第二十八章 旋转（章末检测•A／B 双卷）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级上册 第二十八章 旋转 章末检测·A／B双卷 保密★启用前 第二十八章 旋转（章末检测•A／B 双卷） 人教版数学九年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第二十八章 旋转） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：人教版（2024）九年级上册第二十八章 旋转。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：旋转的概念（旋转中心、旋转角、对应点）、旋转的性质（对应线段、对应角、对应点到旋转中心的距离）、旋转与等腰三角形、等边三角形、旋转与直角三角形、正方形（勾股定理）、网格与坐标系中的旋转、中心对称及其性质、中心对称图形与旋转对称图形、关于原点对称的点的坐标等 9 个考点（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分；共 46 题；配图 46 幅） 考点清单 下表把九个考点对应到两张卷的题号上：A卷考旋转、中心对称的定义与性质怎样直接用，B卷在同样的考点上叠加网格找中心、旋转与平行、共顶点图形、半角旋转和点的位置分类。批改后按行统计错题，错题扎堆的行就是要回课本重看的内容。 本章考点 A卷题号 B卷题号 旋转的概念（旋转中心、旋转角、对应点） 12 5、12 旋转的性质（对应线段、对应角、对应点到旋转中心的距离） 1、5、16 6 旋转与等腰三角形、等边三角形 4、9 4、9、18、21、23 旋转与直角三角形、正方形（勾股定理） 13、18、21、22 10、14、20、22 网格与坐标系中的旋转 7、10、15、23 7、15、19 中心对称及其性质 6、19、20 1、13、17 中心对称图形与旋转对称图形 2、8 2、8 关于原点对称的点的坐标 3、11、17 3、11、16 平移、轴对称、旋转的综合 14 — 本章知识要点速览 开考前用三分钟把下表遮住右栏自问自答，答不上来的要点标个星；A卷做完后先对照标星要点订正，再动手做B卷。 序号 知识要点 掌握要求 1 图形的旋转 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转；点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角 2 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角；旋转前后的图形全等 3 旋转作图 找出关键点（如多边形的顶点），作出它们的对应点，再依次连接 4 中心对称 一个图形绕着某一点旋转180°，如果能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 5 中心对称的性质 对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等 6 中心对称图形 一个图形绕着某一个点旋转180°后能与原来的图形重合；线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形 7 关于原点对称的点的坐标 点P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y），横、纵坐标都互为相反数 8 旋转对称图形 绕某点旋转一个角度（0°＜α＜360°）后与原图形重合；正n边形的最小旋转角为360°÷n 9 常用的旋转模型 旋转60°出等边三角形，旋转90°出等腰直角三角形；共顶点的等边三角形、正方形中找全等 10 坐标系中的旋转90° 过对应点作坐标轴的垂线，构造全等的直角三角形，把水平距离与竖直距离互换，再按象限定符号 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针转动一个角度后到达△A′B′C′的位置（A与A′，B与B′，C与C′分别对应）。已知∠AOA′＝70°，那么∠BOB′等于(____)。 A．290° B．70° C．35° D．140° 2．（本题3分）如图，①为等腰梯形，②为等边三角形，③为内角是60°的菱形，④为含30°角的直角三角形，其中属于中心对称图形的是(____)。 A．① B．② C．③ D．④ 3．（本题3分）如图，点P（－4，5）在坐标平面内，它关于原点O的对称点P′的坐标为(____)。 A．（4，5） B．（－4，－5） C．（－5，4） D．（4，－5） 4．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝6，把△ABC绕顶点A顺时针转动60°，点B落在点D处，点C落在点E处，连接BD，BD＝(____)。 A．6 B．12 C．3 D．6 5．（本题3分）如图，△A′B′C由△ABC绕顶点C逆时针转过40°得到。已知∠ACB＝25°，∠A′CB＝(____)。 A．15° B．115° C．65° D．155° 6．（本题3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，OA＝3，BC＝5，则AA′＋B′C′的值为(____)。 A．8 B．11 C．16 D．6 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），线段OA绕原点O逆时针转过90°后成为线段OA′，点A′的坐标是(____)。 A．（－2，4） B．（2，－4） C．（－4，－2） D．（－4，2） 8．（本题3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为O，要让它绕O转动后与原来的图形完全重合，最少要转(____)。 A．120° B．180° C．30° D．60° 9．（本题3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，点C的对应点为E，则∠EDC的度数为(____)。 A．110° B．40° C．20° D．55° 10．（本题3分）如图，坐标系中的点P（3，1）绕原点O逆时针旋转90°算作一次操作，连续进行2026次操作后，点P到达的位置的坐标为(____)。 A．（－1，3） B．（1，－3） C．（－3，－1） D．（3，1） 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，点M（a，－2）和点N（3，b）是关于原点对称的一对点，那么a－b的值为________。 12．（本题3分）如图，表盘上的时针从2时（实线位置）走到6时（虚线位置），时针绕表盘中心O按顺时针方向旋转了________°。 13．（本题3分）如图，以B为旋转中心把△ABC顺时针转动90°得到△A′BC′，连接AA′。若AB＝5，AA′的长为________。 14．（本题3分）如图，直线l1，l2相交于点O，所成的锐角为40°。图形G1与图形G关于直线l1对称，图形G2与图形G1关于直线l2对称，图形G2可以看作由图形G绕点O旋转得到，这个旋转的旋转角为________°。 15．（本题3分）如图，坐标平面内有两点A（1，0）和B（4，2），线段AB以端点A为中心逆时针转过90°后，端点B到达点B′，点B′的坐标是________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝7，BC＝4。将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE，点C的对应点E恰好落在边AB上，点A的对应点为D。 (1)这次旋转的旋转角是多少度？∠DBC是多少度？ (2)求线段AE的长。 17．（本题9分）如图，△ABC的三个顶点在坐标系中的位置是A（－4，4），B（－1，1），C（2，3），把△ABC关于原点O的对称图形记为△A′B′C′（A′，B′，C′依次与A，B，C对应）。 (1)写出点A′，B′，C′的坐标； (2)求△A′B′C′的面积； (3)求线段AA′的长。 18．（本题9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，AC＝6。将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°，点D的对应点与点B重合，点C的对应点为E。 (1)求证：点E在CB的延长线上； (2)求∠CAE的度数和AE的长； (3)求四边形ABCD的面积。 19．（本题9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点O是AC的中点。将△ABC绕点O旋转180°得到△CDA（点A，B，C的对应点分别为C，D，A），连接BD。 (1)求证：AB＝CD且AB∥CD； (2)求BD的长； (3)求边AD的长。 20．（本题9分）如图，某小区有一块矩形花园ABCD，AB＝14m，BC＝6m，点O是矩形的中心。现修一条笔直的小路EF（宽度忽略不计），小路经过点O，端点E在边AB上，端点F在边CD上，AE＝3m，小路左侧的四边形AEFD种花。 (1)求DF的长； (2)求种花区域的面积； (3)求小路EF的长。 21．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。以点A为中心把△ABC逆时针转动，转到△ADE的位置时，顶点C恰好转到斜边AB上的点D处，此时顶点B转到点E处，连接BE。 (1)求BD的长； (2)求BE的长； (3)求△ABE的面积。 22．（本题10分）如图，正方形ABCD内部有一点P，它到顶点A，B，C的距离分别为1，2，3。把△ABP绕点B顺时针旋转90°，点A转到点C，点P转到点P′，连接PP′。 (1)求PP′的长和∠BPP′的度数； (2)求∠APB的度数； (3)过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，求AH的长及正方形ABCD的面积。 23．（本题13分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以网格线为坐标轴建立平面直角坐标系，格点三角形ABC的顶点为A（－5，2），B（－2，1），C（－3，4）。 (1)画出△A′B′C′，使它与△ABC关于原点O成中心对称，并在图上注明A′，B′，C′的坐标； (2)作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的图形△A″B″C″，并标出各顶点的坐标； (3)判断以A，C，A′，C′为顶点的四边形的形状，并求它的面积； (4)求点A与点A″之间的距离。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，点O是△ABC与△A′B′C′的对称中心（两个三角形成中心对称，带撇的点与同名不带撇的点互为对称点）。若∠ABC＝48°，那么∠A′B′C′等于(____)。 A．48° B．132° C．42° D．96° 2．（本题3分）如图中画出了四个图形（①～④依次对应下列四个选项）。沿某条直线对折后两旁能重合、并且绕某一点旋转180°后也能与自身重合的图形是(____)。 A．等边三角形 B．一般的平行四边形 C．矩形 D．正五边形 3．（本题3分）如图，点P在第二象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则点P关于原点对称的点的坐标为(____)。 A．（2，－6） B．（6，－2） C．（6，2） D．（－6，－2） 4．（本题3分）如图，△ADE由△ABC绕点A逆时针转过36°得到，B，D是一对对应点，连接BD，那么∠ABD的大小为(____)。 A．144° B．18° C．54° D．72° 5．（本题3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，点A的对应点为C，点B的对应点为D，点A，O，D在同一条直线上。已知∠AOB＝35°，这次旋转的旋转角等于(____)。 A．145° B．35° C．215° D．125° 6．（本题3分）如图，△A′B′C′是△ABC绕点O旋转后的像（带撇的点与同名不带撇的点对应），下面四个等式中，不一定成立的是(____)。 A．OA＝OA′ B．∠AOA′＝∠BOB′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕某一点旋转得到的，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，则旋转中心的坐标为(____)。 A．（0，0） B．（2，2） C．（1，－1） D．（0，4） 8．（本题3分）如图是一个正八边形，O为它的中心。把它绕O转动下面哪个角度后，得到的图形与原图形不重合？(____) A．45° B．120° C．135° D．180° 9．（本题3分）如图，△ADE是△ABC绕点A逆时针转动后得到的，B与D、C与E分别是对应点，连接CE。若CE∥AB，∠CAB＝68°，则∠BAD的度数为(____)。 A．136° B．56° C．22° D．44° 10．（本题3分）如图，点O是边长为6的正方形ABCD的中心，∠EOF＝90°，它的两边分别交AB，BC于点E，F。四边形OEBF的面积和BE＋BF的值分别为(____)。 A．9和6 B．18和6 C．9和3 D．18和3 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，把点M（－9，12）绕坐标原点O旋转180°，得到点N，线段MN的长为________。 12．（本题3分）如图，风车图案由5片形状、大小相同的叶片组成，它可以看作由其中一片叶片绕中心O连续旋转4次得到的，并且整个图案绕点O旋转一定角度后能与自身重合。每次旋转的角度至少为________°。 13．（本题3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝18，AB＝8，则△OCD的周长为________。 14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5。将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DEC，点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点E落在AC的延长线上，连接BE，则△ABE的面积为________。 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（3，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B（点A，O的对应点分别为A′，O′），则点A′的坐标为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）如图，坐标平面上的点A（a＋3，－15）与点B（－8，b－1）关于原点对称。 (1)求a，b的值； (2)求线段AB的长。 17．（本题9分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称（点A，B的对称点分别为D，E），∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝6，连接AE。 (1)求证：AB∥DE； (2)求BE的长； (3)求AE的长。 18．（本题9分）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边，向△ABC外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG。 (1)求证：△AEC≌△ABG； (2)求证：CE⊥BG。 19．（本题9分）如图，直线AB的函数解析式是y＝3x＋6，点A在x轴上，点B在y轴上。将△AOB绕原点O按顺时针方向旋转90°得到△A′OB′（点A，B的对应点分别为A′，B′）。 (1)求点A′，B′的坐标； (2)求直线A′B′对应的函数解析式； (3)求直线AB与直线A′B′的交点坐标。 20．（本题9分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，BC边上的点E满足BE＝2。以A为中心将△ABE逆时针旋转90°，点B转到点D，点E转到点F，连接EF。 (1)求CF的长； (2)求△AEF的面积； (3)求EF的长。 21．（本题10分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直角边BC＝3。把△ABC以点C为中心顺时针转动一个角度，当顶点B转到斜边AB上的点B′处时停止，此时顶点A转到A′，连接AA′。 (1)求旋转角的度数； (2)求AB′的长； (3)求AA′的长。 22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°。以点A为旋转中心，把△ABD逆时针旋转90°，得到△ACF，其中点D的对应点为F，连接EF。 (1)求证：DE＝EF； (2)求证：BD²＋CE²＝DE²； (3)若BD＝3，CE＝4，求△ABC的面积。 23．（本题13分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在直线BC上，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AE，连接DE，CE。 (1)当点D在线段BC上时，求证：CE＝BD； (2)点D在线段BC上时，∠BCE是多少度？ (3)当点D在线段BC上且BD＝2时，求△DCE的面积； (4)若CD＝2，求CE的长。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上册 第二十八章 旋转 章末检测·A／B双卷 保密★启用前 第二十八章 旋转（章末检测•A／B 双卷） 人教版数学九年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第二十八章 旋转） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：人教版（2024）九年级上册第二十八章 旋转。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：旋转的概念（旋转中心、旋转角、对应点）、旋转的性质（对应线段、对应角、对应点到旋转中心的距离）、旋转与等腰三角形、等边三角形、旋转与直角三角形、正方形（勾股定理）、网格与坐标系中的旋转、中心对称及其性质、中心对称图形与旋转对称图形、关于原点对称的点的坐标等 9 个考点（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分；共 46 题；配图 46 幅） 考点清单 下表把九个考点对应到两张卷的题号上：A卷考旋转、中心对称的定义与性质怎样直接用，B卷在同样的考点上叠加网格找中心、旋转与平行、共顶点图形、半角旋转和点的位置分类。批改后按行统计错题，错题扎堆的行就是要回课本重看的内容。 本章考点 A卷题号 B卷题号 旋转的概念（旋转中心、旋转角、对应点） 12 5、12 旋转的性质（对应线段、对应角、对应点到旋转中心的距离） 1、5、16 6 旋转与等腰三角形、等边三角形 4、9 4、9、18、21、23 旋转与直角三角形、正方形（勾股定理） 13、18、21、22 10、14、20、22 网格与坐标系中的旋转 7、10、15、23 7、15、19 中心对称及其性质 6、19、20 1、13、17 中心对称图形与旋转对称图形 2、8 2、8 关于原点对称的点的坐标 3、11、17 3、11、16 平移、轴对称、旋转的综合 14 — 本章知识要点速览 开考前用三分钟把下表遮住右栏自问自答，答不上来的要点标个星；A卷做完后先对照标星要点订正，再动手做B卷。 序号 知识要点 掌握要求 1 图形的旋转 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转；点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角 2 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角；旋转前后的图形全等 3 旋转作图 找出关键点（如多边形的顶点），作出它们的对应点，再依次连接 4 中心对称 一个图形绕着某一点旋转180°，如果能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 5 中心对称的性质 对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等 6 中心对称图形 一个图形绕着某一个点旋转180°后能与原来的图形重合；线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形 7 关于原点对称的点的坐标 点P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y），横、纵坐标都互为相反数 8 旋转对称图形 绕某点旋转一个角度（0°＜α＜360°）后与原图形重合；正n边形的最小旋转角为360°÷n 9 常用的旋转模型 旋转60°出等边三角形，旋转90°出等腰直角三角形；共顶点的等边三角形、正方形中找全等 10 坐标系中的旋转90° 过对应点作坐标轴的垂线，构造全等的直角三角形，把水平距离与竖直距离互换，再按象限定符号 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针转动一个角度后到达△A′B′C′的位置（A与A′，B与B′，C与C′分别对应）。已知∠AOA′＝70°，那么∠BOB′等于(____)。 A．290° B．70° C．35° D．140° 2．（本题3分）如图，①为等腰梯形，②为等边三角形，③为内角是60°的菱形，④为含30°角的直角三角形，其中属于中心对称图形的是(____)。 A．① B．② C．③ D．④ 3．（本题3分）如图，点P（－4，5）在坐标平面内，它关于原点O的对称点P′的坐标为(____)。 A．（4，5） B．（－4，－5） C．（－5，4） D．（4，－5） 4．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝6，把△ABC绕顶点A顺时针转动60°，点B落在点D处，点C落在点E处，连接BD，BD＝(____)。 A．6 B．12 C．3 D．6 5．（本题3分）如图，△A′B′C由△ABC绕顶点C逆时针转过40°得到。已知∠ACB＝25°，∠A′CB＝(____)。 A．15° B．115° C．65° D．155° 6．（本题3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，OA＝3，BC＝5，则AA′＋B′C′的值为(____)。 A．8 B．11 C．16 D．6 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），线段OA绕原点O逆时针转过90°后成为线段OA′，点A′的坐标是(____)。 A．（－2，4） B．（2，－4） C．（－4，－2） D．（－4，2） 8．（本题3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为O，要让它绕O转动后与原来的图形完全重合，最少要转(____)。 A．120° B．180° C．30° D．60° 9．（本题3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，点C的对应点为E，则∠EDC的度数为(____)。 A．110° B．40° C．20° D．55° 10．（本题3分）如图，坐标系中的点P（3，1）绕原点O逆时针旋转90°算作一次操作，连续进行2026次操作后，点P到达的位置的坐标为(____)。 A．（－1，3） B．（1，－3） C．（－3，－1） D．（3，1） 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，点M（a，－2）和点N（3，b）是关于原点对称的一对点，那么a－b的值为________。 12．（本题3分）如图，表盘上的时针从2时（实线位置）走到6时（虚线位置），时针绕表盘中心O按顺时针方向旋转了________°。 13．（本题3分）如图，以B为旋转中心把△ABC顺时针转动90°得到△A′BC′，连接AA′。若AB＝5，AA′的长为________。 14．（本题3分）如图，直线l1，l2相交于点O，所成的锐角为40°。图形G1与图形G关于直线l1对称，图形G2与图形G1关于直线l2对称，图形G2可以看作由图形G绕点O旋转得到，这个旋转的旋转角为________°。 15．（本题3分）如图，坐标平面内有两点A（1，0）和B（4，2），线段AB以端点A为中心逆时针转过90°后，端点B到达点B′，点B′的坐标是________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝7，BC＝4。将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE，点C的对应点E恰好落在边AB上，点A的对应点为D。 (1)这次旋转的旋转角是多少度？∠DBC是多少度？ (2)求线段AE的长。 17．（本题9分）如图，△ABC的三个顶点在坐标系中的位置是A（－4，4），B（－1，1），C（2，3），把△ABC关于原点O的对称图形记为△A′B′C′（A′，B′，C′依次与A，B，C对应）。 (1)写出点A′，B′，C′的坐标； (2)求△A′B′C′的面积； (3)求线段AA′的长。 18．（本题9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，AC＝6。将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°，点D的对应点与点B重合，点C的对应点为E。 (1)求证：点E在CB的延长线上； (2)求∠CAE的度数和AE的长； (3)求四边形ABCD的面积。 19．（本题9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点O是AC的中点。将△ABC绕点O旋转180°得到△CDA（点A，B，C的对应点分别为C，D，A），连接BD。 (1)求证：AB＝CD且AB∥CD； (2)求BD的长； (3)求边AD的长。 20．（本题9分）如图，某小区有一块矩形花园ABCD，AB＝14m，BC＝6m，点O是矩形的中心。现修一条笔直的小路EF（宽度忽略不计），小路经过点O，端点E在边AB上，端点F在边CD上，AE＝3m，小路左侧的四边形AEFD种花。 (1)求DF的长； (2)求种花区域的面积； (3)求小路EF的长。 21．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。以点A为中心把△ABC逆时针转动，转到△ADE的位置时，顶点C恰好转到斜边AB上的点D处，此时顶点B转到点E处，连接BE。 (1)求BD的长； (2)求BE的长； (3)求△ABE的面积。 22．（本题10分）如图，正方形ABCD内部有一点P，它到顶点A，B，C的距离分别为1，2，3。把△ABP绕点B顺时针旋转90°，点A转到点C，点P转到点P′，连接PP′。 (1)求PP′的长和∠BPP′的度数； (2)求∠APB的度数； (3)过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，求AH的长及正方形ABCD的面积。 23．（本题13分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以网格线为坐标轴建立平面直角坐标系，格点三角形ABC的顶点为A（－5，2），B（－2，1），C（－3，4）。 (1)画出△A′B′C′，使它与△ABC关于原点O成中心对称，并在图上注明A′，B′，C′的坐标； (2)作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的图形△A″B″C″，并标出各顶点的坐标； (3)判断以A，C，A′，C′为顶点的四边形的形状，并求它的面积； (4)求点A与点A″之间的距离。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，点O是△ABC与△A′B′C′的对称中心（两个三角形成中心对称，带撇的点与同名不带撇的点互为对称点）。若∠ABC＝48°，那么∠A′B′C′等于(____)。 A．48° B．132° C．42° D．96° 2．（本题3分）如图中画出了四个图形（①～④依次对应下列四个选项）。沿某条直线对折后两旁能重合、并且绕某一点旋转180°后也能与自身重合的图形是(____)。 A．等边三角形 B．一般的平行四边形 C．矩形 D．正五边形 3．（本题3分）如图，点P在第二象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则点P关于原点对称的点的坐标为(____)。 A．（2，－6） B．（6，－2） C．（6，2） D．（－6，－2） 4．（本题3分）如图，△ADE由△ABC绕点A逆时针转过36°得到，B，D是一对对应点，连接BD，那么∠ABD的大小为(____)。 A．144° B．18° C．54° D．72° 5．（本题3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，点A的对应点为C，点B的对应点为D，点A，O，D在同一条直线上。已知∠AOB＝35°，这次旋转的旋转角等于(____)。 A．145° B．35° C．215° D．125° 6．（本题3分）如图，△A′B′C′是△ABC绕点O旋转后的像（带撇的点与同名不带撇的点对应），下面四个等式中，不一定成立的是(____)。 A．OA＝OA′ B．∠AOA′＝∠BOB′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕某一点旋转得到的，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，则旋转中心的坐标为(____)。 A．（0，0） B．（2，2） C．（1，－1） D．（0，4） 8．（本题3分）如图是一个正八边形，O为它的中心。把它绕O转动下面哪个角度后，得到的图形与原图形不重合？(____) A．45° B．120° C．135° D．180° 9．（本题3分）如图，△ADE是△ABC绕点A逆时针转动后得到的，B与D、C与E分别是对应点，连接CE。若CE∥AB，∠CAB＝68°，则∠BAD的度数为(____)。 A．136° B．56° C．22° D．44° 10．（本题3分）如图，点O是边长为6的正方形ABCD的中心，∠EOF＝90°，它的两边分别交AB，BC于点E，F。四边形OEBF的面积和BE＋BF的值分别为(____)。 A．9和6 B．18和6 C．9和3 D．18和3 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，把点M（－9，12）绕坐标原点O旋转180°，得到点N，线段MN的长为________。 12．（本题3分）如图，风车图案由5片形状、大小相同的叶片组成，它可以看作由其中一片叶片绕中心O连续旋转4次得到的，并且整个图案绕点O旋转一定角度后能与自身重合。每次旋转的角度至少为________°。 13．（本题3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝18，AB＝8，则△OCD的周长为________。 14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5。将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DEC，点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点E落在AC的延长线上，连接BE，则△ABE的面积为________。 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（3，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B（点A，O的对应点分别为A′，O′），则点A′的坐标为________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）如图，坐标平面上的点A（a＋3，－15）与点B（－8，b－1）关于原点对称。 (1)求a，b的值； (2)求线段AB的长。 17．（本题9分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称（点A，B的对称点分别为D，E），∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝6，连接AE。 (1)求证：AB∥DE； (2)求BE的长； (3)求AE的长。 18．（本题9分）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边，向△ABC外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG。 (1)求证：△AEC≌△ABG； (2)求证：CE⊥BG。 19．（本题9分）如图，直线AB的函数解析式是y＝3x＋6，点A在x轴上，点B在y轴上。将△AOB绕原点O按顺时针方向旋转90°得到△A′OB′（点A，B的对应点分别为A′，B′）。 (1)求点A′，B′的坐标； (2)求直线A′B′对应的函数解析式； (3)求直线AB与直线A′B′的交点坐标。 20．（本题9分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，BC边上的点E满足BE＝2。以A为中心将△ABE逆时针旋转90°，点B转到点D，点E转到点F，连接EF。 (1)求CF的长； (2)求△AEF的面积； (3)求EF的长。 21．（本题10分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直角边BC＝3。把△ABC以点C为中心顺时针转动一个角度，当顶点B转到斜边AB上的点B′处时停止，此时顶点A转到A′，连接AA′。 (1)求旋转角的度数； (2)求AB′的长； (3)求AA′的长。 22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°。以点A为旋转中心，把△ABD逆时针旋转90°，得到△ACF，其中点D的对应点为F，连接EF。 (1)求证：DE＝EF； (2)求证：BD²＋CE²＝DE²； (3)若BD＝3，CE＝4，求△ABC的面积。 23．（本题13分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在直线BC上，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AE，连接DE，CE。 (1)当点D在线段BC上时，求证：CE＝BD； (2)点D在线段BC上时，∠BCE是多少度？ (3)当点D在线段BC上且BD＝2时，求△DCE的面积； (4)若CD＝2，求CE的长。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C B A D A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B C －5 120 5 80 （－1，3） B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D A D C B B卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 D A 30 72 22 20 （9，3） 　A卷　一、选择题 1．【答案】B 【解析】【分析】对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 【详解】∠AOA′和∠BOB′都是对应点与旋转中心所连线段所成的角，它们都等于旋转角， 所以∠BOB′＝∠AOA′＝70°。 所以选B。 A项按顺时针方向去量∠BOB′，量成了它外侧的角，用360°－70°，按此错法真算得290°；C项误以为∠BOB′只有∠AOA′的一半，用70°÷2，按此错法真算得35°；D项误以为离中心越远转过的角越大，把∠AOA′加倍，用2×70°，按此错法真算得140°。 2．【答案】C 【解析】【分析】中心对称图形要求绕某一点旋转180°后与原图形重合。 【详解】菱形是平行四边形，绕两条对角线的交点旋转180°后与原来的图形重合，是中心对称图形； 其余三个图形找不到这样的点。 所以选C。 A项等腰梯形绕两底中点连线的中点旋转180°后，上底与下底互换位置，长短不同，不能重合；它只是轴对称图形；B项等边三角形绕中心旋转120°能与自身重合，但旋转180°后顶点朝下，不能重合，它不是中心对称图形；D项含30°角的直角三角形绕任何一点旋转180°都不能与自身重合。 3．【答案】D 【解析】【分析】两个点关于原点对称时，横坐标、纵坐标都互为相反数。 【详解】点P（－4，5）关于原点的对称点的横坐标为－(－4)＝4，纵坐标为－5， 所以P′的坐标为（4，－5）。 所以选D。 A项把关于原点对称记成关于y轴对称，只改变横坐标的符号，真算得（4，5）；B项把关于原点对称记成关于x轴对称，只改变纵坐标的符号，真算得（－4，－5）；C项把横、纵坐标交换位置后再都改变符号，真算得（－5，4）。 4．【答案】A 【解析】【分析】旋转后AB＝AD，而∠BAD是旋转角60°，△ABD是等边三角形。 【详解】由旋转的性质，AD＝AB＝6，∠BAD＝60°， 所以△ABD是等边三角形，BD＝AB＝6。 所以选A。 B项误以为BD是AB的2倍，用2×6，按此错法真算得12；C项误以为BD是AB的一半，用6÷2，按此错法真算得3；D项误按旋转90°时的等腰直角三角形去算，用6×，按此错法真算得6。 5．【答案】C 【解析】【分析】旋转角∠ACA′＝40°，∠A′CB由∠ACB和∠ACA′拼成。 【详解】根据旋转的性质，∠ACA′＝40°， 所以∠A′CB＝∠ACB＋∠ACA′＝25°＋40°＝65°。 所以选C。 A项用旋转角减去∠ACB，求成了∠ACB′，用40°－25°，按此错法真算得15°；B项把∠A′CB放进一个三角形里，用180°减去两个已知角，用180°－40°－25°，按此错法真算得115°；D项把∠A′CB当成了∠ACB的邻补角，用180°－25°，按此错法真算得155°。 6．【答案】B 【解析】【分析】对称点所连线段被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等。 【详解】由中心对称的性质，点O是AA′的中点，AA′＝2OA＝6； △A′B′C′≌△ABC，B′C′＝BC＝5， 所以AA′＋B′C′＝6＋5＝11。 所以选B。 A项把AA′当成OA，没有乘2，用3＋5，按此错法真算得8；C项把B′C′也当成BC的2倍，用2×3＋2×5，按此错法真算得16；D项漏加了B′C′，只算了AA′＝2×3，按此错法真算得6。 7．【答案】A 【解析】【分析】过A、A′分别向x轴作垂线，两个直角三角形全等，横、纵距离互换。 【详解】过点A作AM⊥x轴于M，过点A′作A′N⊥x轴于N， 由OA＝OA′，∠AOA′＝90°可得△A′NO≌△OMA， 所以A′N＝OM＝4，ON＝AM＝2， 点A′在第二象限，坐标为（－2，4）。 所以选A。 B项把逆时针看成了顺时针，转到了第四象限，真算得（2，－4）；C项把旋转90°当成旋转180°，横、纵坐标都取相反数，真算得（－4，－2）；D项只把横坐标改变了符号，求成了关于y轴的对称点，真算得（－4，2）。 【易错提醒】逆时针旋转90°后点从第一象限转到第二象限；用全等三角形找出横、纵距离再定符号。 8．【答案】D 【解析】【分析】正六边形的6个顶点把周角等分成6份，每转过一份，顶点落到相邻顶点上。 【详解】连接OA，OB，六个中心角都相等，∠AOB＝360°÷6＝60°， 绕点O旋转60°后，点A落在点B的位置，其余顶点依次落在相邻顶点上，图形重合；小于60°时顶点不能落到顶点上， 所以旋转角至少为60°。 所以选D。 A项误用了正六边形的一个内角，用(6－2)×180°÷6，按此错法真算得120°；B项误以为只有旋转180°（中心对称）才能重合，用360°÷2，按此错法真算得180°；C项把6个顶点和6条边的中点共12个位置都当成一次重合，用360°÷12，按此错法真算得30°。 【易错提醒】正n边形绕中心旋转360°÷n的整数倍都能与自身重合，最小旋转角是360°÷n，不是内角。 9．【答案】B 【解析】【分析】AB＝AD，得∠ADB＝∠B；旋转前后对应角相等，得∠ADE＝∠B；平角减去这两个角。 【详解】由旋转前后图形全等，AD＝AB，∠ADE＝∠B＝70°， 因为AD＝AB，所以∠ADB＝∠B＝70°， 所以∠EDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝180°－70°－70°＝40°。 所以选B。 A项把∠EDC当成∠ADB的邻补角，漏减了∠ADE，用180°－70°，按此错法真算得110°；C项误以为∠ADE是直角，用90°－70°，按此错法真算得20°；D项把∠B当成等腰三角形的顶角去求底角，用(180°－70°)÷2，按此错法真算得55°。 【易错提醒】对应点落在边上，就出现以旋转中心为顶点的等腰三角形；再用对应角相等，在平角里求角。 10．【答案】C 【解析】【分析】每旋转4次（共360°）点回到原位，看2026除以4的余数。 【详解】依次操作，点P的位置为（－1，3），（－3，－1），（1，－3），（3，1），……，每4次一个循环， 2026÷4＝506……2，所以连续操作2026次后点的位置与操作2次后相同，即绕原点旋转了180°， 坐标为（－3，－1）。 所以选C。 A项算余数时把2026÷4的余数当成1，只转了一次，真算得（－1，3）；B项算余数时把2026÷4的余数当成3，转了三次，真算得（1，－3）；D项误以为2026是4的倍数，点回到了原来的位置，真算得（3，1）。 【易错提醒】旋转90°四次回到原处；用余数定位，余2相当于旋转180°，即关于原点对称。 　A卷　二、填空题 11．【答案】－5 【解析】【分析】关于原点对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。 【详解】由点M与点N关于原点对称，得a＋3＝0，－2＋b＝0， 所以a＝－3，b＝2，a－b＝－3－2＝－5。 所以答案为－5。 12．【答案】120 【解析】【分析】表盘被12个数字等分，时针每走1小时转过360°÷12＝30°。 【详解】从2时到6时，时针走了4个小时， 旋转角为30°×(6－2)＝120°。 所以答案为120。 13．【答案】5 【解析】【分析】旋转后BA＝BA′，∠ABA′＝90°，△ABA′是等腰直角三角形。 【详解】由旋转的性质，BA′＝BA＝5，∠ABA′＝90°， 在Rt△ABA′中，AA′＝＝5。 所以答案为5。 14．【答案】80 【解析】【分析】在G上任取一点A，依次作出它关于l1，l2的对称点A1，A2，用轴对称的性质算出∠AOA2。 【详解】在图形G上任取一点A，设它关于l1的对称点为A1，A1关于l2的对称点为A2， 由轴对称的性质，OA＝OA1＝OA2，l1平分∠AOA1，l2平分∠A1OA2， 所以∠AOA2＝2×40°＝80°，即图形G2可以看作由图形G绕点O旋转80°得到。 所以答案为80。 【易错提醒】连续作关于两条相交直线的轴对称，相当于绕交点旋转，旋转角是两直线夹角的2倍。 15．【答案】（－1，3） 【解析】【分析】过B、B′向x轴作垂线，构造两个全等的直角三角形，把水平、竖直距离互换。 【详解】过点B作BM⊥x轴于M，则AM＝4－1＝3，BM＝2； 过点B′作B′N⊥x轴于N，由AB′＝AB，∠BAB′＝90°可得△B′NA≌△AMB， 所以AN＝BM＝2，B′N＝AM＝3，点N在点A左侧， 点B′的横坐标为1－2＝－1，纵坐标为3，即B′（－1，3）。 所以答案为（－1，3）。 【易错提醒】绕点A旋转时，要量“相对于A”的水平、竖直距离，最后再加回点A的坐标。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）旋转角为40°，∠DBC＝80°；（2）AE＝3 【解析】【分析】旋转角是∠CBE，也就是∠ABC；BE与BC是对应线段，长度相等。 【详解】(1)点C的对应点E落在AB上，所以旋转角∠CBE＝∠ABC＝40°。 由旋转的性质，∠ABD＝∠CBE＝40°， 所以∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝40°＋40°＝80°。　……3分 (2)由旋转的性质，BE＝BC＝4， 所以AE＝AB－BE＝7－4＝3。　……3分 【评分说明】(1)指出旋转角是∠CBE且等于∠ABC 2分，求出∠DBC 1分；(2)得出BE＝BC 2分，求出AE 1分。 17．【答案】（1）A′（4，－4），B′（1，－1），C′（－2，－3）；（2）7.5；（3）8 【解析】【分析】关于原点对称的点横、纵坐标都变号；成中心对称的两个三角形全等，面积相等，用割补法求△ABC的面积；O是AA′的中点。 【详解】(1)A′（4，－4），B′（1，－1），C′（－2，－3）。　……3分 (2)△A′B′C′与△ABC关于原点对称，两个三角形全等，面积相等。 以（－4，1），（2，1），（2，4），（－4，4）为顶点的矩形把△ABC围住，面积为6×3＝18， 减去三个直角三角形：½×3×3＝，½×3×2＝3，½×6×1＝3， 所以△A′B′C′的面积为18－－3－3＝7.5。　……3分 (3)OA＝＝4， 点O是AA′的中点，所以AA′＝2OA＝8。　……3分 【评分说明】(1)三个对称点的坐标各1分；(2)说明两三角形全等1分，割补法求面积2分；(3)求出OA 1分，得出AA′＝2OA并求值2分。 18．【答案】（1）证明见解析；（2）∠CAE＝90°，AE＝6；（3）18 【解析】【分析】把△ADC转到△ABE的位置，四边形ABCD的面积就变成△ACE的面积；先证E，B，C共线，△ACE才是三角形。 【详解】(1)根据旋转的性质，∠ABE＝∠ADC。 在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，所以∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°， 于是∠ABC＋∠ABE＝180°，点E，B，C在同一条直线上，即点E在CB的延长线上。　……3分 (2)旋转角∠DAB＝90°，所以∠CAE＝∠DAB＝90°， AE＝AC＝6。　……3分 (3)△ADC与△ABE全等，面积相等， 所以四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ABE＝S△ACE＝½×6×6＝18。　……3分 【评分说明】(1)由旋转得∠ABE＝∠ADC 1分，由四边形内角和得∠ABC＋∠ADC＝180° 1分，得出三点共线1分；(2)得出AE＝AC、∠CAE＝90°各1.5分；(3)得出面积转化1分，求出面积2分。 【易错提醒】要说明拼出的是三角形，必须先证三点共线；面积转化后只用到AC的长。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）BD＝10；（3）AD＝2 【解析】【分析】绕点O旋转180°就是关于点O中心对称，对称点连线被O平分；再在Rt△ABO中用勾股定理。 【详解】(1)根据中心对称的性质，点O是AC的中点，也是BD的中点， 即OA＝OC，OB＝OD， 所以四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分），AB＝CD且AB∥CD。　……3分 (2)AO＝½AC＝3， 在Rt△ABO中，BO＝＝5， 所以BD＝2BO＝10。　……3分 (3)在Rt△ABC中，BC＝＝2， 平行四边形的对边相等，所以AD＝BC＝2。　……3分 【评分说明】(1)由中心对称得OA＝OC、OB＝OD 2分，由平行四边形得结论1分；(2)求出AO 1分，由勾股定理求出BO 1分，求出BD 1分；(3)勾股定理求出BC 2分，由对边相等得AD 1分。 【易错提醒】BD过对称中心O且被O平分，先求BO再乘2；求BO用的是AB与AO，不是AB与AC。 20．【答案】（1）DF＝11m；（2）42m²；（3）10m 【解析】【分析】矩形是中心对称图形，O是对称中心，E、F是一对对称点；四边形AEFD是直角梯形；过E作CD的垂线，用勾股定理求EF。 【详解】(1)矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是O， 点E在AB上，EF经过点O，所以点E关于点O的对称点在CD上，就是点F， 由中心对称的性质，CF＝AE＝3m， DF＝CD－CF＝14－3＝11（m）。　……3分 (2)四边形AEFD是直角梯形，面积为(3＋11)×6÷2＝42（m²）。　……3分 (3)过点E作EG⊥CD于G，则DG＝AE＝3，EG＝6， GF＝DF－DG＝11－3＝8， EF＝＝10（m）。　……3分 【评分说明】(1)由中心对称得CF＝AE 2分，求出DF 1分；(2)判断直角梯形1分，梯形面积公式求值2分；(3)作垂线构造直角三角形1分，求出EF 2分。 【易错提醒】过矩形中心的直线把矩形分成全等的两部分，面积各占一半；求斜线段长要先构造直角三角形。 21．【答案】（1）BD＝4；（2）BE＝4；（3）40 【解析】【分析】AD＝AC，DE＝BC，∠ADE＝∠C＝90°，所以DE⊥AB，DE既是Rt△BDE的直角边，又是△ABE中AB边上的高。 【详解】(1)在Rt△ABC中，AB＝＝10， 由旋转前后图形全等，AD＝AC＝6， 所以BD＝AB－AD＝10－6＝4。　……3分 (2)DE＝BC＝8，∠ADE＝∠C＝90°，所以∠BDE＝90°， BE＝＝4。　……3分 (3)DE⊥AB，DE是△ABE中AB边上的高， S△ABE＝½×AB×DE＝½×10×8＝40。　……4分 【评分说明】(1)求出AB 1分，得出AD＝AC 1分，求出BD 1分；(2)得出DE＝BC且∠BDE＝90° 1分，勾股定理求BE 2分；(3)指出DE是△ABE的高2分，求出面积2分。 【易错提醒】∠ADE＝90°说明DE⊥AB；求BE用Rt△BDE，求面积用AB作底，DE作高。 22．【答案】（1）PP′＝2，∠BPP′＝45°；（2）∠APB＝135°；（3）AH＝/2，正方形的面积为5＋2 【解析】【分析】△PBP′是等腰直角三角形；在△PP′C中三边已知，用勾股定理的逆定理得直角；求面积要把∠APB＝135°用起来，作垂线构造直角三角形。 【详解】(1)由旋转的性质，BP′＝BP＝2，∠PBP′＝90°， 所以△PBP′是等腰直角三角形，PP′＝＝2，∠BPP′＝∠BP′P＝45°。　……3分 (2)P′C＝PA＝1，在△PP′C中，P′C²＋PP′²＝1＋8＝9＝PC²， 所以∠PP′C＝90°，∠BP′C＝45°＋90°＝135°， 由旋转的性质，∠APB＝∠CP′B＝135°。　……3分 (3)∠APH＝180°－135°＝45°，所以△APH是等腰直角三角形，AH＝PH＝/2， BH＝2＋/2， AB²＝AH²＋BH²＝＋＝5＋2， 所以正方形ABCD的面积为5＋2。　……4分 【评分说明】(1)求出PP′ 2分，∠BPP′ 1分；(2)用勾股定理的逆定理得∠PP′C＝90° 2分，求出∠APB 1分；(3)作垂线得AH、PH 2分，勾股定理求出面积2分。 【易错提醒】三条线段PA，PB，PC分散在三处，用旋转把它们集中到一个三角形里；135°的邻补角是45°，可以作垂线构造等腰直角三角形。 23．【答案】（1）作图见解析版本题答图，A′（5，－2），B′（2，－1），C′（3，－4）；（2）作图见解析版本题答图，A″（2，5），B″（1，2），C″（4，3）；（3）28；（4） 【解析】【分析】关于原点对称：坐标都变号；绕原点顺时针旋转90°：借助“一线三垂直”的全等三角形，点（x，y）转到（y，－x）；对角线互相平分的四边形是平行四边形，斜放的三角形用割补法求面积。 【详解】(1)绕原点旋转180°就是关于原点对称，点A，B，C关于原点的对称点分别为A′（5，－2），B′（2，－1），C′（3，－4）， 描出这三个点并依次连接，得到△A′B′C′（答图中的虚线三角形）。　……3分 (2)以点A为例：过A作x轴的垂线，垂足M（－5，0），AM＝2，OM＝5； OA绕点O顺时针旋转90°后，由全等三角形可得点A″到y轴的距离为2，到x轴的距离为5，且在第一象限，所以A″（2，5）； 同理得B″（1，2），C″（4，3）， 描点连线得到△A″B″C″（答图中的实线三角形）。　……4分 (3)由(1)，点O是AA′的中点，也是CC′的中点，以A，C，A′，C′为顶点的四边形ACA′C′的两条对角线互相平分，所以它是平行四边形，其面积是△AOC面积的4倍； 用以（－5，0），（0，0），（0，4），（－5，4）为顶点的矩形围住△AOC，面积为5×4＝20，减去三个直角三角形：½×5×2＝5，½×2×2＝2，½×3×4＝6， S△AOC＝20－5－2－6＝7，所以四边形ACA′C′的面积为4×7＝28。　……3分 (4)点A（－5，2），A″（2，5），水平距离为2－(－5)＝7，竖直距离为5－2＝3， AA″＝＝。　……3分 【评分说明】(1)画图1分，三个点的坐标共2分；(2)画图1分，三个点的坐标共3分；(3)说明四边形ACA′C′是平行四边形1分，割补法求△AOC的面积并得出结果2分；(4)求出AA″ 3分；图画错但坐标对的，每问扣1分。 【易错提醒】作图先求关键点的坐标再描点连线；顺时针转90°的点要检查象限：第二象限的点转到第一象限。 　B卷　一、选择题 1．【答案】A 【解析】【分析】成中心对称的两个图形全等，对应角相等。 【详解】△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，所以△A′B′C′≌△ABC， ∠A′B′C′＝∠ABC＝48°。 所以选A。 B项误以为对应角互补，用180°－48°，按此错法真算得132°；C项误以为对应角互余，用90°－48°，按此错法真算得42°；D项误以为旋转180°后角也扩大为2倍，用2×48°，按此错法真算得96°。 2．【答案】C 【解析】【分析】逐个判断：有没有对称轴，绕某点旋转180°后能否重合。 【详解】矩形有两条对称轴（两组对边中点的连线），是轴对称图形； 矩形绕对角线的交点旋转180°后与自身重合，也是中心对称图形。 所以选C。 A项等边三角形有3条对称轴，是轴对称图形，但旋转180°后不能与自身重合；B项不是矩形的平行四边形是中心对称图形，但找不到对称轴，不是轴对称图形；D项正五边形有5条对称轴，但边数是奇数，旋转180°后顶点对着边，不是中心对称图形。 3．【答案】B 【解析】【分析】点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。 【详解】点P在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正， 到y轴的距离为6，到x轴的距离为2，所以P（－6，2）， 关于原点对称的点的坐标为（6，－2）。 所以选B。 A项把到x轴的距离当成横坐标，到y轴的距离当成纵坐标，真算得（2，－6）；C项只改变了横坐标的符号，求成了关于y轴的对称点，真算得（6，2）；D项只改变了纵坐标的符号，求成了关于x轴的对称点，真算得（－6，－2）。 4．【答案】D 【解析】【分析】AB＝AD，△ABD是以旋转角为顶角的等腰三角形。 【详解】根据旋转的性质，AB＝AD，∠BAD＝36°， 所以∠ABD＝∠ADB＝(180°－36°)÷2＝72°。 所以选D。 A项把∠ABD当成旋转角的邻补角，用180°－36°，按此错法真算得144°；B项误以为∠ABD是旋转角的一半，用36°÷2，按此错法真算得18°；C项误以为△ABD是直角三角形，用90°－36°，按此错法真算得54°。 5．【答案】A 【解析】【分析】旋转角是∠BOD；A，O，D共线，∠AOB与∠BOD拼成平角。 【详解】旋转角为∠BOD（对应点B，D与旋转中心O所连线段的夹角）， 点A，O，D在同一条直线上，所以∠AOB＋∠BOD＝180°， ∠BOD＝180°－35°＝145°。 所以选A。 B项把∠AOB当成了旋转角，按此错法真算得35°；C项把∠BOD算成了平角再加上∠AOB，用180°＋35°，按此错法真算得215°；D项误以为∠AOD是直角，用90°＋35°，按此错法真算得125°。 6．【答案】D 【解析】【分析】旋转的性质说的是“对应点”到旋转中心的距离相等，A与B不是对应点。 【详解】A与B不是一对对应点，它们到旋转中心O的距离没有必然关系， 从图中也能看出OA与OB不相等，所以OA＝OB不一定成立。 所以选D。 A项OA与OA′是对应点到旋转中心的距离，由旋转的性质一定相等，不符合题意；B项∠AOA′与∠BOB′都等于旋转角，一定相等，不符合题意；C项旋转前后图形全等，对应线段AB与A′B′一定相等，不符合题意。 7．【答案】C 【解析】【分析】旋转中心到每一对对应点的距离相等，它是AA′与BB′的垂直平分线的交点。 【详解】设旋转中心为M（1，－1），则MA²＝＋＝13，MA′²＝＋＝13； MB²＝＋＝20，MB′²＝＋＝20；MC²＝＋＝34，MC′²＝＋＝34， 并且∠AMA′＝90°，所以△A′B′C′可以看作△ABC绕点（1，－1）按逆时针方向旋转90°得到，旋转中心的坐标是（1，－1）。 所以选C。 A项误以为旋转中心一定是原点，真算得（0，0）；B项把对应点连线BB′的中点当成了旋转中心（只有旋转180°时才成立），真算得（2，2）；D项只作了AA′的垂直平分线，在它上面错取了点（0，4），它到B，B′的距离并不相等，真算得（0，4）。 【易错提醒】确定旋转中心至少要用两对对应点：分别作对应点连线的垂直平分线，交点才是旋转中心。 8．【答案】B 【解析】【分析】正八边形绕中心旋转45°的整数倍才能与自身重合。 【详解】正八边形的中心角为360°÷8＝45°， 旋转角是45°的整数倍（45°，90°，135°，180°，……）时，图形与自身重合， 120°÷45°不是整数，所以旋转120°后不能与原图形重合。 所以选B。 A项45°是正八边形的中心角360°÷8，旋转45°能重合，不符合题意；C项135°＝3×45°，是中心角的整数倍，旋转后能重合，不符合题意；D项180°＝4×45°，是中心角的整数倍，旋转后能重合，不符合题意。 【易错提醒】正n边形的“最小重合角”是360°÷n，能重合的旋转角都是它的整数倍。 9．【答案】D 【解析】【分析】由CE∥AB得∠ACE＝∠CAB；由AC＝AE得∠AEC＝∠ACE；∠CAE就是旋转角，等于∠BAD。 【详解】因为CE∥AB，所以∠ACE＝∠CAB＝68°， 由旋转前后图形全等，AC＝AE，所以∠AEC＝∠ACE＝68°，∠CAE＝180°－2×68°＝44°， ∠BAD与∠CAE都是旋转角，所以∠BAD＝44°。 所以选D。 A项误以为∠CAE是∠ACE的2倍，用2×68°，按此错法真算得136°；B项把68°当成等腰△ACE的顶角去求底角，用(180°－68°)÷2，按此错法真算得56°；C项误以为△ACE是直角三角形，用90°－68°，按此错法真算得22°。 【易错提醒】旋转角可以用任意一对对应点来求；这里由平行得内错角，再由等腰三角形求顶角。 10．【答案】A 【解析】【分析】把△OBE绕点O逆时针旋转90°到△OCF，四边形OEBF的面积就是△OBC的面积，BE也转成了CF。 【详解】连接OB，OC，则OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， 由∠BOE＋∠BOF＝90°，∠COF＋∠BOF＝90°，得∠BOE＝∠COF，所以△OBE≌△OCF， △OCF可以看作△OBE绕点O逆时针旋转90°得到， S四边形OEBF＝S△OBF＋S△OCF＝S△OBC＝36÷4＝9， BE＋BF＝CF＋BF＝BC＝6。 所以选A。 B项把四边形OEBF的面积当成正方形面积的一半，面积真算得36÷2＝18，BE＋BF＝6；C项面积正确，但把BE＋BF当成OB的长，真算得3；D项两处都错：面积当成正方形的一半18，BE＋BF当成OB的长3。 【易错提醒】∠EOF绕中心旋转时面积不变，是一个定值；定值通常在特殊位置（OE⊥AB）先算出来再证明。 　B卷　二、填空题 11．【答案】30 【解析】【分析】绕原点旋转180°就是关于原点对称，O是MN的中点。 【详解】OM＝＝15， 点N与点M关于原点对称，O是MN的中点， MN＝2OM＝30。 所以答案为30。 12．【答案】72 【解析】【分析】5片叶片把周角平均分成5份。 【详解】5片叶片均匀分布在点O周围，把360°平均分成5份， 每次旋转的角度为360°÷5＝72°。 所以答案为72。 13．【答案】22 【解析】【分析】平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，△OCD与△OAB关于点O对称。 【详解】平行四边形ABCD关于点O中心对称，所以OC＝½AC＝5，OD＝½BD＝9，CD＝AB＝8， △OCD的周长为5＋9＋8＝22。 所以答案为22。 14．【答案】20 【解析】【分析】CE＝CB＝5，A，C，E在同一条直线上，AE是△ABE的底，BC是这条底边上的高。 【详解】由旋转的性质，CE＝CB＝5， 点E在AC的延长线上，所以AE＝AC＋CE＝3＋5＝8， BC⊥AE，S△ABE＝½×8×5＝20。 所以答案为20。 【易错提醒】旋转90°后CE与CB长度相等且互相垂直；以AE为底、BC为高最简便。 15．【答案】（9，3） 【解析】【分析】旋转后O′B⊥OB且O′B＝OB，A′O′⊥O′B且A′O′＝AO，先求O′再求A′。 【详解】根据旋转的性质，O′B＝OB＝3，∠OBO′＝90°，所以O′在点B的正上方，O′（3，3）； A′O′＝AO＝6，∠A′O′B＝∠AOB＝90°，所以A′O′平行于x轴，且点A′在O′的右侧， 点A′的横坐标为3＋6＝9，纵坐标为3，即A′（9，3）。 所以答案为（9，3）。 【易错提醒】绕点B旋转，先看与B直接相连的线段OB转到哪里，再看与它垂直的AO，一步一步定位。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）a＝5，b＝16；（2）AB＝34 【解析】【分析】关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数，列方程求a，b；原点是AB的中点。 【详解】(1)由题意得a＋3＝8，b－1＝15， 解得a＝5，b＝16。　……3分 (2)点A的坐标为（8，－15），OA＝＝17， 点O是AB的中点，所以AB＝2OA＝34。　……3分 【评分说明】(1)列出两个方程2分，求出a、b 1分；(2)求出OA 1分，得出AB＝2OA并求值2分。 17．【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝12；（3）AE＝13 【解析】【分析】成中心对称的两个图形全等，对应角相等；对称点连线经过对称中心并被它平分。 【详解】(1)根据中心对称的性质，△DEC≌△ABC， 所以∠DEC＝∠ABC＝90°， 点B，C，E在同一条直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，所以AB∥DE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）。　……3分 (2)点B与点E关于点C对称，点C是BE的中点， 所以BE＝2BC＝2×6＝12。　……3分 (3)在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝5，BE＝12， AE＝＝13。　……3分 【评分说明】(1)由中心对称得∠DEC＝∠ABC＝90° 2分，由垂直于同一条直线得出平行1分；(2)得出BE＝2BC并求值3分；(3)说明∠ABE＝90° 1分，勾股定理求出AE 2分。 18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】【分析】△AEC可以看作△ABG绕点A旋转90°得到：AE与AB，AC与AG都是夹90°角的相等线段；证明全等后，用对应角相等和对顶角推出90°。 【详解】(1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， 所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAG＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAG， 在△AEC和△ABG中，AE＝AB，∠EAC＝∠BAG，AC＝AG， 所以△AEC≌△ABG（SAS）。　……4分 (2)设CE与AB交于点M，CE与BG交于点N， 由(1)得∠AEC＝∠ABG，即∠AEM＝∠NBM， 又∠AME＝∠NMB（对顶角相等）， 所以∠BNM＝∠EAM＝90°，即CE⊥BG。　……5分 【评分说明】(1)找出AB＝AE、AC＝AG 1分，证明∠BAG＝∠EAC 1分，证明全等2分；(2)由全等得∠AEC＝∠ABG 2分，利用对顶角与三角形内角和得出90° 3分。 【易错提醒】证夹角相等用“同加一个角”；证垂直时把∠BNM放到与△AME有对顶角的三角形里比较。 19．【答案】（1）A′（0，2），B′（6，0）；（2）y＝－()x＋2；（3）（－，） 【解析】【分析】先求A，B两点；绕原点顺时针旋转90°，x轴负半轴上的点转到y轴正半轴，y轴正半轴上的点转到x轴正半轴；再用待定系数法。 【详解】(1)当y＝0时，3x＋6＝0，x＝－2，A（－2，0）；当x＝0时，y＝6，B（0，6）。 OA＝2，OB＝6，顺时针旋转90°后，OA′＝2且点A′在y轴正半轴上，OB′＝6且点B′在x轴正半轴上， 所以A′（0，2），B′（6，0）。　……3分 (2)设直线A′B′的解析式为y＝kx＋b， 把（0，2），（6，0）代入，得b＝2，6k＋b＝0， 解得k＝－，所以直线A′B′的解析式为y＝－()x＋2。　……3分 (3)由3x＋6＝－()x＋2，得()x＝－4， 解得x＝－，y＝3×(－)＋6＝， 所以两直线的交点坐标为（－，）。　……3分 【评分说明】(1)求出A、B 1分，写出A′、B′ 2分；(2)待定系数法列方程组2分，写出解析式1分；(3)联立方程组1分，解出交点2分。 【易错提醒】旋转的是三角形，先求出两个顶点旋转后的位置，再求新直线；顺时针转90°时，x轴负半轴转到y轴正半轴。 20．【答案】（1）CF＝10；（2）34；（3）EF＝2 【解析】【分析】旋转后∠ADF＝∠B＝90°，点F在CD的延长线上；AE＝AF，∠EAF＝90°，△AEF是等腰直角三角形。 【详解】(1)由旋转前后图形全等，DF＝BE＝2，∠ADF＝∠B＝90°， ∠ADC＋∠ADF＝180°，所以点F在CD的延长线上， CF＝CD＋DF＝8＋2＝10。　……3分 (2)在Rt△ABE中，AE²＝＋＝68， AF＝AE，∠EAF＝∠BAD＝90°， S△AEF＝½AE²＝34。　……3分 (3)CE＝BC－BE＝8－2＝6， 在Rt△ECF中，EF＝＝2。　……3分 【评分说明】(1)由旋转得DF＝BE并说明F在CD的延长线上2分，求出CF 1分；(2)求出AE² 1分，得出△AEF是等腰直角三角形并求面积2分；(3)求出CE 1分，勾股定理求EF 2分。 【易错提醒】先说明F在CD的延长线上，CF才等于CD＋DF；等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半。 21．【答案】（1）60°；（2）AB′＝3；（3）AA′＝3 【解析】【分析】CB＝CB′且∠B＝60°，△BCB′是等边三角形；再看△ACB′与△ACA′的形状。 【详解】(1)∠B＝90°－∠A＝60°，由旋转的性质，CB′＝CB， 所以△BCB′是等边三角形，∠BCB′＝60°，即旋转角为60°。　……3分 (2)在Rt△ABC中，∠A＝30°，所以AB＝2BC＝6， 由△BCB′是等边三角形得BB′＝BC＝3， AB′＝AB－BB′＝6－3＝3。　……3分 (3)AC＝＝3， CA′＝CA，∠ACA′＝60°，所以△ACA′是等边三角形， AA′＝AC＝3。　……4分 【评分说明】(1)求出∠B 1分，由CB＝CB′得等边三角形1分，写出旋转角1分；(2)由30°角得AB＝6 1分，由等边三角形得BB′＝3并求出AB′ 2分；(3)得出△ACA′是等边三角形2分，求出AC与AA′ 2分。 【易错提醒】旋转角为60°时，每一对对应点与旋转中心都构成等边三角形，AA′就等于AC。 22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36 【解析】【分析】旋转后AD＝AF，∠DAF＝90°，证△DAE≌△FAE；再证∠ECF＝90°，用勾股定理。 【详解】(1)根据旋转的性质，AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝∠BAC＝90°， 所以∠EAF＝∠DAF－∠DAE＝45°＝∠DAE， 在△DAE和△FAE中，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，AE＝AE，所以△DAE≌△FAE（SAS），DE＝EF。　……3分 (2)∠ACF＝∠B＝45°，所以∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°， 在Rt△ECF中，CF²＋CE²＝EF²， 把CF＝BD，EF＝DE代入，得BD²＋CE²＝DE²。　……4分 (3)DE＝＝5，BC＝3＋5＋4＝12， 过点A作AH⊥BC于H，则AH＝½BC＝6， S△ABC＝½×12×6＝36。　……3分 【评分说明】(1)由旋转得AD＝AF、∠DAF＝90° 1分，证明△DAE≌△FAE 2分；(2)得出∠ECF＝90° 2分，勾股定理代换2分；(3)求出DE、BC 2分，求出面积1分。 【易错提醒】半角模型：把夹半角的一个三角形转过去，与另一边拼出全等三角形。 23．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCE＝120°；（3）2；（4）CE＝4或8 【解析】【分析】△ABD绕点A逆时针旋转60°正好得到△ACE；点D在直线BC上要分两种位置讨论。 【详解】(1)由旋转得AD＝AE，∠DAE＝60°，又AB＝AC，∠BAC＝60°， 所以∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， 所以△ABD≌△ACE（SAS），CE＝BD。　……3分 (2)由(1)得∠ACE＝∠B＝60°， 所以∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝60°＋60°＝120°。　……3分 (3)BD＝2时，CE＝BD＝2，CD＝6－2＝4。 过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，∠ECH＝180°－120°＝60°，∠CEH＝30°， 所以CH＝½CE＝1，EH＝＝， S△DCE＝½×CD×EH＝½×4×＝2。　……4分 (4)①当点D在线段BC上时，BD＝BC－CD＝6－2＝4，由(1)得CE＝BD＝4； ②当点D在BC的延长线上时，BD＝BC＋CD＝6＋2＝8，同理可证△ABD≌△ACE（∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD＝∠CAE），CE＝BD＝8。 综上，CE的长为4或8。　……3分 【评分说明】(1)证出△ABD≌△ACE 3分；(2)求出∠ACE 2分，求出∠BCE 1分；(3)求出CE、CD 1分，作高求出高2分，求出面积1分；(4)两种位置各1.5分，只算一种的得1.5分。 【易错提醒】“点在直线上”要分在线段上和在延长线上两种情况讨论。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $