13.2.1 三角形的边-课件--2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 **13.2.1 三角形的边** 专项练习（约1500字），直接以文字呈现，不生成 Word 文档。 --- ## 一、知识要点速记 1. **定义**：由不在同一条直线上的三条线段**首尾顺次相接**所组成的图形叫做三角形，记作△ABC。 2. **三要素**：边（AB、BC、CA）、顶点（A、B、C）、内角（∠A、∠B、∠C）。 3. **分类**：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为**不等边三角形、等腰三角形、等边三角形**。其中等边三角形是特殊的等腰三角形。 4. **三边关系定理**：三角形**任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边**。判断三条线段能否构成三角形，只需看"较小两边之和是否大于最大边"；已知两边 a、b（a<b），则第三边 x 满足 **b-a<x<b+a**。 ## 二、基础练习 **（一）判断题（对的画√，错的画×）** 1. 任意三条线段都能首尾相接组成三角形。（　） 2. 等边三角形一定是等腰三角形。（　） 3. 已知两边长，第三边的取值范围可表示为"两边之差＜第三边＜两边之和"。（　） **（二）填空题** 4. 由不在同一条直线上的三条线段________相接所组成的图形叫做三角形。 5. 三角形的任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边。 6. 三边都相等的三角形叫做________三角形，它是特殊的________三角形。 7. 已知三角形两边长分别为 3 和 5，则第三边 x 的取值范围是________。 **（三）选择题** 8. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　） A. 1,2,3　　B. 4,5,10　　C. 2,5,6　　D. 3,3,7 9. 等腰三角形两边长分别为 4 和 9，则其周长为（　） A. 17　　B. 22　　C. 17 或 22　　D. 13 10. 三角形两边长分别为 2 和 7，第三边长为奇数，则第三边长为（　） A. 5　　B. 7　　C. 9　　D. 7 或 9 ## 三、综合解答题 11. 三角形两边长分别为 5 和 8，第三边长为整数且为奇数。求第三边的所有可能值，并求出该三角形周长的取值范围。 12. 等腰三角形一边长为 6，另一边长为 13，求它的周长，并说明理由。 13. 已知三角形两边长分别为 4 和 9，第三边长为整数。 （1）求第三边长 x 的取值范围； （2）当 x 取最大值时，求三角形的周长； （3）当三角形周长最小时，第三边长是多少？ ## 四、参考答案 1. ×（还需满足两边之和大于第三边）。　2. √　3. √ 4. 首尾顺次。　5. 大于；小于。　6. 等边；等腰。 7. 2＜x＜8（由 5－3＜x＜5＋3 得）。 8. C。A 中 1＋2＝3 不大于 3，B 中 4＋5＜10，D 中 3＋3＜7，均不能构成；C 中 2＋5＞6，能组成。 9. B。若腰为 4，则 4＋4＜9，不能构成三角形，故 4 只能作底，腰为 9，周长＝4＋9＋9＝22。 10. B。设第三边为 x，由三边关系得 7－2＜x＜7＋2，即 5＜x＜9；x 为奇数，故 x＝7。 11. 设第三边为 c，则 8－5＜c＜8＋5，即 3＜c＜13。因 c 为整数且为奇数，所以 c＝5、7、9、11。周长＝5＋8＋c＝13＋c，故周长取值范围为 16＜周长＜26；当 c 取上述值时，周长分别为 18、20、22、24。 12. 周长为 32。理由：若 6 为腰，则 6＋6＝12＜13，不满足"两边之和大于第三边"，不能构成三角形，故 6 只能作底、13 作腰，周长＝6＋13＋13＝32。 13. （1）由 9－4＜x＜9＋4，得 5＜x＜13。（2）x 为整数，最大值取 12，周长＝4＋9＋12＝25。（3）周长＝13＋x，周长最小时 x 最小，取 x＝6，故第三边长为 6。 --- **温馨提示**：做"已知两边求第三边"的题目时，先写出取值范围，再结合"整数、奇数、能否构成"等条件逐一筛选，是这类题的通用解法。如需要，我可以把练习题排版成 A4 可打印版本或再加一份同类巩固题。 人教版数学（新教材）八年级上册 13.2.1 三角形的边 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/28 第十三章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 探索并掌握三角形的三边关系，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围. 一 通过实验操作，理解三角形稳定性的原理，能解释其在生活中的应用. 二 三 在探究过程中，经历观察、猜想、验证的数学活动，发展推理能力与几何直观，体会数学与生活的联系. 学习目标 从A到C你会选择哪条路？ C A B 思考 证明： ∵AB为线段 ∴AC+BC>AB （两点之间线段最短） 同理，AB+BC>AC AC+AB>BC 为什么？你能证明吗？ 情境导入 探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 有两条路线可以选择： （1）由点B到点C，即线段BC （2）由点B经点A再到点C，即线段BA＋AC 探究新知 探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA+AC>BC，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论. 能证明你的结论吗？ 探究新知 探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB， ② AB+BC>AC. ③ 这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边。 探究新知 探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC. BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边. AB+AC>BC ① AC+BC>AB ② AB+BC>AC ③ 探究新知 三角形三边间的关系 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 探究新知 思考：上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 探究新知 例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么? （1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10． 解：（1）不能．因为3＋4＜8， 不符合三角形两边的和大于第三边. （2）不能．因为5＋6＝11， 不符合三角形两边的和大于第三边. （3）能． 因为5＋6＞10，10＋6＞5，10＋5＞6， 符合三角形两边的和大于第三边. 探究新知 例2：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm． x ＋2x＋2x ＝18． 解得 x ＝3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm． 探究新知 （2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4＋2x＝18． 解得 x＝7. ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则 2×4＋y＝18. 解得 y ＝10. 因为4＋4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长为4 的等腰三角形． 由以上讨论可知，可以围成底边长为4 cm的等腰三角形． 例2：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 探究新知 　　解决等腰三角形问题的关键 一分清：分清已知等腰三角形的两边是三角形的腰还是底； 二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论； 三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系． 探究新知 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 探究新知 探究：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形。 探究新知 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子。你能再举些例子吗？ 探究新知 随堂演练 教材P7练习 第1题 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10. × × √ 因为 3 + 4 < 8 因为 5 + 6 = 11 因为 5 + 6 > 10，10 – 5 > 6 当堂检测 2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？ 解：一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条不能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 1 dm < 4 dm； 两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 4 dm > 4 dm，4 dm – 1 dm > 4 dm. 当堂检测 随堂演练 3. 如果三角形的两边长分别是 2 和 4，且第三边是奇数，那么第三边长为______. 若第三边为偶数，那么三角形的周长为______. 3或5 10 当堂检测 4. 已知 a，b，c 分别是三角形三边的长，化简： |a – b + c| + |b – a – c| – |a + b + c| =_________. a – 3b + c 随堂演练 当堂检测 5. 如图，P是△ABC 内一点，连结 BP 并延长，交 AC 于点 D，连结 CP. （1）试探究 AB + BC + AC 与 2BD 的大小关系； （2）试探究 AB + AC 与 PB + PC 的大小关系. A B D P C 随堂演练 当堂检测 解：（1）根据三角形的三边关系，可得 BC + CD > BD，AB + AD > BD， ∴BC + CD + AB + AD > 2BD， 即 AB + BC + AC > 2BD. （2）根据三角形的三边关系，可得 AB + AD > BD，PD + CD > PC， ∴BC + AC + PD + CD > BD + PC， ∴ AB + AC > BD + PC – PD， 即 AB + AC > PB + PC. A B D P C 随堂演练 当堂检测 知识点1 三角形的三边关系 1.［教材P练习T 变式］下列每组数分别表示3根小木棒的长度 （单位： ），其中首尾顺次相接能围成一个三角形的是( ) D A.5，7，12 B.7，7，15 C.6，9，16 D.6，8，12 返回 举一反三 23 2.［2024淮安中考］用一根小木棒与两根长度分别为， 的小木 棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 24 3.［2025唐山路南区期末］使用, 两根直铁丝做成一个三角形框架，尺 寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段 的是( ) B A.只有 B.只有 C.,都可以 D., 都不可以 返回 举一反三 25 4.［2025天津宁河区质检］如图，为估计池塘岸边， 两点的距离，小 明在池塘的一侧选取一点，测得，，则， 间 最大的整数的距离是____ . 17 返回 举一反三 26 5.等腰三角形的两边长是3和7，则第三边长是___. 7 返回 举一反三 27 6.某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形木架，现有两根长度分别为和 的木 棒，还需要到该木材市场上购买一根.选择哪一种规格的木棒最省钱？ 解：设选择的木棒规格为 ， 则，即 ， 由题表可知，木棒越长价格越高， 选择 规格的木棒最省钱. 返回 举一反三 28 原理 三边关系 应用 两点之间，线段最短 三边关系 两边的和_____第三边 两边的差_____第三边 大于 小于 应用 稳定性 三角形 独有性质 四边形具有不稳定性 课堂小结 谢谢观看 THANKS $