专题04 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率15大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材苏科版

专题04 数据的集中趋势与离散程度+等可能条件下的概率 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平均数与加权平均数 考点二 中位数与众数 考点三 四分位数与箱线图 考点四 方差与标准差 考点五 离差平方和 考点六 等可能条件下的概率 05 重难题型突破 题型一 平均数 题型二 加权平均数 题型三 运用加权平均数做决策 题型四 求中位数和众数 题型五 利用中位数、众数做决策 题型六 求四分位数 题型七 画箱线图 题型八 求方差 题型九 利用方差做决策 题型十 求极差 题型十一 求离差平方和 题型十二 离差平方和的应用 题型十三 求几何概率 题型十四 列表法或树状图法求概率 题型十五 概率的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九上期中，该板块约 10～16 分，占试卷 8%～12%，多为选择、填空、简单解答，一般不设置压轴，属于稳拿分的基础内容。 2. 题型特点 常考平均数、中位数、众数、方差计算，以及简单等可能概率；题干贴近生活情境，题型常规，多套用公式或列表、画树状图求解。 3. 难度分布 以基础题为主，几乎无难题；中档题集中在方差意义辨析、区分集中趋势统计量；容易在审题、数据排序、放回与不放回上粗心出错。 4. 备考方向 熟记统计量、方差公式，分清各自意义；熟练用树状图、列表法求概率，区分放回、不放回试验；仔细排序数据，规范书写概率解题步骤。 识记 熟记平均数、加权平均数、中位数、众数的定义与计算公式，记住方差公式，知道方差反映波动大小；掌握四分位数、离差平方和的概念与应用；掌握等可能事件概率定义，牢记列表法、树状图法适用场景，分清放回与不放回试验，能准确说出各个统计量的名称，不混淆概念。 理解 理解平均数、中位数、众数分别从不同角度描述数据集中趋势；理解方差越大，数据波动越大、稳定性越差；掌握四分位数的概念与计算；理解等可能概率的前提是每个结果机会均等，读懂树状图、列表里的基本事件，能解释统计结果背后的数据含义。 应用 能根据一组数据计算各类统计量与方差，结合实际场景选择合适统计量描述数据；会求四分位数和离差平方和；会用列表或树状图列举所有等可能结果求概率，区分放回、不放回模型，依据统计量对数据稳定性做出简单评价，规范答题格式，减少计算失误。 考点一 平均数与加权平均数 算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 考点二 中位数与众数 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 考点三 四分位数与箱线图 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 考点四 方差与标准差 极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 考点五 离差平方和 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 考点六 等可能条件下的概率 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 1.这里的n个可以是有限个也可以是无限个，例如掷一枚均匀的普通骰子会出现的可能性是有限的，如图所示，转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时，指针位置会出现的可能性是无限的. 2.等可能性的含义 （1）所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有其中的一个结果出现； （2）每个结果出现的结果是均等的. 3.不同的等可能性的随机事件的可能性的大小可以比较，而且一般情况下可以计算. 4.等可能性与随机事件的关系：等可能性事件依赖于随机事件，并且等可能事件是一种特殊的随机事件，随机事件不一定是等可能事件. 有限个结果的等可能事件的概率 1.等可能条件下的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）. （1）试验的结果要具有有限性和等可能性； （2）随机事件的概率在0到1之间，即. 2.用列举法求概率 在一次试验中，如果出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率. 当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，我们可以采用直接列举试验结果的方法求概率. 列表法求概率 当一次试验涉及两个因素或需要分两步完成，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 1.列表法适用于两步随机试验，尤其是对两步随机试验的结果很多的题目； 2.在列表时，要考虑题中的随机试验是有放回的，还是无放回的，若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现. 画树状图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 无限个结果的等可能事件 如果区域I上有一个区域A，假设每次试验能够落在I上的任意一点处，并且落在任一点的可能性总是相同的，记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验落在区域A上的概率. 特别地，如果区域A被划分为m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域I被分成n等份（其中n＞m），那么一次试验落在区域A上的概率. 1.试验的结果要有无限性和等可能性； 2.无限个结果的等可能事件的概率可转化为有限个结果的等可能事件的概率进行计算. 题型一 平均数 典例1（26-27九年级上·河北沧州·期中）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，先计算所有数据的总和，再除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：先计算这组数据的总和：， 共有个数据，因此平均数为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·期中）学校要选拔一名选手参加全市中学生男子组百米比赛，拟从甲、乙两名同学中选出．甲、乙两名同学最近几次测试的百米跑成绩（单位：s）如下： 甲：12.8    12.4    12.2    13.1    12.7 乙：12.2    13.4    12.3    13.5    13.3    12.4    13.0 (1)分别计算甲、乙测试成绩的平均数． (2)从平均成绩和最好成绩方面看，谁的实力更强一些？ 【答案】(1)甲测试成绩的平均数为，乙测试成绩的平均数约为． (2)甲的实力更强一些． 【分析】（1）用成绩总和除以测试次数，分别计算甲、乙的平均成绩； （2）结合平均成绩与最好成绩两个维度，比较两人的实力强弱． 【详解】（1）解：甲的测试成绩总和为，测试次数为次， 甲的平均成绩为， 乙的测试成绩总和为，测试次数为次， 乙的平均成绩为． （2）解：百米跑用时越短，成绩越好， 又， 甲的平均成绩优于乙． 甲的最好成绩为，乙的最好成绩为， 两人最好成绩持平． 综上所述，甲的实力更强一些． 2．（26-27九年级上·全国·期中）A，B两家工厂生产同一型号的电池．现分别抽取了6节电池，测试其连续使用时间，数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 平均数 电池连续使用时间/h A厂 40 48 40 42 43 45 B厂 40 50 45 46 46 52 (1)计算两组数据的平均数，并填入表中． (2)由（1）的结果推断哪家工厂生产的电池质量可能更好些． 【答案】(1) 编号 1 2 3 4 5 6 平均数 电池连续使用时间/h A厂 40 48 40 42 43 45 B厂 40 50 45 46 46 52 (2)B工厂生产的电池质量可能更好些． 【详解】（1）解：， ， 填表：略 （2）解：∵， ∴说明B厂电池连续使用时间更长， ∴B工厂生产的电池质量可能更好些． 题型二 加权平均数 典例2（26-27九年级上·江苏盐城·期中）2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x (1)计算九年级（1）班的最终成绩； (2)如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 【答案】(1)分 (2)分 【分析】（1）根据加权平均数的公式解答即可； （2）根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：九年级（1）班的最终成绩为分； （2）解：根据题意得：， 解得：， 即它们的情感感染力得分x应该超过90分． 迁移应用 1．（26-27八年级上·全国·期中）某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐．其中三个班的成绩见下表： 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 【答案】 一班成绩为分，二班成绩为分，三班成绩为分，三班的广播体操比赛成绩最高 【分析】根据四项评分的权重比例，分别计算三个班的加权平均成绩，比较大小后确定成绩最高的班级． 【详解】解： 一班比赛成绩：（分） ， 二班比赛成绩：（分） ， 三班比赛成绩：（分） ， ∵， ∴三班的广播体操比赛成绩最高． 答：三班的广播体操比赛成绩最高． 2．（26-27八年级上·全国·期中）某汽车杂志使用计分系统对新车进行评价，总分最高的汽车将被授予“年度风云汽车”称号．有五款新车参与评价，结果如下： 参评汽车 评分项 安全性能 省油 外观 内部配饰 A 非常好 一般 良好 一般 B 一般 非常好 非常好 非常好 C 良好 非常好 非常好 一般 D 非常好 良好 一般 一般 E 良好 非常好 非常好 良好 规定：非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分． (1)计分规则：总分安全性能省油+外观+内部配饰．请计算每款车的总分，按此规则，哪款车会获得“年度风云汽车”称号？ (2)B款车在4项评分中有3项被评为“非常好”，是最多的，但没获得“年度风云汽车”称号．试分析其中的原因． 【答案】(1) A车总分为17分，B车总分为16分，C车总分为18分，D车总分为18分，E车总分为19分，E款车会获得“年度风云汽车”称号 (2) 解：∵计分规则中，安全性能权重为4，省油权重为2，外观和内部配饰权重均为1， 安全性能权重最高，对总分的影响最大， B车安全性能为一般，仅得1分，加权后得分为（分），远低于安全性能为良好或非常好的车型， B车其余3项均为非常好，加权后得分为（分），总分为16分，低于其他四款车的总分， 故B车未获得称号的原因是权重最高的安全性能得分过低，拉低了总分． 【分析】（1）先将评价等级转换为对应分值，再根据给定的加权总分公式，分别计算五款车的总分，比较总分高低得出结果. （2）从各评分项的权重差异入手，结合B车安全性能的得分情况，分析其总分不高的原因． 【详解】（1）解： 由题意得，非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分， A车总分：（分）， B车总分：（分）， C车总分：（分）， D车总分：（分）， E车总分：（分）， ∵， ∴E车总分最高， ∴E款车会获得“年度风云汽车”称号； （2）略 题型三 运用加权平均数做决策 典例3（2026九年级·广东·专题练习）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购，他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度 A 非常好 一般 良好 一般 良好 B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好 C 非常好 非常好 良好 一般 良好 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析B款手表“非常好”的项目数量最多，但小明未选择它的原因． 【答案】(1)“健康监测准确性” (2)A款智能手表的总分为19分，B款智能手表的总分为19分，C款智能手表的总分为23分；小明会选购C款智能手表． (3)解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大． 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可； （3）根据权重分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：A款智能手表的总分（分）； B款智能手表的总分：（分）； C款智能手表的总分：（分）． ∵， ∴小明会选购C款智能手表． （3）略 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·期中）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 【答案】(1)丙是优胜者； (2)乙是优胜者； (3)示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为，此时乙是优胜者． 