专题06点与圆.直线与圆的位置关系期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题06点与圆.直线与圆的位置关系期中复习讲义 1.掌握点与圆的三种位置关系，能根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置，也能由点和圆的位置关系求解半径范围，会解决点到圆上点的最值问题。 2.理解直线与圆的三种位置关系，依托圆心到直线的距离和半径的数量关系进行判定，能根据位置关系求半径取值范围、圆心到直线的距离，掌握圆平移后与直线相切的相关计算。 3.掌握切线相关核心知识点，能辨析切线概念，熟练掌握切线的判定与性质定理；可以独立完成切线证明，运用切线长定理进行计算与证明。 4.理解三角形内切圆、内心的概念，掌握直角三角形、一般三角形周长、面积和内切圆半径之间的计算公式，能处理内切圆与外接圆结合的综合题型。 5.能够综合运用圆的相关知识，解决圆和三角形、四边形、函数结合的几何综合题，提升几何推理、数形结合能力。 6.梳理常见易错点：证明切线时 “连半径，证垂直”“作垂直，证半径” 两种模型区分；分清内心、外心的定义与性质；动态平移相切问题要分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 判断点与圆的位置关系 ★ 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型三 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 题型四 判断直线和圆的位置关系 ★ 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型六 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★★ 题型八 切线的应用 ★★ 题型九 有关切线的概念辨析 ★ 题型十 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型十一 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型十二 切线的性质定理 ★★ 题型十三 切线的性质和判定的综合应用 ★★★★ 题型十四 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十五 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十八 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型十九 圆内知识综合 ★★★★ 题型二十 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型二十一 圆与四边形的综合 ★★★★ 题新二十二 圆与函数的综合 ★★★★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 位置关系 公共点个数 d与r大小关系 图形特征 直线名称 相离 0 个 d>r 直线完全在圆外侧，无交点 割线无 相切 1 个 d=r 直线与圆仅有唯一公共点 切线，公共点叫切点 相交 2 个 d<r 直线穿过圆内部，两点相交 割线，两点为交点 核心逻辑：图形位置（形）⇔距离半径大小（数），数形结合双向互判。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 类别 使用条件 核心作用 推理方向 切线性质 已知切线 推导垂直关系 切线→垂直半径 切线判定 证切线 证明直线是切线 垂直半径且过半径外端→切线 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点03:三角形的内切圆与内心 1. 基础概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆； 内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点； 核心性质：内心到三角形三条边的距离相等，距离长度为内切圆半径r。 2. 内心与外心完整对比（高频易混，课堂必讲） 名称 交点来源 到图形距离特征 位置规律 适用考点 外心 三边垂直平分线交点 到三个顶点距离相等（外接圆半径） 锐角内、直角斜边中点、钝角外 圆周角、外接圆 内心 三条角平分线交点 到三条边距离相等（内切圆半径） 永远在三角形内部 切线、内切圆计算 3. 直角三角形内切圆半径公式 设 Rt△两直角边a、b，斜边c，面积S，周长C 通用公式：r= 直角三角形简化公式：r= 4. 三角形内切圆尺规作图步骤 (1)任意作三角形两个内角的角平分线； (2)两条角平分线交点即为内心； (3)过内心向任意一边作垂线段，垂线段长为半径画圆，即为内切圆。 知识点04:本节经典解题模型 1.切线直角模型：切线 + 切点半径，直接出现直角三角形，搭配勾股定理求边长； 2.双切线全等模型：圆外一点引两条切线，形成一对全等直角三角形，用于转化等线段、等角； 3.内心倒角模型：利用角平分线性质，推导三角形内角与内心夹角关系。 知识点05:全节高频易错点（课堂纠错重点，减少学生失分） 1.判定切线时遗漏关键条件：只证垂直，未说明直线过半径外端；或只说过端点，缺少垂直； 2.混淆内心、外心定义，记错二者距离性质与作图平分线； 3.直线与圆位置判断搞反大小关系：相交记成d>r，相离记成d<r； 4.切线长定理只记住线段相等，忽略连线平分夹角、垂直平分切点弦的衍生结论； 5.使用内切圆半径公式不分题型，直接套用直角三角形简化公式到普通三角形。 题型一：判断点与圆的位置关系 1．在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 2．在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或外 3．如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 题型二：利用点与圆的位置关系求半径 4．平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 5．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 6．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______． 题型三：点与圆上一点的最值问题 7．在平面直角坐标系中，点M（，）和直线（其中A，B不全为0），则点M到直线的距离d可用公式．如图，若点P是为圆心上的任意一点，点A，B为直线上的两点，且，请求出面积的取值范围______；    8．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ___________________． 9．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 题型四：判断直线和圆的位置关系 10．如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 11．如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 12．如图，为等边三角形的高，点在的延长线上，且，，的半径为，若将绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（   ） A．次 B．次 C．次 D．次 题型五：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____． 14．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 题型六：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 18．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 题型七：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 19．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切． 20．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 21．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 题型八：切线的应用 22．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线上运动，当⊙P和坐标轴相切时，写出点的坐标______． 23．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．如图所示，已知矩形，，，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，当线段的长度为最大值时，线段的长度为________． 题型九：有关切线的概念辨析 25．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 26．下列直线中，一定是圆的切线的是（ ） A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 27．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 题型十：判断或补全使直线为切线的条件 28．张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容： 如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点． 张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空． （1）在屏幕内容中添加条件，则的长为______． （2）以下是小明、小聪的对话： 小明：我加的条件是，就可以求出的长 小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等． 参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）．______． 29．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 30．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 题型十一：证明某直线是圆的切线 31．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 __________． 32．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 33．如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 题型十二：切线的性质定理 34．如图，，分别与相切于，两点，若，则__________． 35．如图，是的直径，与相切于点B，连接交于点D．若，则的度数为______． 36．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十三：切线的性质和判定的综合应用 37．如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 38．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 39．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 题型十四：应用切线长定理求解 40．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________． 41．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 42．如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （    ） A． B． C． D．3 题型十五：应用切线长定理求证 43．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 44．如图，是的两条切线，为切点，点分别在线段上，且，则__________． 45．如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 题型十六：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 46．，三条边的长分别是6，8，10，则其内切圆的半径为__． 47．刘徽是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，在中，，，，的长分别为10，6，8，则的内切圆直径________． 48．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型十七：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 49．已知等腰三角形三边长分别是13、13、10，则这个等腰三角形内切圆半径为____ 50．如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______． 51．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 题型十八：三角形内切圆与外接圆综合 52．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是________． 53．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为______，的值为______． 54．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 题型十九：圆内知识综合 55．如图，已知点是的直径上的一点，过点作弦，使．若的度数为40°，则的度数是__________． 56．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆 O 上，AB= ，AD=20，C 是弧 BD 上的一个动点，连接 AC，过 D 点作 DH⊥AC 于 H，连接 BH，在点 C 移动的过程中，BH 的最小值是（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 57．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 题型二十：圆与三角形的综合 58．如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点．若，，则的度数为_______． 59．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于点，连接，在点移动的过程中，的最小值是___________． 60．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ______． 61．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 题型二十一：圆与四边形的综合 62．如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为___________． 63．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 64．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二十二：圆与函数的综合 65．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 66．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度逆时针匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D． 67．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 解答题 68．如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 69．如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． (1)求证：． (2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 70．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 71．如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 72．如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 73．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 74．如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 75．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06点与圆.直线与圆的位置关系期中复习讲义 1.掌握点与圆的三种位置关系，能根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置，也能由点和圆的位置关系求解半径范围，会解决点到圆上点的最值问题。 2.理解直线与圆的三种位置关系，依托圆心到直线的距离和半径的数量关系进行判定，能根据位置关系求半径取值范围、圆心到直线的距离，掌握圆平移后与直线相切的相关计算。 3.掌握切线相关核心知识点，能辨析切线概念，熟练掌握切线的判定与性质定理；可以独立完成切线证明，运用切线长定理进行计算与证明。 4.理解三角形内切圆、内心的概念，掌握直角三角形、一般三角形周长、面积和内切圆半径之间的计算公式，能处理内切圆与外接圆结合的综合题型。 5.能够综合运用圆的相关知识，解决圆和三角形、四边形、函数结合的几何综合题，提升几何推理、数形结合能力。 6.梳理常见易错点：证明切线时 “连半径，证垂直”“作垂直，证半径” 两种模型区分；分清内心、外心的定义与性质；动态平移相切问题要分类讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 判断点与圆的位置关系 ★ 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型三 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 题型四 判断直线和圆的位置关系 ★ 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型六 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★★ 题型八 切线的应用 ★★ 题型九 有关切线的概念辨析 ★ 题型十 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型十一 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型十二 切线的性质定理 ★★ 题型十三 切线的性质和判定的综合应用 ★★★★ 题型十四 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十五 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十八 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型十九 圆内知识综合 ★★★★ 题型二十 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型二十一 圆与四边形的综合 ★★★★ 题新二十二 圆与函数的综合 ★★★★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 位置关系 公共点个数 d与r大小关系 图形特征 直线名称 相离 0 个 d>r 直线完全在圆外侧，无交点 割线无 相切 1 个 d=r 直线与圆仅有唯一公共点 切线，公共点叫切点 相交 2 个 d<r 直线穿过圆内部，两点相交 割线，两点为交点 核心逻辑：图形位置（形）⇔距离半径大小（数），数形结合双向互判。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 类别 使用条件 核心作用 推理方向 切线性质 已知切线 推导垂直关系 切线→垂直半径 切线判定 证切线 证明直线是切线 垂直半径且过半径外端→切线 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点03:三角形的内切圆与内心 1. 基础概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆； 内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点； 核心性质：内心到三角形三条边的距离相等，距离长度为内切圆半径r。 2. 内心与外心完整对比（高频易混，课堂必讲） 名称 交点来源 到图形距离特征 位置规律 适用考点 外心 三边垂直平分线交点 到三个顶点距离相等（外接圆半径） 锐角内、直角斜边中点、钝角外 圆周角、外接圆 内心 三条角平分线交点 到三条边距离相等（内切圆半径） 永远在三角形内部 切线、内切圆计算 3. 直角三角形内切圆半径公式 设 Rt△两直角边a、b，斜边c，面积S，周长C 通用公式：r= 直角三角形简化公式：r= 4. 三角形内切圆尺规作图步骤 (1)任意作三角形两个内角的角平分线； (2)两条角平分线交点即为内心； (3)过内心向任意一边作垂线段，垂线段长为半径画圆，即为内切圆。 知识点04:本节经典解题模型 1.切线直角模型：切线 + 切点半径，直接出现直角三角形，搭配勾股定理求边长； 2.双切线全等模型：圆外一点引两条切线，形成一对全等直角三角形，用于转化等线段、等角； 3.内心倒角模型：利用角平分线性质，推导三角形内角与内心夹角关系。 知识点05:全节高频易错点（课堂纠错重点，减少学生失分） 1.判定切线时遗漏关键条件：只证垂直，未说明直线过半径外端；或只说过端点，缺少垂直； 2.混淆内心、外心定义，记错二者距离性质与作图平分线； 3.直线与圆位置判断搞反大小关系：相交记成d>r，相离记成d<r； 4.切线长定理只记住线段相等，忽略连线平分夹角、垂直平分切点弦的衍生结论； 5.使用内切圆半径公式不分题型，直接套用直角三角形简化公式到普通三角形。 题型一：判断点与圆的位置关系 1．在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内． 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 2．在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或外 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握：若点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，通过比较与半径的大小进行判断． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴大于半径， ∴点P在外． 故选C． 3．如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质． 根据30度角的直角三角形的性质，得，再与半径比较即可作答． 【详解】解：在中，，，， 设，则， 又，即， 解得， ， 即点A在外． 故选：A． 题型二：利用点与圆的位置关系求半径 4．平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 【答案】6或4 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 5．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为线段与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为线段与的交点时， 点M到的距离最短为， ∴面积的最小值为：． 故选：． 【点睛】本题考查坐标与图形，点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 题型三：点与圆上一点的最值问题 7．在平面直角坐标系中，点M（，）和直线（其中A，B不全为0），则点M到直线的距离d可用公式．如图，若点P是为圆心上的任意一点，点A，B为直线上的两点，且，请求出面积的取值范围______；    【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，求出上点到直线的距离的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：由图可知，的半径为1， 点到直线的距离， 上点到直线的距离的最大值为，最小值为， 的最大值，的最小值， 即的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值． 8．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ___________________． 【答案】 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． 9．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 题型四：判断直线和圆的位置关系 10．如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键． 圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可． 【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下： 对于选项A：与没有公共点，则与相离，故A错误； 对于选项B：与有两个公共点，则与相交，故B错误； 对于选项C：与有两个公共点，则与相交，故C错误； 对于选项D：与只有一个公共点，则与相切，故D正确． 故选：D． 11．如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 12．如图，为等边三角形的高，点在的延长线上，且，，的半径为，若将绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（   ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵的半径为 ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵为等边三角形的高， ∴， ∴， ∴与边只有一个公共点的情况有2次，与边有1次，与边有1次，共4次， 故选：B． 题型五：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 14．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 15．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 题型六：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 17．已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键． 18．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 题型七：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 19．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 20．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 21．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 题型八：切线的应用 22．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线上运动，当⊙P和坐标轴相切时，写出点的坐标______． 【答案】（−，−2），（，2），（2，3）或（-2，-5）． 【分析】分⊙P与x轴和y轴相切两种情况讨论即可. 【详解】设P点坐标为（t，2t−1）， 若⊙P与x轴相切， 则|2t−1|＝2，解得t＝−或t＝， ∴点P的坐标为（−，−2）或（，2）； 若⊙P与y轴相切， 则|t|＝2，解得t＝2或t＝−2， ∴点P的坐标为（2，3）或（-2，-5）； 故答案为：（−，−2），（，2），（2，3）或（-2，-5）． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 23．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=， ∴AB=OA=6， ∴OP=， ∴PQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 24．如图所示，已知矩形，，，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，当线段的长度为最大值时，线段的长度为________． 【答案】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质得： ，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 当线段的长度为最大值时，线段的长度为． 题型九：有关切线的概念辨析 25．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 26．下列直线中，一定是圆的切线的是（ ） A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 【答案】B 【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B. 【详解】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线， A、如图, EF不是⊙O的切线，故本选项错误； B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误； D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误； 故选B. 【点睛】本题考查了切线的判定定理的应用，注意：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线. 27．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 题型十：判断或补全使直线为切线的条件 28．张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容： 如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点． 张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空． （1）在屏幕内容中添加条件，则的长为______． （2）以下是小明、小聪的对话： 小明：我加的条件是，就可以求出的长 小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等． 参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）．______． 【答案】 3 ，求的长 【分析】(1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2，然后计算OA+OD即可； (2)添加∠DCB=30°，求ACAC的长，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明∠A=∠DCB=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长． 【详解】解：(1)连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=30°， ∴OD=2OC=2， ∴AD=AO+OD=1+2=3； (2)添加∠DCB=30°，求AC的长， 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°， ∴∠ACO=∠DCB， ∵∠ACO=∠A， ∴∠A=∠DCB=30°， 在Rt△ACB中，BC= AB=1， ∴AC= = ． 故答案为3；，求的长. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系． 29．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 30．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 题型十一：证明某直线是圆的切线 31．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 __________． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 32．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 33．如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 根据三角形外心的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接 ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 题型十二：切线的性质定理 34．如图，，分别与相切于，两点，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理．根据切线的性质定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别与相切于，两点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 35．如图，是的直径，与相切于点B，连接交于点D．若，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】先根据切线的性质求出的度数，由直径的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与相切于点，且为直径， ， ， ． 是的直径， ， ． 36．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解． 【详解】解： ∵、切于点A、C， ∴，， ∵正五边形的每个内角的度数为：， ∴， ∵五边形的内角和度数为， ∴． 题型十三：切线的性质和判定的综合应用 37．如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】腰与相切，设切点为，连接，，过O点作，如图，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵腰与相切，设切点为， ∴为⊙O的半径， ， 连接，，过O点作，如图， ∵O是等腰的底边的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∴与相切． 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定． 38．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 题型十四：应用切线长定理求解 40．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长． 【详解】解：由题意可得：．． 同理，，是的切线，切点分别为，， ． ． ． 又， ． △的周长为12，即， ，可得， 解得． 故答案为：6 41．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 42．如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型十五：应用切线长定理求证 43．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 44．如图，是的两条切线，为切点，点分别在线段上，且，则__________． 【答案】61° 【分析】根据切线长定理，可得PA=PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS即可证出△FAD≌△DBE，从而得出∠AFD=∠BDE，然后根据三角形外角的性质即可求出∠EDF． 【详解】解：∵是的两条切线，∠P=58° ∴PA=PB ∴∠FAD=∠DBE=（180°－∠P）=61° 在△FAD和△DBE中 ∴△FAD≌△DBE ∴∠AFD=∠BDE， ∵∠BDF=∠BDE＋∠EDF =∠AFD＋∠FAD ∴∠EDF =∠FAD =61° 故答案为：61° 【点睛】此题考查的是切线长定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质，掌握切线长定理、等边对等角和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 45．如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】连接，证明，得到，从而求得的值，再利用切线的性质得到，则利用勾股定理计算的长，再根据切线长定理得到，，，然后利用等线段代换求得的周长． 【详解】解：连接， ∵、分别与切于点B、C， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵与相切于点P， ∴，， ∴ ， 故选：C．    【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 题型十六：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 46．，三条边的长分别是6，8，10，则其内切圆的半径为__． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的内切圆问题． 找到内切圆与的切点，连接，根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图， 圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，连接， 则，，． 设其内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2． 47．刘徽是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，在中，，，，的长分别为10，6，8，则的内切圆直径________． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，三角形面积公式，过点分别作于点，于点，于点，连接、、，则，再由计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，于点，连接、、， ， 则， ∵， ∴， ∵，，的长分别为10，6，8， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 题型十七：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 49．已知等腰三角形三边长分别是13、13、10，则这个等腰三角形内切圆半径为____ 【答案】 【分析】等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD为BC边上的高，根据等腰三角形的性质即可得D为BC中点，即BD=DC=5，求得高AD，进而求得△ABC的面积，即可求得内切圆的半径． 【详解】解：等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，故AD为BC边上的中线，即BD=DC， 在直角△ABD中，AB=13，BD=5， ∴AD==12， 则S△ABC=×10×12=60． ∵S△ABC=（13+13+10）r， ∴内切圆的半径r=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等腰三角形三线合一的性质，本题中正确的运用勾股定理求AD是解题的关键． 50．如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键． 连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题． 【详解】解：连接、连接并延长交于点， ∵等边， ∴， 又∵是等边的内切圆， ∴是的角平分线，即，， ，， 又∵是的切线，的半径为2， ∴是切点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 51．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 题型十八：三角形内切圆与外接圆综合 52．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角直接求解即可． 根据圆周角为的弦即为直径来求解即可． 【详解】解：，，均在圆上，， 是外接圆的直径， 外接圆的圆心是的中点． 故答案为：． 53．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为______，的值为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点P，则垂直平分，在中，根据勾股定理可得，设的半径为r，则，在中，根据勾股定理可得；根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，继而得到，然后根据，可得，自跟进，可得，即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点P，则垂直平分， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即点O到的距离为； ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 54．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 题型十九：圆内知识综合 55．如图，已知点是的直径上的一点，过点作弦，使．若的度数为40°，则的度数是__________． 【答案】120° 【分析】根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，由弧AD的度数为40度得∠AOD=，再根据等腰三角形的性质得∠D=∠COD=，于是利用三角形外角性质可得到∠ECO=，加上∠E=∠D=，所以，∠BOE=∠E+∠ECO=，由此可得弧BE的度数为. 【详解】解： 连接DO、EO ∵弧AD的度数为 ∴∠AOD= ∵CD=CO ∴∠D=∠COD= ∴∠ECO=2∠D= ∵OE=OD ∴∠E=∠D= ∴∠BOE=∠E+∠ECO= ∴弧BE的度数为. 故答案为： 【点睛】此题主要考查弧所对的圆心角、等腰三角形的性质和三角形外角性质，熟练掌握基本性质是解题的关键. 56．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆 O 上，AB= ，AD=20，C 是弧 BD 上的一个动点，连接 AC，过 D 点作 DH⊥AC 于 H，连接 BH，在点 C 移动的过程中，BH 的最小值是（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD、HM、BM，由题意知点H在以M为圆心，以MD为半径的圆M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小． 【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD、HM、BM， ， ， 点H在以M为圆心，以MD为半径的圆M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， 是直径， ， ， ， ∴BH的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线来解决问题． 57．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 题型二十：圆与三角形的综合 58．如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点．若，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据得等于圆的半径，在和中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解． 【详解】解：如图所示， 连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外交，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，圆的基本知识是解题的关键． 59．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于点，连接，在点移动的过程中，的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，取的中点E，连接，根据得点H在以E为圆心，为半径的圆上，即当点B、H、E三点共线时，最小，根据是直径得，根据勾股定理得，可得，即可得，在中，根据勾股定理得， ，即可得． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点E，连接， ∵， ∴点H在以E为圆心，为半径的圆上， 当点B、H、E三点共线时，最小， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点，明确当点B、H、E三点共线时，最小． 60．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ______． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理，以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，由勾股定理得到，，因此，由勾股定理求出，得到，即可求出的最小值． 【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N， 设D的坐标是，P的坐标是， ∵， ∴由圆的对称性得到C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值6， 故答案为：6． 61．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型二十一：圆与四边形的综合 62．如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为___________． 【答案】 【分析】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，根据切线性质，可知，平分，由已知条件∠B=60°解得，再由直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三角形面积公式解即可． 【详解】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则， 内切于菱形ABCD， 平分 同理得 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、菱形的性质、三角形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 63．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90° ∵四边形BCDE是正方形 ∴BO＝CO，∠BOC＝90° ∵△AOF是等腰直角三角形 ∴AO＝FO，AFAO ∵∠BOC＝∠AOF＝90° ∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO ∴△AOB≌△FOC（SAS） ∴AB＝CF＝4 若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF； 若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF ∴AF≤AC+CF＝2+4＝6 ∴AF的最大值为6 ∵AFAO ∴AO的最大值为3． 故答案为：3 64．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆内姐四边形性质结合已知求出，从而由圆周角定理求得，，最后由直角三角形锐角互余可得结果． 【详解】解：连接， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理、直角三角形锐角互余；熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解题的关键． 题型二十二：圆与函数的综合 65．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 66．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度逆时针匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点P逆时针旋转时，在运动到B点之前，PB越来越小，过了B点PB越来越长，而PB最大等于直径长为2，所以可以直接选出对应图像． 【详解】当点P在如图位置时，PB的长小于PA， ∵OA=1，OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴PA= ，∴PB<PA<； 当P运动到点B时，PB=0，然后过了点B后PB逐渐增大，最大时PB为直径长即为2； 由此可知A项图像最符合题意， 故答案为：A． 【点睛】此题考查有关圆上的动点问题，可以根据运动轨迹来判断线段长度的变化，找出PB的最大值和最小值是解题关键点，难度一般． 67．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用面积法求出r＝，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝，于是得到P点坐标为（，），然后把P（，）代入y＝可求出k的值． 【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PM＝PN＝r， ∵OA＝4，OB＝3，AC＝1， ∴AB＝5， ∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝， ∴BN＝， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴NC＝NB＝， ∴ON＝3﹣＝， ∴P点坐标为（，﹣）， 把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣． 故选A．      【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 解答题 68．如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【答案】 解：上述解答不正确，理由如下： 如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即， 结合题干可知：R的取值范围为：或 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理， 以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围． 【详解】略 69．如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． (1)求证：． (2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， 由（1）知， ∴， 即是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是外接圆的切线． 【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可； （2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线． 【详解】（1）略 （2）略 70．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 71．如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． 72．如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【答案】15 【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由切线长定理可得， ， ． 73．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2) 已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【分析】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）略 74．如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 【答案】证明：平分， ， 、都是的圆周角， 且对，对， ， 同理，平分， ， ， ， 且，， ， 即， 为，即、为的一条直径的两个端点， 为的直径． 【分析】根据圆内接四边形性质得到，结合角平分线得到两组相等圆周角，进而推出，，再求出的度数为，证明是直径． 【详解】证明过程见答案处． 75．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键． （1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得； （2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围； （3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则，， ∴，， 如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M， 由题意得：与反比例函数只有一个交点，故， 整理得：， 则， 解得：（负值已舍去）， 则， 解得：， 故点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故； （2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作， 当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度， ∵，的半径为， ∴， 由，可知， ，， 在中， ∵， ∴， 则， 在中， ， ∵， ∴，即， 解得：或； （3）解：∵直线恒过定点， ∴， 整理得：， ∴且， 解得：且，即， ∴在直线上， ∵， ∴直线和正方形相交， ∵点， ∴点E在直线上运动； ①当点E所对顶点F在上时，如图3， 即点E、F关于原点对称， ，， ∵点F在上， ∴， 解得：， 当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向下运动， ∴； ②当点E运动到时，如图4， ， 将E点坐标代入的表达式得：， 解得：， 当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向上运动， ∴； 综上，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $