上，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量栖灵塔的高度，如图，栖灵塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为47.5m，并且栖灵塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出栖灵塔的高度（结果精确到）． 【答案】栖灵塔的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．设，则，证明，得到，，根据，得到即，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ，，， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：栖灵塔的高度约为． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 17．（2026·江苏宿迁·二模）如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为，为的中点，则的值为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，证明，得到，设，则，用含有，的式子表示的面积，即可计算出的值． 【详解】解：过点作轴于点， ∵为的中点，轴，轴， ∴，为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∵， 解得． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ，点E为的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 19．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【详解】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 21．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，且边在x轴上，点A的横坐标是6，如果反比例函数的图象经过的重心P，那么k的值是________． 【答案】 3 【分析】连接并延长交于点，根据等腰直角三角形的性质和重心的性质，得出，，进而得到点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， 在中，，，点是的重心， 是的中线， ，，， 点A的横坐标是6， ， ，， ， 反比例函数的图象经过的重心P， ， ． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，以为直径的与交于点，连接，．若，作交于点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】设，则，则，根据勾股定理得到，通过证明，得到，进而得到，根据勾股定理得到，从而得到答案． 【详解】解：如图，过点作交于点， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 23．（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解． 【详解】解： ∵是边上的高 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∴． 24．（26-27九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，，F是的中点．与相交于点G．则的值为__________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，则，即，可求，作，使，连接，作于，则，，证明，可得，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：矩形，， ∴，，，， ， ∴， 又， ， ，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，连接，， 则，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴三点共线， ∴为的中点， 点是的中点， ， 由勾股定理得，， ． 26．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， · ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； (2) 【分析】（1）证明垂直平分，即可得到结论； （2）求出，证明，则，代入数据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得 27．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴有一点，．连接，，且． (1)求的值； (2)过点作，交反比例函数（其中）的图象于点，连接交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】第问作底边上的高，用三线合一和勾股定理求出点坐标，代入反比例函数求； 第问由得点横坐标，求出坐标与直线解析式，利用构造相似三角形，把线段比转化为对应线段与的比． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于,与相较于点,与相交于点． ，等腰三角形三线合一， ． 在中： ． 把代入： 解得：． （2）解：，， 点横坐标为． 把代入，得，． 设直线解析式为，代入： 解得： 直线：． 把代入，得， 与交点． ，，． （平行线得相似）． 28．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 【答案】(1)等腰直角 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理与网格，得的长度，根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）结合位似图形的性质进行作图即可； （3）根据位似图形的性质得出，对应点到位似中心的距离的比等于相似比，则满足，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可知：，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）略 （3）解：由（2）得以点为位似中心，且位似比为，经过（2）中位似变换后的对应点， ∴， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． 29．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ∴， ， ． (2)6 (3) 【分析】（1）根据两角相等即可证明两三角形相似； （2）由（1）中两三角形相似得对应边成比例即可求解； （3）根据题意说明，再由对应边成比例求解． 【详解】（1）略； （2）解：由， 得， 即 ， ． （3）解：，， ， ， 即 ， ． 30．（26-27九年级上·浙江金华·期中）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【答案】(1)证明：如图，四边形是矩形， ∴， ， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴， ∴， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形与折叠的性质，确定两组角相等，进而证明相似； （2）设，利用勾股定理列方程，求出，则，再利用相似三角形对应边成比例，求出，即可得解； （3）延长、交于M点，连接，设，证明，推出，再利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图，延长、交于M点，连接， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ，即， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 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