【分析】（1）分别计算出三名候选人三项打分的算术平均数，比较后即可得到答案； （2）分别计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案； （3）根据题意给三项得分分配适当的权重，计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的成绩的算术平均数（分）， 乙的成绩的算术平均数（分）， 丙的成绩的算术平均数（分）， ∵， ∴如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么丙是优胜者； （2）解：甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者； （3）解：示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为， 甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者． 2．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【答案】(1) 解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩： 乙班的平均成绩：， ∵， ∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵， ∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可； （2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型四 求中位数和众数 典例4（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）（多选）设有7个正整数分别是11，3，6，3，5，3，x，若将这列数的平均数、众数、中位数按照大小排序，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可以是（     ） A．2 B．4 C．16 D．18 【答案】BD 【分析】先确定众数为3，再根据x的不同取值范围分类讨论中位数，结合三个统计量成等差数列的条件列方程求解． 【详解】解：已知数据中3出现3次，次数最多，故众数为3， 这组数据的平均数为， ∵这组数据均为正整数， ∴， 7个数的中位数为排序后第4个数，分情况讨论： ①当时，中位数为3，此时三个统计量为，按大小排序后中间数为3，由题意得，解得，不符合正整数要求，舍去； ②当时，为正整数，故，中位数为4，平均数为， 三个统计量为，排序后中间数为4，满足，符合题意； ③当时，中位数为5，而平均数， 由题意得，解得，符合正整数要求， 综上，可以是4或18． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·期中）九年级（1）班50名同学参加体育达标测试，测试成绩如下表所示．求测试成绩的平均数、中位数和众数． 成绩/分 65 70 75 80 85 90 95 人数 3 8 13 10 9 5 2 【答案】测试成绩的平均数为分，中位数为分，众数为分. 【分析】根据平均数，中位数，众数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意，得（分）； 中位数是第25个，第26个数据的平均数， 故中位数为：（分）； 数据75出现的次数最多， 故数据的众数为：75（分）． 2．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级6名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为79，80，84，，85，92，且这组成绩的平均数是84分，那么这组数据的众数为（    ） A．80 B．84 C．85 D．85.5 【答案】B 【分析】先根据平均数求出未知数据的值，再确定众数． 【详解】解：∵这组数据的平均数为， ∴， ∴， ∴， ∴这组数据为， ∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数为． 题型五 利用中位数、众数做决策 典例5（26-27九年级上·陕西延安·期中）运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次计算专项训练考试中第20题计算题的得分情况进行了调查．现分别从A、B两班各随机抽取10名学生的成绩，绘制成如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A、B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 a 中位数 b 众数 8 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)求A班所抽取学生成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)；9 (2)分 (3)解：B班计算题掌握得更好，理由如下： 两班平均分相同，但B班的中位数（分）高于A班的中位数（8分），说明B班半数以上学生的成绩不低于分，整体中等水平更优，成绩分布更集中稳定，且B班的众数也高于A班的众数， ∴B班计算题掌握得更好． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）两班平均分相同，对比中位数和众数，B班中位数和众数都更高，据此可得结论． 【详解】（1）解：把A班10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10， ∴A班10名学生的成绩的中位数为（分），即； ∵B班10名学生的成绩中，得分为9分的人数最多， ∴B班10名学生的成绩的众数为9分，即； （2）解：由题意得（分）， ∴A班所抽取学生成绩的平均数为分； （3）略 迁移应用 1．（2026·江苏淮安·中考真题）国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查．1．你喜欢的锻炼方式有（     ） A．跳绳    B．骑行    C．跑步    D．球类运动    E．游泳    F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 (1)填空：__________，动员前中位数落在__________组． (2)该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． (3)结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 【答案】(1)；C (2)动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人． (3)动员后该校学生节假日每天锻炼时长不低于的人数比动员前的人数有明显增加，故学校进行动员活动，可以鼓励学生每天锻炼时长的增加． 【分析】（1）用总人数减去其他四组的人数，即可得D组中的值，再根据中位数的定义求得动员前中位数落在C组． （2）先结合题意，分别求出动员前和动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比，再分别乘以，即可求得该校有名学生时动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． （3）结合动员前与动员后，对学生锻炼时长的变化进行评价即可，答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：由图可得， ∵对名学生进行问卷调查， ∴动员前中位数是第人和第人时长的平均数， 又∵动员前A组、B组人数之和为，动员前A组、B组、C组人数之和为， ∴动员前中位数落在C组． （2）解：由图可得，动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人， ∴动员前锻炼时长不低于的人数所占百分比为， 动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比为， ∴当该校有名学生时，估计动员前锻炼时长不低于的人数为（人）， 动员后锻炼时长不低于的人数为（人）． （3）略 2．（26-27九年级上·重庆·期中）随着科技进步与大数据时代的到来，智能化产品逐步走进大众日常生活．研究人员对甲、乙两款产品开展用户满意度评分测试，并分别随机抽取20份评分数据，对所得数据进行整理、描述和分析（评分分数记为，将评价结果分为四个等级：不满意A：；比较满意B：；满意C：；非常满意D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：71，72，73，74，76，77，78，82，82，82，84，85，86，87，88，89，94，95，96，99． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：81，84，85，85，86，88． 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数    甲 83.5 83 乙 83.5 b 94 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为甲，乙两款产品中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可） (3)在此次测试中，有1000人对甲款产品，800人对乙款产品参与评分，估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)乙款满意度更好 理由：乙的众数（）远高于甲的众数（），说明乙获得更多用户的相同高分评价；且乙的非常满意（D组）占比高于甲的 (3)估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有人． 【分析】（1）根据众数，中位数的定义分别求得的值，结合C组数据求得其占比，从而求得的值； （2）从众数分析即可求； （3）用样本估计总体，分别计算这两款产品非常满意的人数，再求和，即可求解． 【详解】（1）解：根据甲款评分数据，出现了3次，出现次数最多，故； 乙款评分数据共20个，A组个，B组个，C组6个，D组个 排序后第，个数据落在C组，分别是和，故， ，故； （2）略 （3）解： 答：估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有人． 题型六 求四分位数 典例6（26-27九年级上·河北沧州·期中）甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 【答案】(1)3，8，12；或4，8，11 (2)或 (3)乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 【分析】（1）先把甲公司 9 个销量数据从小到大排成 2，2，4，7，8，10，11，13，14，找到中位数 8，再分别用两种方法求出四分位数即可； （2）根据甲公司最小值 2、第一四分位数、中位数 8、第三四分位数、最大值 14 这五个关键数字，在坐标轴上画出对应的箱线图． （3）对比甲乙两个公司箱线图的四分位距、最值，得出乙公司销量更加稳定集中，甲公司销售人员销量差距更大． 【详解】（1）解：方法一： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； 第一四分位数​是前半部分的中位数：； 第三四分位数​是后半部分的中位数：． ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是3，中位数是8，第三四分位数是12． 方法二： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； ， ∵都不是整数， 第一四分位数​是排序后的第3个数据为：4； 第三四分位数是排序后的第7据为：11； ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是4，中位数是8，第三四分位数是11． （2）略． （3）解：∵ 由乙公司箱线图知：乙公司第一四分位数 6，中位数 8，第三四分位数 10． ∴对比箱线图可以看到：乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 迁移应用 1（26-27九年级上·江苏无锡·期中）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；请求出B阅览室预约人数的四分位数． 【答案】(1) ，和， (2) B阅览室预约人数的四分位数为，， 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合已知数据分别计算对应值． （2）参照A阅览室四分位数的计算规则，对排序后的B阅览室数据计算三个四分位数． 【详解】（1）解： 计算A阅览室预约人数的平均数： ， B阅览室的10个数据中，25和40均出现2次，出现次数最多， ∴ 众数和， 将B阅览室数据从小到大排列为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80， 共10个数据， 中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴ ． （2）解：由A阅览室的四分位数结果可得，10个从小到大排列的数据的四分位数计算规则为： 计算， 若结果为非整数，向上取整后对应位置的数为该分位数； 若结果为整数，对应位置与下一位置数的平均数为该分位数， B阅览室数据已从小到大排序，共10个，计算如下： ∵ ，向上取整为3，对应第3个数据为35， ∴ ， ∵ ，为整数， 对应第5个和第6个数据的平均数， ∴ ， ∵ ， 向上取整为8，对应第8个数据为65， ∴ ， 综上所述，B阅览室预约人数的四分位数为，，． 2．（26-27九年级上·河北衡水·期中）如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，第三四分位数 B．中位数，第一四分位数 C．众数，第三四分位数 D．众数，第一四分位数 【答案】C 【分析】理解众数的定义以及中位数、四分位数的位置特征，通过计算缺失数据的总和，判断这些统计量是否受缺失数据的影响． 【详解】解：计算缺失数据的总人数：根据题意，全班共有40名同学，已知视力为4.7的有9人，视力为5.0的有15人，视力为5.1的有2人，视力为4.8和4.9的人数之和为：（人）． 众数：众数是一组数据中出现次数最多的那个数据，根据分析，视力4.8的人数最多只能是14人（此时4.9为0人），视力4.9的人数最多也只能是14人（此时4.8为0人），因为视力为5.0的有15人，所以视力5.0的人数（15人）始终是这组数据中出现次数最多的，可以确定这组数据的众数一定是5.0． 中位数：中位数是将一组数据从小到大排列后，处于中间位置的数，如果数据个数是偶数，则取中间两个数的平均数．全班共有40人，是偶数，所以中位数是排序后第20个数据和第21个数据的平均数．视力4.7有9人，占据了第1到第9的位置；视力4.8和4.9共有14人，占据了第10到第23的位置；因为第20个数据和第21个数据都落在第10到第23这个范围内，所以这两个数据对应的视力值只能是4.8或者4.9．由于我们不知道视力4.8和4.9具体各有多少人，所以无法确定第20个和第21个数据具体是4.8还是4.9，也就无法确定中位数的具体数值． 分析四分位数：第一四分位数（）是前一半数据的中位数，第三四分位数（）是后一半数据的中位数．第一四分位数，即第10个数据，第10个数据落在视力4.8或4.9的范围内，具体数值取决于4.8和4.9的人数分配，因此无法确定；第三四分位数，即第30个数据，视力4.7、4.8、4.9的人数总和为人，视力5.0有15人，占据了第24到第38的位置，第30个数据位于第24到第38之间，对应的视力值一定是5.0． 根据以上分析，众数可以确定为5.0，中位数无法确定，第一四分位数无法确定．观察选项： 选项A，中位数，第三四分位数（中位数不确定），不符合题意； 选项B，中位数，第一四分位数（中位数、第一四分位数都不确定），不符合题意； 选项C，众数，第三四分位数（众数确定，第三四分位数确定），符合题意； 选项D，众数，第一四分位数（第一四分位数不确定），不符合题意． 题型七 画箱线图 典例7（26-27九年级上·陕西西安·期中）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 (1)填空：__________，__________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； (3)该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 【答案】(1)6.5，7 (2)5.5 (3)估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据下四分位数的定义求解即可； （3）八年级参加竞赛成绩的人数是人，求出所占百分比，即可求解． 【详解】（1）解：， 八年级7出现次数最多，； （2）解：方法一：八年级成绩箱线图的下四分位数是前半部分数据的中位数，即7，7，8，9，9，9的中位数，； 方法二：∵， ∴八年级成绩箱线图的下四分位数是从小到大排列后的第3和第4个数的平均数，即；； （3）解：（人）， 估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 【答案】(1)乙组的上四分位数90，乙组的下四分位数78 (2) 【分析】（1）根据四分位数的求法作答即可； （2）根据（1）中数据绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：乙组的上四分位数：方法一、乙组的中位数是， ∴乙组的上四分位数是中位数右侧四个数的中位数，即， 乙组的下四分位数是中位数左侧四个数的中位数，即， 方法二、∵，， ∴上四分位数是第、个数据的平均数，即， 下四分位数是第2、3个数据的平均数，即； （2）略 2．（25-26八年级下·青海玉树·期末）某校兴趣小组在科学实践活动中，在学校的甲、乙两块试验田中各随机抽取了16棵西红柿植株，并统计了每棵植株上西红柿的个数，将其数据整理如下（单位：个）： 甲试验田：28，29，34，36，37，39，41，46，48，50，53，54，55，55，63，64； 乙试验田：38，42，44，45，47，48，50，51，53，54，55，60，60，61，62，62． (1)请分别求出甲、乙两块试验田中16棵植株上西红柿个数的第一四分位数、中位数、第三四分位数； (2)根据（1）中的数据结果标注在如图所示的箱线图中． 【答案】(1)甲试验田16棵植株上西红柿个数的第一四分位数是36.5个，中位数是47个，第三四分位数是个；乙试验田16棵植株上西红柿个数的第一四分位数是46个，中位数是52个，第三四分位数是60个 (2) 【详解】（1）解：甲数据中第8个和第9个数据分别为，故中位数为， 四分位数的两种求法： 法一：前8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第一四分位数为， 后8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第三四分位数为； 法二：，为整数，故第一四分位数为第4个和第5个数据的平均数为， ，为整数，故第三四分位数为第12个和第13个数据的平均数为； 乙数据中第8个和第9个数据分别为，故中位数为， 四分位数的两种求法： 法一：前8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第一四分位数为， 后8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第三四分位数为； 法二：，为整数，故第一四分位数为第4个和第5个数据的平均数为， ，为整数，故第三四分位数为第12个和第13个数据的平均数为； （2）略 题型八 求方差 典例8（26-27九年级上·江苏无锡·期中）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 14 14 17 16 18 17 17 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析：绘制A队成绩的箱线图． (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】(1)16，B，2，B (2)如图， (3)选B队， 理由：从平均成绩看，可以看出B队的平均成绩更好； 从方差看可以看出B队队员之间的水平更加均衡； 从成绩的四分位数和箱线图看，可以看出B队选手间成绩差异没有A队的大， ∴总体情况B队更好， ∴选B队． 【分析】（1）根据平均数和方差的定义分别求出，，并分别与，比较大小，即可得出结论； （2）根据四分位数的概念求解，然后画出箱线图即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒）， ∵秒，， ∴可以看出B队的平均成绩更好； ， ∵，， 可以看出B队队员之间的水平更加均衡； （2）解：A队队员成绩排序为14，14，15，16，17，17，17，18， ∴中位数为， 解法一：下四分位数为前半部分的中位数：， 上四分位数为后半部分的中位数：； 解法二：由，可知下四分位数为第2个数据和第3个数据的平均数， ∴下四分位数为， 由，可知上四分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴上四分位数为． 绘制A队成绩的箱线图略； （3）略 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图统计图． 【数据分析】 (1)列表 选手 最小值、四分位数、最大值、平均数和方差 最小值 最大值 平均数 方差 A B 表中的________，__________，__________； 【作出决策】 (2)通过对上面数据进行分析，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？可以从平均数、方差的角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图的角度进行分析，请选择一个角度说明． 【答案】(1)，，． (2)选 参加青少年射击比赛． 【分析】（1）先从折线图中读出 ， 各自八轮的成绩并按从小到大排序，数据个数为偶数时，四分位数取中间两个数的平均数，由此求出 ；再用平均数、方差公式求出 ，； （2）比较两人的平均数和方差：平均数越大成绩越好，方差越小成绩越稳定，综合两者作出选择． 【详解】（1）解：由折线图可知， 的八轮成绩为 ，，，，，，，， 从小到大排列为 ，，，，，，，， 方法一： ． 方法二：∵，第一四分位数是第个数的平均数， 即 由折线图可知， 的八轮成绩为 ，，，，，，，， ∴ ． ∵ 的八轮成绩中， 环、 环各出现 次， 环出现 次， ∴ ． （2）解：选 参加青少年射击比赛． 由表中数据可知，，，，， ∴ ，且 ， ∴ 的平均成绩高于 ，且成绩比 稳定， ∴ 选 参加青少年射击比赛． 2．（26-27九年级上·河北邢台·期中）节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图（如图），其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 8 8 乙 5 甲、乙两个家庭月用水量折线图 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭七月份的用水量比六月份的用水量下降，恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 【答案】(1)乙家庭四月份的用水量为6吨；补全折线图如下： (2)乙家庭第二季度月用水量的方差为；乙家庭的月用水量波动小 (3) 【分析】（1）根据平均数的定义求出乙家庭四月份的用水量，再补全折线图即可； （2）利用方差计算公式求出乙家庭第二季度月用水量的方差，再根据方差的意义评价即可求解； （3）根据中位数的定义求出乙家庭第二季度月用水量的中位数，再根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为x吨， 由题意得， 解得， ∴乙家庭四月份的用水量为6吨， 补全折线图见答案； （2）解： ， ∵甲家庭方差，， ∴． ∴乙家庭的月用水量波动小； （3）解：将乙家庭三个月用水量从小到大排列为：5，6，， ∴中位数为6， ∵甲家庭六月份用水量为8吨，七月份用水量比六月份下降， ∴七月份用水量为吨， ∴ 解得． 题型九 利用方差做决策 典例9（2026九年级·广东·专题练习）深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50人，各场馆参与人数如下的条形统计图所示（图1）． (1)请根据图中信息，补全条形统计图； (2)现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分． 对以上打分数据进行整理，得到如下统计表： 场馆 平均数 众数 中位数 频率（满意度分） 方差 博物馆 科技馆 求表中的数据________，________； (3)结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)博物馆的体验更好，理由： 博物馆和科技馆打分的平均数相同，但博物馆打分的众数大于科技馆打分的众数， 所以博物馆的体验感会更好（答案不唯一）． 【分析】（1）根据总人数减去其他场馆的人数求得植物园的人数，进而补全统计图，即可； （2）根据频率以及中位数的定义，结合折线统计图，即可求得的值； （3）根据平均数、众数、中位数、方差等角度分析即可． 【详解】（1）解：植物园的人数为：； 图略； （2）解：博物馆的满意度分的频率， 科技馆的打分为：，，，，，，，，， 从小到大排列为：，，，，，，，，， 中位数； （3）略 迁移应用 1．（26-27八年级上·全国·期中）按要求解答 (1)下面两幅图分别表示甲、乙两名队员的射击成绩，你能从中“读”出他们射击成绩的平均数吗？你是怎么做的？ (2)根据（1）中的统计图，你能通过估计比较甲、乙两名队员射击成绩的方差的大小吗？你是怎么估计的？ (3)根据（1）中的统计图，分别计算甲、乙两名队员射击成绩的方差，你在（2）中的估计是否正确？ (4)如果丙队员的射击成绩如下图所示，那么三人射击成绩的方差谁的最大，谁的最小？你是怎样判断的？ 【答案】(1)都是8环，两图都是关于8环对称 (2)甲运动员的射击成绩的方差大，因为两幅图中都是关于8环呈对称分布，所以 8环的数据和接近8环的数据越少，方差就越大，所以甲运动员射击成绩的方差较大（估计方法不唯一） (3)，，估计正确 (4)丙运动员的射击成绩的方差最大，乙运动员的射击成绩的方差最小，因为丙运动员的射击成绩统计图也是关于8环呈对称分布，和甲运动员的成绩相比，8环次数相同，但7环和9环的次数都少于甲运动员，所以丙运动员的射击成绩的方差大于甲运动员的射击成绩的方差，所以丙运动员的射击成绩的方差最大，乙运动员的射击成绩的方差最小 【分析】（1）根据两图中的对称性求解即可； （2）根据方差与平均数的关系求解即可； （3）利用方差的求解公式计算两名运动员的方差，进而可判断； （4）根据丙队员的射击成绩的统计图的对称性和数据的集中程度，结合甲乙两名运动员的成绩进行分析可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， ∵， ∴，故在（2）中的估计正确； （4）略 2．（26-27九年级上·广西南宁·期中）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 (1)直接写出表中，，的值：______，______，______． (2)求出的值； (3)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)86，85，85 (2)d的值为 (3)八（2）班前5名同学的成绩较好，理由如下， 由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定， 八（2）班前5名同学的成绩较好． 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，计算即可； （2）根据方差的定义，计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数和方差分析做出决策． 【详解】（1）解：八（2）班的平均分（分）； 八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数； 85出现了2次，次数最多，所以众数； （2）解：八（1）班的方差 ， 则的值为； （3）略 题型十 求极差 典例10（25-26八年级下·重庆南岸·期中）去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据众数为一组数据中出现次数最多的数据，得到，再根据极差为最大数与最小数的差值，进行求解即可. 【详解】解：∵这组数据的众数是5， ∴， ∴极差为：． 迁移应用 1．（2023·四川凉山·模拟预测）在向地震灾区献爱心的活动中，某学习小组名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法中正确的是（     ） 捐款数额（元） 人数 A．众数是元 B．中位数是元 C．极差是元 D．平均数是元 【答案】B 【分析】本题考查众数、中位数、极差、平均数的计算，根据各统计量的定义结合表格数据计算，再判断选项即可； 【详解】解：∵捐款元的人数最多，共人，∴众数为元，选项A错误； 个数据的中位数是第个和第个数据的平均数，∵第、第个数据都是元， ∴中位数为元，选项B正确； ∵捐款最大值为元，最小值为元，∴极差为元，选项C错误； ∵捐款总额为元，∴平均数为元，选项D错误； 2（2026·安徽·二模）为搭建爱心桥梁、助力山区教育，某中学面向全校发起捐书倡议，号召同学们将闲置书籍赠予山区学子，用书香传递关爱．现将捐书情况绘制成统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)这些学生捐书数量的极差为________，这些学生捐书数量的中位数为________； (3)若在统计时漏掉名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是多少本？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由捐本书的人数及其所占百分比相除即可求出参加捐书的学生总人数，用总人数减去其余捐书的人数即可求出捐本书的人数，从而补全图形； （2）最大值减去最小值即可得极差；将这人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，求第和第个数据的平均数即可得中位数； （3）先求出平均数，漏掉的那个学生捐书数量比平均数大即可． 【详解】（1）解：参加捐书的学生总人数为：（人）， 捐本书的人数：（人）， 补全条形统计图略； （2）解：这些学生捐书数量的极差为（本）； 这人捐书的本数，按照从小到大的顺序排列，位于第和第个数据都是， 这些学生捐书数量的中位数为（本）； （3）解：这名学生捐书数量的平均数为：（本）， 平均数增大了， 漏掉的那个学生捐书数量最少是本． 题型十一 求离差平方和 典例11（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】总组内离差平方和为各组的离差平方和之和，因此首先需要分别计算两个分组各自的离差平方和．将两个组的离差平方和相加，即可得到总的组内离差平方和． 【详解】解：第一组数据84，86，87，87的平均数为， 其组内离差平方和为． 第二组数据88，90的平均数为， 其组内离差平方和为． ∴组内离差平方和为． 迁移应用 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某班生物组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：76，78，86，89，89，现将这5名同学按照实验结果分成和两组，请你计算这样分组的组内离差平方和． 【答案】这样分组的组内离差平方和是 【详解】解：组的平均数为，     该组的离差平方和为．     组的平均数为，     该组的离差平方和为，     ， 这样分组的组内离差平方和是． 2．（26-27九年级上·福建福州·期中）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先比较组内离差平方和，再分组即可． 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：， 最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 题型十二 离差平方和的应用 典例12（26-27九年级上·河北沧州·期中）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 【答案】(1) 八（1）班身高数据的离差平方和为，八（2）班身高数据的离差平方和为 (2) 八（2）班的身高数据离散程度更大 【分析】（1）先计算两组数据的平均数，再根据离差平方和的定义求和； （2）结合两组数据样本容量、平均数均相同的条件，通过比较离差平方和判断离散程度． 【详解】（1）解：设八（1）班身高的平均数为，八（2）班身高的平均数为， 则， ， ∴八（1）班离差平方和为 ； 八（2）班离差平方和为 ； （2）解：∵ 两个班身高数据的样本容量相同，平均数相同，且离差平方和， ∴ 八（2）班的身高数据离散程度更大． 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北邢台·期中） 在引体向上的测试中，5名同学完成的个数分别为5，9，1，3，11．根据组内离差平方和最小的原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． 【答案】将5个引体向上个数分为两组，一组为1，3，5；另一组为9，11． 【分析】若一组数据的平均数为，则离差平方和为，据此分别计算每种分组的总组内离差平方和，总离差平方和为两组内各数据与本组平均数差的平方和相加，总离差平方和最小的分组即为正确答案． 【详解】解：数据排序为1，3，5，9，11， 分组列表如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 两组总和 第1个间隔： 0 40 40 第2个间隔： 2 第3个间隔： 8 2 10 第4个间隔： 35 0 35 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此将5个引体向上个数分为两组，一组为1，3，5；另一组为9，11． 2．（26-27九年级上·全国·期中）平均数和中位数都是一组数据的代表值，但其代表的意义又有所不同．设数据，，，，分别为2，3，5，8，12，其平均数为，中位数为，回答下面的问题． (1)平均数____________，中位数____________． (2)设， ， ， ． 计算，并比较它们的大小，计算，并比较它们的大小． (3)根据计算结果，猜想一组数据与哪个数的距离和最小，与哪个数的差的平方和最小． 【答案】(1)6；5 (2)，，，，， (3)一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小 【分析】（1）根据平均数公式即可计算，再把数据按从小到大排序为：2，3，5，8，12，找到中间位置即可得中位数； （2）将数据2，3，5，8，12分别代入计算即可得的值，再比较大小即可； （3）根据（2）的计算结果可得：，，即可猜想一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小． 【详解】（1）解：根据平均数定义得： ， ∴平均数为6． 把数据按从小到大排序为：2，3，5，8，12， 观察发现中间位置的数为：5， ∴的值为5． ∴数据2，3，5，8，12的平均数为6，中位数为5； （2）解：根据（1）得，根据题意得、、、、分别为2、3、5、8、12， ∴ ， ， ∴． ， ， ． ， ∴． （3）解：根据（2）的计算结果可得：，， ∴一组数据与中位数的距离和最小，与平均数的差的平方和最小． 题型十三 求几何概率 典例13（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 迁移应用 1（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 【答案】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是. 2．（2022·陕西·模拟预测）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 题型十四 列表法或树状图法求概率 典例14（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数，计算即可. 【详解】（1）解：从四个舞蹈中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率为； （2）解：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果， 其中选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数有：，共种， ∴选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 迁移应用 1．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，任意抽取1张卡片，共有3种等可能性结果，抽到每张卡片的可能性是相同的， 抽到“马”的概率为． （2）解：画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种， 抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为． 2．（2026·江苏南京·三模）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】首先确定两次摸球是独立重复试验，用有放回摸球的概率计算规则，每次摸球的概率保持不变，计算时，先明确单次摸红球、白球的概率，因为两次颜色不同包含“先红后白”和“先白后红”两类事件，所以将两类事件的概率相加即可得到；计算时，先求出单次摸红球、白球的概率，同理将两类颜色不同的事件概率相加得到，再比较和的大小． 【详解】（1）解：根据题意，第一次摸球后放回，再摸第二次，所有等可能的结果共种：(红，红)、(红，白)、(白，红)、(白，白)， 其中两次摸球颜色不同的结果有种：(红，白)、(白，红)， ∴ ； （2）解：袋子总共有个球， 摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 两次颜色不同共有两种情况：（第一次红、第二次白）和（第一次白、第二次红）， ∴， ∵， ∴． 题型十五 概率的应用 典例15（2025·江苏连云港·模拟预测）小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【答案】(1) (2)估计游戏设计者可赚元 【分析】（1）通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数，根据概率公式计算得到小兔玩具的概率． （2）先计算每人次游戏设计者的收益，再结合人次的总参与量，用总收费减去总赔付金额，得到设计者的总盈利． 【详解】（1）解：画树状图为 共有10种等可能的结果数，其中符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数为4， 所以小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）解：（元）， 所以估计游戏设计者可赚1000元． 迁移应用 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 2．（25-26九年级上·江西吉安·期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取． (1)求小敏与小明均取到奖品A的概率； (2)求小川得到两件奖品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意画出树状图，确定所有可能数和满足题意得可能数，然后根据概率公式计算即可； （2）由题意可知：当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，然后再根据（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中小敏与小明均抽到奖品A的情况有2种，故所求概率为：． （2）解：由题意可知当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品， 由（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种． 故小川得到两件奖品的概率为：． 【点睛】本题主要考查了列树状图求概率、互斥事件等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（     ） A．0.3，0.3 B．0.4，0.3 C．0.3，0.6 D．0.35，0.3 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：∵节水量为的家庭有4户，出现次数最多， ∴众数为， ∵共有10户，将节水量从小到大排列后，中位数为第5、6个数据的平均数，节水量为的有2户，节水量为的有4户， ∴第5、6个数据均为， ∴中位数为． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）估计下列事件发生的概率最大的是（    ） A．水中捞月 B．玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”获胜 C．购买1张福利彩票中大奖 D．抛一枚质地均匀的硬币1次，“正面朝上” 【答案】D 【分析】分别确定各选项事件的概率大小，比较后即可得到结果． 【详解】解：选项A中“水中捞月”是不可能事件，； 选项B中，出“剪刀”获胜的所有等可能结果共种，获胜情况仅种， ； 选项C中，购买张福利彩票中大奖是极小概率事件，概率远小于； 选项D中，抛一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的概率； 比较可得，因此概率最大的是D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了几何概率问题，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质可得，证明，进而得出，根据几何概率，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是矩形，交于点，过点， ∴,， ∴， ∵， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 【答案】D 【分析】本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键． 由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为， A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意； B、中位数为，说法正确，不符合题意； C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意； D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意； 故选：D． 5．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试．成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（     ） A．2.29米 B．2.30米 C．2.31米 D．2.33米 【答案】C 【详解】解：这组数据按照从小到大排列是：2.29米，2.30米，2.31米，2.34米和2.35米， ∴这组数据的中位数是2.31米． 6．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）一组数据，，，，的平均数为，则的值为______． 【答案】 【分析】结合平均数的定义，根据已知的平均数建立关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵平均数的定义为一组数据的总和除以数据的总个数所得的商为这组数据的平均数， ∴， ， ， ，即的值为． 7．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【答案】92 【详解】解：根据权重计算总评成绩，列式得 ， 因此小丽本学期的总评成绩为92分． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图是莉莉种植的20棵花卉10天的生长高度箱线图（单位：毫米），根据箱线图可知，这20棵花卉10天生长高度的上四分位数是_______________毫米． 【答案】84 【分析】结合箱线图以及四分位数的定义即可得出上四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，该数据的中位数为，上四分位数是． 9．（26-27九年级上·浙江温州·期中）五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【分析】题干给出从小到大排好序的个数据，要求计算上四分位数，先计算分位数位置，再根据规则计算即可求解． 【详解】解：∵数据已经按从小到大排列，样本容量， 第一种方法：计算位置，为整数，根据分位数计算规则，上四分位数为第项与第项数据的平均数，第项数据是，第项数据是， ∴ 第二种方法：从小到大排列，后4个数据为：，，，， ∴上四分位数 10．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【答案】15 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先通过稳定的频率得到摸到黄球的概率，再用总球数乘概率得到黄球的估计个数． 【详解】解：根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，可得摸到黄球的概率近似为， 故黄球个数约为个． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【答案】(1)165；； (2)，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：165，； （2）解：． 而由（1）得， ∴方差分别是 ， ． 由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 12．（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解：， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在一次演讲比赛中，评委对5位选手的“语言表达”与“演讲内容”两项成绩打分如图所示． (1)5位选手“语言表达”成绩的众数是___________分，“演讲内容”成绩的中位数是___________分： (2)求5位选手“演讲内容”成绩的平均分； (3)根据规定，“语言表达”与“演讲内容”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为分，求“语言表达”所占比例为多少？（结果用百分数表示） 【答案】(1)90；85 (2)86分 (3) 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （1）分别根据众数、中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据加权平均数的计算公式解答即可． 【详解】（1）解：∵5位选手“语言表达”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“语言表达”成绩的众数是90分； ∵5位选手“演讲内容”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲内容”成绩的中位数是85分； （2）解：5位选手“演讲内容”成绩的平均分（分）； （3）解：设选手B“语言表达”所占比例为，则“演讲内容”为，根据题意得： ， 解得， 答：选手B“语言表达”所占比例为． 14．（26-27九年级上·陕西西安·期中）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛，在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 n P 乙 m 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n，p的值： ， ， （精确到）； (2)小明认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1)，8， (2) 他说得不对， 理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛． 【分析】本题考查了求中位数，求众数，求方差，运用方差做决策等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据中位数、众数和方差的定义可以解答本题； （2）根据方差越小越稳定可以解答本题． 【详解】（1）解：乙运动员的成绩按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10， 所以乙的中位数， 甲运动员成绩中8环有4次，出现次数最多， 所以甲运动员成绩众数， 甲运动员成绩的平均成绩为， 甲运动员成绩的方差， 故答案为：，8，； （2）略 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：因为去掉一个最高分和一个最低分不会影响一组数据位于中间位置或中间两数的平均数，所以对中位数没有影响，即中位数一定不发生变化． 17．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，计算各间隔分组的总组内离差平方和，选取总离差平方和最小的对应分组即可． 【详解】解：将名同学完成引体向上的个数从小到大排序，得，，，，．排序后共有个间隔， 分别计算各分组的总组内离差平方和： 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； ， 总组内离差平方和最小的是第个间隔对应的分组，即和， 分组正确的是B组． 18．（26-27九年级上·广西南宁·期中）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【答案】B 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形性质及角求出菱形面积，再根据图2得出点落在圆内的频率，最后利用几何概率公式估算阴影部分面积． 【详解】解：如图， 过点B作于点E， ∴， ∵菱形边长为，且有一个内角为， ∴，， ∴， ∴菱形的面积， 由图2可知，随着实验次数增加，点落在圆中的频率稳定在左右， ∴阴影部分面积约为． 20．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（     ） ①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】解：（环）， （环）， 故①正确； 根据众数的定义可知甲、乙的射击成绩的众数都是8，故②正确； 根据方差的定义可知甲成绩的方差为： ， 乙成绩的方差为： ， 故③错误； 把甲的射击成绩从小到大排列为， 则中位数是， 把乙的射击成绩从小到大排列为， 则中位数是， 故④正确. 21．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）九年级某个小组的8名同学在一次测试中，每分钟跳绳的个数分别为：105，182，136，112，145，171，155，191．这一数据中第一四分位数是_________． 【答案】 【分析】先把这组数据排序，再根据第一四分位数的定义求解即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序可得：，，，，，，，， 方法1：∵， ∴这组数据中第一四分位数是排序后的第2个数和第3个数的平均数，即为； 方法2：排序后的前4个数为，，，，这四个数的中位数为， ∴这组数据中第一四分位数是124； 综上所述，这组数据中第一四分位数是124． 22．（26-27九年级上·河北沧州·期中）已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 【答案】或 【分析】一组数据，，，，的平均数是，方差是，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，列出关于，的方程，求解得到的结果． 【详解】解：原数据，，，，的平均数，方差， 对于新数据，，，，， 根据平均数的计算性质，可知新平均数为：，即①， 根据方差的计算性质，可知新方差为：， 所以， 解得或， 当时，代入①得，解得，此时， 当时，代入①得，解得，此时， 因此的值为或． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按确定最终成绩，王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为______________． 【答案】 【分析】根据雷达图读取德、智、体、美、劳五方面的具体得分，结合题目给出的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可得出最终成绩． 【详解】解：由图可知，王林同学德、智、体、美、劳五方面的得分分别为，，，，， ∵德智体美劳五方面按确定最终成绩， ∴王林期末操行最终得分为： ． 24．（26-27九年级上·山西运城·期中）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 26．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．三名候选人的素质测试成绩如表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权重，根据总评成绩得分最高者将被录用．这三人中谁将被录用？ 测试成绩单位：分 素质测试 小赵 小钱 小孙 计算机 语言 商品知识 【答案】小钱将被录用 【分析】分别求出三人的加权总评成绩，比较即可求解． 【详解】解：由题意得，小赵的总评成绩为（分）， 小钱的总评成绩为（分）， 小孙的总评成绩为（分）， ∵ ， ∴小钱的总评成绩最高， ∴小钱将被录用． 27．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径．某学校科创社团组装了甲、乙两个智能机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛．为此，该社团对两个智能机器人分别进行了5次测试（百分制，单位：分），将测试结果记录如下： 甲：77，85，85，86，92； 乙：79，85，85，89，92． 通过数据分析，列表如下： 智能机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 a 85 22.8 乙 m 85 b 19.2 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中 ， ； (2)求智能机器人乙这5次测试成绩的平均数； (3)你认为科创社团应该选哪个智能机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由．（写出一条合理的理由即可） 【答案】(1)85，85 (2)智能机器人乙这5次测试成绩的平均数是86分 (3)应选智能机器人乙参加青少年科技创新大赛． 理由：由数据可知，两个智能机器人测试成绩的中位数，众数相同，而智能机器人乙测试成绩的平均数更高，且方差更小，成绩更稳定，所以应选智能机器人乙参加青少年科技创新大赛． 【分析】（1）按照中位数和众数的定义和计算方法即可求得a，b的值， （2）按平均数公式计算即可； （3）中位数，众数相同，选方差小且平均数高的智能机器人参赛． 【详解】（1）解：5个数据从小到大排序，中间的数是85，， 5个数据从小到大排序， 85出现的次数最多，； （2）（分）， 智能机器人乙这5次测试成绩的平均数是86分； （3）略． 28．（26-27九年级上·广西南宁·期中）为提升全体学生的东盟知识素养，七、八年级组织开展东盟知识竞赛活动．为了解竞赛成绩，从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理、描述和分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 62，70，70，81，87，91，93，96，98，100． 八年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． 分析数据： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级    根据以上信息回答下列问题： (1)______，______； (2)七年级学生竞赛成绩第一四分位数______，补全七年级竞赛成绩的箱线图； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对七、八年级的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况做出评价． 【答案】(1)，． (2)，补全后的箱线图如图 (3)选择方差：七年级成绩的方差为 ，八年级成绩的方差为 ，因为 ，所以八年级学生的竞赛成绩更稳定，七年级学生成绩的波动更大．（答案不唯一，选平均数或中位数均可） 【分析】（1）七年级10个成绩的中位数为第5、6个数的平均数，据此得 ；八年级成绩中 出现次数最多，据此得 ； （2）把七年级成绩分成位于中位数左、右的两部分，左侧5个数据的中位数即第一四分位数 ，再由最小值、、中位数、、最大值五个数补全箱线图； （3）从平均数、中位数、方差中任选其一作比较：方差越小成绩越稳定，平均数或中位数越高平均水平越高． 【详解】（1）解：将七年级10名学生的成绩从小到大排列：62，70，70，81，87，91，93，96，98，100． 成绩个数为10，中位数为第5、6个数 与 的平均数， ∴ ． 八年级10名学生的成绩中， 出现2次，其余各数均只出现1次， ∴ 众数 ． （2）解：七年级成绩从小到大排列后，位于中位数左侧的5个数据为 ，，，，， 其中位数为第3个数， ∴ 第一四分位数 ． 七年级成绩的最小值为 ，最大值为 ；位于中位数右侧的5个数据为 ，，，，，其中位数为 ，即 ． 由最小值 、、中位数 、、最大值 补全七年级的箱线图（见答案处图形）． （3）解：选择方差． 七年级成绩的方差为 ，八年级成绩的方差为 ． ∵ ， ∴ 八年级学生的竞赛成绩更稳定，波动更小，整体水平更整齐；七年级学生成绩的离散程度更大，高低分差距更明显． （若选平均数：七年级为 ，八年级为 ，八年级平均水平略高；若选中位数：七年级为 ，八年级为 ，八年级中等水平学生的成绩更好．） 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差与箱线图的识读及补全；解题关键是先把10个数据从小到大排列，用"中位数一侧数据的中位数"求第一、第三四分位数，并由最小值、、中位数、、最大值五个数补全箱线图；评价两个年级时，方差越小说明成绩越稳定，平均数或中位数越高说明平均水平越好． 29．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）收集数据 某实验室为了从甲、乙两个图象分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在 轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（单位：）； 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 整理数据 将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图． 分析数据 (1)如图1，若利用平均数、方差进行分析． ①通过计算平均数，，求乙模型测试的平均准确率； ②再计算方差，，求乙模型测试的准确率的方差． [提示：] (2)如图2，若利用四分位数、箱线图进行分析： 准确率/ 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 乙 处应填_________，处应填_________，处应填_________． 作出决策 (3)请你根据轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作分析） 【答案】(1)①；② (2)，， (3)选择乙模型， 理由：甲乙平均准确率相同，都是，但是乙的方差小于甲的方差，乙的准确率波动更小，更稳定；从四分位数、箱线图看，乙的最小值高于甲的最小值，乙的下四分位数也高于甲的下四分位数，乙低分更少，整体表现更稳定可靠． 【分析】（1）①乙全部数据相加，除以求平均准确率；②代入方差公式计算即可； （2）先排序，再根据四分位数的计算规则求解； （3）对比两组的平均数、方差、四分位数得出结论． 【详解】（1）①解：乙模型测试的平均准确率为； ②解：乙模型测试的准确率的方差为． （2）解：甲模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 乙模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 方法一： 中位数即第二四分位数为第、个数据的平均数， 则， 第一四分位数为前个数据的中位数，即第个数据， 则， 第三四分位数为后个数据的中位数，即第个数据， 则． 方法二：， 则第一四分位数为第个数据， ； ， 则中位数即第二四分位数为第、个数据的平均数， ； ， 则第三四分位数为第个数据， ． （3）略 30．（2026九年级上·江苏·专题练习）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法__________（填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①请求出的取值范围； ②请直接写出发生这种情况的概率是_______． 【答案】(1)错误 (2)①；② 【分析】（1）摸球是属于随机事件，每次摸球都是独立的，每种可能性相同，即可判断乙同学的说法； （2）①根据“这10次得分的平均数不小于，且不大于”列出不等式组，求解即可； ②通过列表或画树状图得到最后两次摸球得分情况总数和符合要求的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：乙同学的说法错误． 理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为，故乙同学的说法错误． （2）解：①前8次摸球得分的和为， ∵这10次得分的平均数不小于，且不大于， ∴， 解得：． ②列表得 第9次第10次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数据的集中趋势与离散程度+等可能条件下的概率 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平均数与加权平均数 考点二 中位数与众数 考点三 四分位数与箱线图 考点四 方差与标准差 考点五 离差平方和 考点六 等可能条件下的概率 05 重难题型突破 题型一 平均数 题型二 加权平均数 题型三 运用加权平均数做决策 题型四 求中位数和众数 题型五 利用中位数、众数做决策 题型六 求四分位数 题型七 画箱线图 题型八 求方差 题型九 利用方差做决策 题型十 求极差 题型十一 求离差平方和 题型十二 离差平方和的应用 题型十三 求几何概率 题型十四 列表法或树状图法求概率 题型十五 概率的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九上期中，该板块约 10～16 分，占试卷 8%～12%，多为选择、填空、简单解答，一般不设置压轴，属于稳拿分的基础内容。 2. 题型特点 常考平均数、中位数、众数、方差计算，以及简单等可能概率；题干贴近生活情境，题型常规，多套用公式或列表、画树状图求解。 3. 难度分布 以基础题为主，几乎无难题；中档题集中在方差意义辨析、区分集中趋势统计量；容易在审题、数据排序、放回与不放回上粗心出错。 4. 备考方向 熟记统计量、方差公式，分清各自意义；熟练用树状图、列表法求概率，区分放回、不放回试验；仔细排序数据，规范书写概率解题步骤。 识记 熟记平均数、加权平均数、中位数、众数的定义与计算公式，记住方差公式，知道方差反映波动大小；掌握四分位数、离差平方和的概念与应用；掌握等可能事件概率定义，牢记列表法、树状图法适用场景，分清放回与不放回试验，能准确说出各个统计量的名称，不混淆概念。 理解 理解平均数、中位数、众数分别从不同角度描述数据集中趋势；理解方差越大，数据波动越大、稳定性越差；掌握四分位数的概念与计算；理解等可能概率的前提是每个结果机会均等，读懂树状图、列表里的基本事件，能解释统计结果背后的数据含义。 应用 能根据一组数据计算各类统计量与方差，结合实际场景选择合适统计量描述数据；会求四分位数和离差平方和；会用列表或树状图列举所有等可能结果求概率，区分放回、不放回模型，依据统计量对数据稳定性做出简单评价，规范答题格式，减少计算失误。 考点一 平均数与加权平均数 算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 考点二 中位数与众数 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 考点三 四分位数与箱线图 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 考点四 方差与标准差 极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 考点五 离差平方和 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 考点六 等可能条件下的概率 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 1.这里的n个可以是有限个也可以是无限个，例如掷一枚均匀的普通骰子会出现的可能性是有限的，如图所示，转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时，指针位置会出现的可能性是无限的. 2.等可能性的含义 （1）所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有其中的一个结果出现； （2）每个结果出现的结果是均等的. 3.不同的等可能性的随机事件的可能性的大小可以比较，而且一般情况下可以计算. 4.等可能性与随机事件的关系：等可能性事件依赖于随机事件，并且等可能事件是一种特殊的随机事件，随机事件不一定是等可能事件. 有限个结果的等可能事件的概率 1.等可能条件下的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）. （1）试验的结果要具有有限性和等可能性； （2）随机事件的概率在0到1之间，即. 2.用列举法求概率 在一次试验中，如果出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率. 当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，我们可以采用直接列举试验结果的方法求概率. 列表法求概率 当一次试验涉及两个因素或需要分两步完成，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 1.列表法适用于两步随机试验，尤其是对两步随机试验的结果很多的题目； 2.在列表时，要考虑题中的随机试验是有放回的，还是无放回的，若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现. 画树状图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 无限个结果的等可能事件 如果区域I上有一个区域A，假设每次试验能够落在I上的任意一点处，并且落在任一点的可能性总是相同的，记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验落在区域A上的概率. 特别地，如果区域A被划分为m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域I被分成n等份（其中n＞m），那么一次试验落在区域A上的概率. 1.试验的结果要有无限性和等可能性； 2.无限个结果的等可能事件的概率可转化为有限个结果的等可能事件的概率进行计算. 题型一 平均数 典例1（26-27九年级上·河北沧州·期中）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·期中）学校要选拔一名选手参加全市中学生男子组百米比赛，拟从甲、乙两名同学中选出．甲、乙两名同学最近几次测试的百米跑成绩（单位：s）如下： 甲：12.8    12.4    12.2    13.1    12.7 乙：12.2    13.4    12.3    13.5    13.3    12.4    13.0 (1)分别计算甲、乙测试成绩的平均数． (2)从平均成绩和最好成绩方面看，谁的实力更强一些？ 2．（26-27九年级上·全国·期中）A，B两家工厂生产同一型号的电池．现分别抽取了6节电池，测试其连续使用时间，数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 平均数 电池连续使用时间/h A厂 40 48 40 42 43 45 B厂 40 50 45 46 46 52 (1)计算两组数据的平均数，并填入表中． (2)由（1）的结果推断哪家工厂生产的电池质量可能更好些． 题型二 加权平均数 典例2（26-27九年级上·江苏盐城·期中）2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x (1)计算九年级（1）班的最终成绩； (2)如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 迁移应用 1．（26-27八年级上·全国·期中）某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐．其中三个班的成绩见下表： 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 2．（26-27八年级上·全国·期中）某汽车杂志使用计分系统对新车进行评价，总分最高的汽车将被授予“年度风云汽车”称号．有五款新车参与评价，结果如下： 参评汽车 评分项 安全性能 省油 外观 内部配饰 A 非常好 一般 良好 一般 B 一般 非常好 非常好 非常好 C 良好 非常好 非常好 一般 D 非常好 良好 一般 一般 E 良好 非常好 非常好 良好 规定：非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分． (1)计分规则：总分安全性能省油+外观+内部配饰．请计算每款车的总分，按此规则，哪款车会获得“年度风云汽车”称号？ (2)B款车在4项评分中有3项被评为“非常好”，是最多的，但没获得“年度风云汽车”称号．试分析其中的原因． 题型三 运用加权平均数做决策 典例3（2026九年级·广东·专题练习）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购，他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度 A 非常好 一般 良好 一般 良好 B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好 C 非常好 非常好 良好 一般 良好 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析B款手表“非常好”的项目数量最多，但小明未选择它的原因． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·期中）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 2．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 题型四 求中位数和众数 典例4（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）（多选）设有7个正整数分别是11，3，6，3，5，3，x，若将这列数的平均数、众数、中位数按照大小排序，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可以是（     ） A．2 B．4 C．16 D．18 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·期中）九年级（1）班50名同学参加体育达标测试，测试成绩如下表所示．求测试成绩的平均数、中位数和众数． 成绩/分 65 70 75 80 85 90 95 人数 3 8 13 10 9 5 2 2．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级6名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为79，80，84，，85，92，且这组成绩的平均数是84分，那么这组数据的众数为（    ） A．80 B．84 C．85 D．85.5 题型五 利用中位数、众数做决策 典例5（26-27九年级上·陕西延安·期中）运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次计算专项训练考试中第20题计算题的得分情况进行了调查．现分别从A、B两班各随机抽取10名学生的成绩，绘制成如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A、B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 a 中位数 b 众数 8 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)求A班所抽取学生成绩的平均数； (3)根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由．（写出一条即可） 迁移应用 1．（2026·江苏淮安·中考真题）国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查．1．你喜欢的锻炼方式有（     ） A．跳绳    B．骑行    C．跑步    D．球类运动    E．游泳    F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 (1)填空：__________，动员前中位数落在__________组． (2)该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． (3)结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 2．（26-27九年级上·重庆·期中）随着科技进步与大数据时代的到来，智能化产品逐步走进大众日常生活．研究人员对甲、乙两款产品开展用户满意度评分测试，并分别随机抽取20份评分数据，对所得数据进行整理、描述和分析（评分分数记为，将评价结果分为四个等级：不满意A：；比较满意B：；满意C：；非常满意D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：71，72，73，74，76，77，78，82，82，82，84，85，86，87，88，89，94，95，96，99． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：81，84，85，85，86，88． 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数    甲 83.5 83 乙 83.5 b 94 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为甲，乙两款产品中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可） (3)在此次测试中，有1000人对甲款产品，800人对乙款产品参与评分，估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有多少人？ 题型六 求四分位数 典例6（26-27九年级上·河北沧州·期中）甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 迁移应用 1（26-27九年级上·江苏无锡·期中）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；请求出B阅览室预约人数的四分位数． 2．（26-27九年级上·河北衡水·期中）如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，第三四分位数 B．中位数，第一四分位数 C．众数，第三四分位数 D．众数，第一四分位数 题型七 画箱线图 典例7（26-27九年级上·陕西西安·期中）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 (1)填空：__________，__________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； (3)该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 2．（25-26八年级下·青海玉树·期末）某校兴趣小组在科学实践活动中，在学校的甲、乙两块试验田中各随机抽取了16棵西红柿植株，并统计了每棵植株上西红柿的个数，将其数据整理如下（单位：个）： 甲试验田：28，29，34，36，37，39，41，46，48，50，53，54，55，55，63，64； 乙试验田：38，42，44，45，47，48，50，51，53，54，55，60，60，61，62，62． (1)请分别求出甲、乙两块试验田中16棵植株上西红柿个数的第一四分位数、中位数、第三四分位数； (2)根据（1）中的数据结果标注在如图所示的箱线图中． 题型八 求方差 典例8（26-27九年级上·江苏无锡·期中）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 14 14 17 16 18 17 17 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； (2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析：绘制A队成绩的箱线图． (3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图统计图． 【数据分析】 (1)列表 选手 最小值、四分位数、最大值、平均数和方差 最小值 最大值 平均数 方差 A B 表中的________，__________，__________； 【作出决策】 (2)通过对上面数据进行分析，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？可以从平均数、方差的角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图的角度进行分析，请选择一个角度说明． 2．（26-27九年级上·河北邢台·期中）节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图（如图），其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 8 8 乙 5 甲、乙两个家庭月用水量折线图 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭七月份的用水量比六月份的用水量下降，恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 题型九 利用方差做决策 典例9（2026九年级·广东·专题练习）深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50人，各场馆参与人数如下的条形统计图所示（图1）． (1)请根据图中信息，补全条形统计图； (2)现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分． 对以上打分数据进行整理，得到如下统计表： 场馆 平均数 众数 中位数 频率（满意度分） 方差 博物馆 科技馆 求表中的数据________，________； (3)结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由． 迁移应用 1．（26-27八年级上·全国·期中）按要求解答 (1)下面两幅图分别表示甲、乙两名队员的射击成绩，你能从中“读”出他们射击成绩的平均数吗？你是怎么做的？ (2)根据（1）中的统计图，你能通过估计比较甲、乙两名队员射击成绩的方差的大小吗？你是怎么估计的？ (3)根据（1）中的统计图，分别计算甲、乙两名队员射击成绩的方差，你在（2）中的估计是否正确？ (4)如果丙队员的射击成绩如下图所示，那么三人射击成绩的方差谁的最大，谁的最小？你是怎样判断的？ 2．（26-27九年级上·广西南宁·期中）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 (1)直接写出表中，，的值：______，______，______． (2)求出的值； (3)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 题型十 求极差 典例10（25-26八年级下·重庆南岸·期中）去年的“植树节”时，文德中学八（1）班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5棵，则该组数据的极差是（     ） A．5 B．4 C．3 D． 迁移应用 1．（2023·四川凉山·模拟预测）在向地震灾区献爱心的活动中，某学习小组名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法中正确的是（     ） 捐款数额（元） 人数 A．众数是元 B．中位数是元 C．极差是元 D．平均数是元 2（2026·安徽·二模）为搭建爱心桥梁、助力山区教育，某中学面向全校发起捐书倡议，号召同学们将闲置书籍赠予山区学子，用书香传递关爱．现将捐书情况绘制成统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)这些学生捐书数量的极差为________，这些学生捐书数量的中位数为________； (3)若在统计时漏掉名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是多少本？ 题型十一 求离差平方和 典例11（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 迁移应用 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某班生物组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：76，78，86，89，89，现将这5名同学按照实验结果分成和两组，请你计算这样分组的组内离差平方和． 2．（26-27九年级上·福建福州·期中）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 题型十二 离差平方和的应用 典例12（26-27九年级上·河北沧州·期中）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北邢台·期中） 在引体向上的测试中，5名同学完成的个数分别为5，9，1，3，11．根据组内离差平方和最小的原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． 2．（26-27九年级上·全国·期中）平均数和中位数都是一组数据的代表值，但其代表的意义又有所不同．设数据，，，，分别为2，3，5，8，12，其平均数为，中位数为，回答下面的问题． (1)平均数____________，中位数____________． (2)设， ， ， ． 计算，并比较它们的大小，计算，并比较它们的大小． (3)根据计算结果，猜想一组数据与哪个数的距离和最小，与哪个数的差的平方和最小． 题型十三 求几何概率 典例13（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 2．（2022·陕西·模拟预测）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 题型十四 列表法或树状图法求概率 典例14（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 迁移应用 1．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 2．（2026·江苏南京·三模）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 题型十五 概率的应用 典例15（2025·江苏连云港·模拟预测）小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 迁移应用 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 2．（25-26九年级上·江西吉安·期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取． (1)求小敏与小明均取到奖品A的概率； (2)求小川得到两件奖品的概率． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（     ） A．0.3，0.3 B．0.4，0.3 C．0.3，0.6 D．0.35，0.3 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）估计下列事件发生的概率最大的是（    ） A．水中捞月 B．玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”获胜 C．购买1张福利彩票中大奖 D．抛一枚质地均匀的硬币1次，“正面朝上” 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 5．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试．成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（     ） A．2.29米 B．2.30米 C．2.31米 D．2.33米 6．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）一组数据，，，，的平均数为，则的值为______． 7．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图是莉莉种植的20棵花卉10天的生长高度箱线图（单位：毫米），根据箱线图可知，这20棵花卉10天生长高度的上四分位数是_______________毫米． 9．（26-27九年级上·浙江温州·期中）五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 10．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 12．（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在一次演讲比赛中，评委对5位选手的“语言表达”与“演讲内容”两项成绩打分如图所示． (1)5位选手“语言表达”成绩的众数是___________分，“演讲内容”成绩的中位数是___________分： (2)求5位选手“演讲内容”成绩的平均分； (3)根据规定，“语言表达”与“演讲内容”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为分，求“语言表达”所占比例为多少？（结果用百分数表示） 14．（26-27九年级上·陕西西安·期中）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛，在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 n P 乙 m 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n，p的值： ， ， （精确到）； (2)小明认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 17．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A．和 B．和 C．和 D．和 18．（26-27九年级上·广西南宁·期中）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 20．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图是某班甲、乙两名射击选手最近10次射击训练成绩的折线统计图，下面四个推断中合理的是（     ） ①甲、乙的射击成绩的平均数都是8；②甲、乙的射击成绩的众数都是8；③甲成绩的方差比乙成绩的方差小；④甲、乙成绩的中位数都是8． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 21．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）九年级某个小组的8名同学在一次测试中，每分钟跳绳的个数分别为：105，182，136，112，145，171，155，191．这一数据中第一四分位数是_________． 22．（26-27九年级上·河北沧州·期中）已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按确定最终成绩，王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为______________． 24．（26-27九年级上·山西运城·期中）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 26．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．三名候选人的素质测试成绩如表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权重，根据总评成绩得分最高者将被录用．这三人中谁将被录用？ 测试成绩单位：分 素质测试 小赵 小钱 小孙 计算机 语言 商品知识 27．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径．某学校科创社团组装了甲、乙两个智能机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛．为此，该社团对两个智能机器人分别进行了5次测试（百分制，单位：分），将测试结果记录如下： 甲：77，85，85，86，92； 乙：79，85，85，89，92． 通过数据分析，列表如下： 智能机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 a 85 22.8 乙 m 85 b 19.2 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中 ， ； (2)求智能机器人乙这5次测试成绩的平均数； (3)你认为科创社团应该选哪个智能机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由．（写出一条合理的理由即可） 28．（26-27九年级上·广西南宁·期中）为提升全体学生的东盟知识素养，七、八年级组织开展东盟知识竞赛活动．为了解竞赛成绩，从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理、描述和分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 62，70，70，81，87，91，93，96，98，100． 八年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． 分析数据： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级    根据以上信息回答下列问题： (1)______，______； (2)七年级学生竞赛成绩第一四分位数______，补全七年级竞赛成绩的箱线图； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对七、八年级的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况做出评价． 29．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）收集数据 某实验室为了从甲、乙两个图象分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在 轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（单位：）； 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 整理数据 将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图． 分析数据 (1)如图1，若利用平均数、方差进行分析． ①通过计算平均数，，求乙模型测试的平均准确率； ②再计算方差，，求乙模型测试的准确率的方差． [提示：] (2)如图2，若利用四分位数、箱线图进行分析： 准确率/ 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 乙 处应填_________，处应填_________，处应填_________． 作出决策 (3)请你根据轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作分析） 30．（2026九年级上·江苏·专题练习）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法__________（填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①请求出的取值范围； ②请直接写出发生这种情况的概率是_______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $