第28章 旋转 单元练习 -2026—2027学年人教版数学九年级上册

第28章 旋转 一、单选题 1．图中所有的小正方形都全等，已有4个正方形被涂黑，现将①②③④中某一个涂黑使得它与原来4个小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则要被涂黑的正方形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，连结AE，若AC⊥DE于点H，∠AED=20°，则旋转角∠ACE为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．在学习了平移、旋转、轴对称变换知识后，老师要求同学们在智能俄罗斯方块游戏拼图操作中理解、体会、感悟知识的灵活运用．如图所示的方块拼图游戏中，已拼好了部分图案，现又出现一小方格体正向下运动，为了使移动的小方格与下方图案拼接成一个完整图案，使所有图案自动消失，你的正确操作是（　　） A．顺时针旋转90°，向右平移 B．逆时针旋转90°，向右平移 C．顺时针旋转90°，向下平移 D．逆时针旋转90°，向下平移 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）． A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小为（　　） A．115° B．125° C．120° D．145° 6．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°。以上四位同学的回答中，错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 8．如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不存在 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心位于原点O处，轴于点E，F为的中点，射线l的端点为O，将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，射线l与正方形的边的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在 中， ， ， 是斜边 上两点，且 ，将 绕点 顺时针旋转90°后，得到 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在平面直角坐标系中，将函数的图象记为，将绕原点旋转得到图象，把和合起来的图形记为图形．则当时，直线与图形的交点的个数是（　　） A．2 B．4 C．2或3 D．3或4 12．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在第一象限，点 的坐标分别为 、 ， ， ，直线 交 轴于点 ，若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标为（　　） A．（-4，-5） B．（-5，-4） C．（-3，-4） D．（-4，-3） 二、填空题 13．如图，在平面内将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转90°到Rt△EFC，若AB=，BC=1，则BE的长为　 　． 14．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是　 　． 15．如图，将绕A点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为　 　． 16．如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为　 　． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 　 　． 18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=　 　． 19．如图，正方形 中， 为 边上一点，且 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，则线段 的长度是　 　． 20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM若AE＝2，则FM的长为 　 　． 21．如图，将的直角三角尺绕直角顶点A逆时针旋转到的位置，使B点对应点D落在边上，连接、，则下列结论：①；②为的垂直平分线；③平分；④其中正确的是　 　． 22．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为　 　． 23．如图，O为坐标原点，矩形OABC中，A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O旋转60°，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC相交于P．则点P的坐标为　 　． 24．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是　 　． 三、解答题 25．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)画出△关于原点的中心对称图形，并写出的坐标； (2)画出△绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 26．如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，若，，求的长． 27．如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 28．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上， ①易知AB//CD，理由是____________________________； ②求出∠BOC的度数； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到∠OA'B'，当∠为多少度时，OB'平分； （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD，请直接写出答案 29．交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． （1）若，则______； （2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：； （3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值． 30．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数． 31．如图四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，点O是正方形ABCD两对角线的交点，已知AB＝2，EF＝3，正方形OEFG绕点O转动，OE交BC上一点N，OG交CD上一点M.求四边形OMCN的面积． 32．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE=90°，∠EOD=60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转． （1）当OD在OA与OC之间，且∠COD=20°时，则∠AOE=______； （2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； （3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE=7∠COD，试求∠AOE的大小． 33．在平面直角坐标系中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若，将图形W绕点P逆时针旋转得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”． 如图，点，，，． （1）点，，，中，在四边形和点的“关联图”上的点是__________； （2）已知点，． ①若线段关于点P的“关联图”在四边形的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出的值__________； ②当关于点P的“关联图”和都在四边形的内部（包含边界）时，锐角的最大值是，请直接写出t的取值范围__________． 34．如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：涂黑②时使得它与原来4个小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 故选：B． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形对各选项分析判断即可得解． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AC⊥DE，∠AED=20°； ∴∠CAE=90°-20°=70° ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC ∴CA=CE ∴∠CAE=∠CEA=70° ∴∠ACE=180°-70°-70°=40° 故答案为：C. 【分析】根据直角三角形的性质，可得∠CAE的度数；根据旋转的性质，可得CA=CE；根据三角形的内角和定理，可得∠ACE的度数. 3．【答案】A 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上， ∴旋转角最小是∠CAC1， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， 由旋转得，∠B1AC1=∠BAC=60°， ∴∠CAC1=180°﹣∠B1AC1=180°﹣60°=120°， 故答案为：C． 【分析】由Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，得到旋转角最小是∠CAC1，由旋转的性质和三角形内角和求出∠CAC1的度数. 6．【答案】B 【解析】【分析】圆被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是45°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】圆被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错误的是乙． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆的旋转不变性，同时要明确圆内部的图形也是旋转对称图形． 7．【答案】B 8．【答案】C 【解析】【解答】解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故答案为：C． 【分析】先画出三视图，再根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判定即可。 9．【答案】D 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴AF=AD，∠CAD=∠BAF， ∵∠BAC=90°，即∠CAD+∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°， ∵∠DAE=45°， ∴∠DAE=∠FAE=45°， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（SAS），故①符合题意， ∵AE与AD不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②不符合题意； ∵△AED≌△AEF， ∴DE=EF， 由旋转可知：△ADC≌△AFB， ∴BF=CD， ∵BE+BF＞DE， ∴BE+DC＞DE，③符合题意； ∵在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°， 由旋转可知：∠ABF=∠C=45°， ∴∠EBF=90°， ∴BE2+BF2=EF2， ∴BE2+DC2=DE2，④符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据旋转的性质，勾股定理和全等三角形的判定方法与性质对每个结论一一判断求解即可。 11．【答案】B 12．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴A（4，3）， 设直线AB解析式为y=kx+b， 则 ，解得 ， ∴直线AB解析式为y=x﹣1， 令x=0，则y=﹣1， ∴P（0，﹣1）， 又∵点A与点A'关于点P成中心对称， ∴点P为AA'的中点， 设A'（m，n），则 =0， =﹣1， ∴m=﹣4，n=﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故答案为：A． 【分析】利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，就可求出点P的坐标，然后根据点A与点A'关于点P成中心对称，设点A'（m，n），求出m、n的值，就可得出点A'的坐标。 13．【答案】3 14．【答案】线段的中点 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】或 【解析】【解答】解：当旋转角小于50°时，如图： ∵∠ACB＝50°，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC， ∴∠DCE＝50°， ∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2， ∴∠ACE＝×50°＝20°， ∴旋转角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°， 当旋转角大于50°时，如图： ∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°， ∴∠ACE＝2∠DCE＝100°， ∴旋转角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°， 故答案为：30°或150°． 【分析】分两种情况：①当旋转角小于50°时，②当旋转角大于50°时，分别画出图形，由∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，求出∠ACE，即可得到旋转角度数。 18．【答案】 【解析】【解答】设CD=x， ∵B′C′∥AB， ∴∠BAD=∠B′， 由旋转的性质得：∠B=∠B′，AC=AC′=3， ∴∠BAD=∠B， ∴AD=BD=4−x， ∴(4−x)2=x2+32， 解得：x= . 故答案为： 【分析】设CD=x，根据二直线平行内错角相等得出∠BAD=∠B′，由旋转的性质∠B=∠B′，AC=AC′=3，故∠BAD=∠B，根据等角对等边得出AD=BD=4−x，在Rt△ADC中利用勾股定理建立方程求解即可。 19．【答案】 【解析】【解答】如图，作 于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴ ， ， ∵AE绕点E顺时针旋转 得到EF， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 在 中， ， 故答案为： ． 【分析】根据旋转的性质先求出 ， ，再证明 ，最后利用勾股定理计算求解即可。 20．【答案】5 21．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：在中，，， 绕直角顶点A逆时针旋转到的位置， ，，， 为等边三角形， ， ， ， ， ，所以符合题意； ∴， ，， 为等边三角形， ， 为的垂直平分线，所以符合题意； ， ， ∴AB∥DE， ， ， ， ， 平分不符合题意，所以不符合题意； 在中，， ， ，所以符合题意． 故答案为：． 【分析】结合图形，利用旋转的性质，垂直平分线的性质和等边三角形的性质等对每个结论一一判断即可。 22．【答案】 【解析】【解答】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 【分析】将线段绕点顺时针旋转得，将线段绕点顺时针旋转得，根据SAS证明，即可得到得到三点共线时最大，最大值为，然后利用勾股定理解题即可. 23．【答案】（﹣2 ，6）或（2 ，6） 【解析】【解答】解：如图，矩形OABC绕点O旋转60°，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，所以有两种可能，见图． ∵∠AOP1=60°，∠AOC=90°， ∴∠COP1=30°， 在Rt△COP1中，∵OC=6，∠COP1=30°， ∴CP1=2 ， ∴点P1坐标为（﹣2 ，6），根据对称性，P1、P2关于y轴对称， ∴P2坐标（2 ，6）． 故答案为（﹣2 ，6）或（2 ，6）． 【分析】作出图形，有两个解，利用直角三角形的30°的性质可以解决问题． 24．【答案】3 25．【答案】(1)如图，△4|B|C|即为所求，点4|的坐标为(2，-2); (2)如图，△AB,C>即为所求，点C,的坐标为（一5,0) 【分析】（1）根据中心对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可。 26．【答案】3 27．【答案】 28．【答案】（1）①旁内角互补，两直线平行；②75°；（2）105°；（3）105°或285° 29．【答案】（1） （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 由题意得， 当时，如图，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 综上所述，或． 【解析】【解答】解：（1）∵，， ∴，解得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，再根据邻补角的意义求出，然后两直线平行，内错角相等求出∠C； （2）设，先用x表示出，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的意义求出，，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行判定； （3）分“”、“”两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列出关于t的方程求解． （1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 由题意得， 当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 30．【答案】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE， ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC＝180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°， ∴∠ADC＝∠E+20°， ∵∠ACE＝90°，AC＝CE ∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°， 即45°+70°+∠ADC＝180°， 解得：∠ADC＝65°， 【解析】【分析】先求出 ∠ADC＝∠E+20°， 再求出 45°+70°+∠ADC＝180°， 最后计算求解即可。 31．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交 于点O， ∴OB＝OC，∠4＝∠5＝45°，∠BOC＝90°， 即∠1＋∠2＝90°. 又∵四边形OEFG是正方形， ∴∠EOG＝90°， 即∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3. 在△BON和△COM中 ∴△BON≌△COM(ASA) ∴S四边形OMCN＝S△ONC＋S△OCM＝S△ONC＋S△BON ＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×22＝1. 即四边形OMCN的面积为1. 【解析】【分析】考查全等三角形的判定与性质。 32．【答案】（1）130°；（2）∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；（3）∠AOE=131.25°或175°． 33．【答案】（1） （2）①；② 34．【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或或 学科网（北京）股份有限公司 $