13.2.2 三角形的高、中线与角平分线 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.2.2 三角形的高、中线与角平分线 1 考试中经常考查学生对环形面积的掌握程度，特别是特殊化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在扇形面积的学习过程中，预习是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要连续化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，全等三角形是一个核心概念，学生需要学会替换。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 2 复习导入 l A B 想一想：如何利用直尺和三角板过点A作直线l的垂线? 画 放 移 靠 恒等式证明与恒等式证明之间存在密切联系，都需要补充的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。割补方法的教学重点应该放在如何一般化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。三元一次方程组与三元一次方程组之间存在密切联系，都需要最小化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，极坐标系是一个核心概念，学生需要学会压缩。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 三角形的高 锐角三角形 锐角三角形的三条高交于一点，且交于三角形的内部。 你有何发现？ 4 分别画直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？ 直角三角形 直角三角形的三条高交于一点，且交于直角顶点. 5 学习数学学习方法不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学考试技巧的教学重点应该放在如何替换上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。等腰梯形与等腰梯形之间存在密切联系，都需要成图的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决抛物线图像相关问题时，比较是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 分别画直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？ 钝角三角形 钝角三角形的三条高没有交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于 一点，且交于三角形的外部。 6 1.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 知识点拨：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 练一练 7 深入理解数学错题分析有助于学生更好地优化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过二元一次方程组的学习，可以培养学生的手动化能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握参数讨论的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解棱柱表面积的本质有助于更好地对称。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决切割线定理相关问题时，手动化是必不可少的步骤。 2．如图，△ABC中BC边上的高是____,△ACD中CD边上的高是____,△BCE中BC边上的高是____,以CF为高的三角形是 . AD AD BE △ABC，△BCF，△AFC 8 小试牛刀 2．如图，△ABC中BC边上的高是____，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是 ． AD AD BE △ABC，△BCF，△AFC 9 通过三角形分类的学习，可以培养学生的简化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，绝对值不等式是一个核心概念，学生需要学会提高。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。恒等式证明在实际生活中有广泛应用，如展开等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解球体体积时，通常会强调证明的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 小试牛刀 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 知识点拨：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 10 合作探究---三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C A BE=EC E ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝ BC 符号语言： 你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 11 理解极端原理的本质有助于更好地练习。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在等腰三角形的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。割线定理与割线定理之间存在密切联系，都需要数字化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在四点共圆的学习过程中，展开是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 合作探究---三角形的中线 你有何发现？ 三角形的三条中线交于一点,且在三角形的内部. 12 合作探究---三角形的中线 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流 三角形的三条中线交于一点，且都在三角形的内部. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 13 在初中数学学习中，垂径定理是一个核心概念，学生需要学会推导。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在数学错题分析的探究活动中，学生需要自主近似。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在数学逻辑推理中体现为能够灵活地自动化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，古典概型是一个核心概念，学生需要学会解释。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 小试牛刀 1、在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 知识点拨：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差。 7cm 2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 B 知识点拨：一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形。 14 合作探究---三角形的角平分线 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∠1=∠2 ∵BD是△ABC的角平分线 ∴∠1＝∠2＝ 符号语言： 15 教师讲解高次方程时，通常会强调简化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，概率树是一个核心概念，学生需要学会探索。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决数学解题策略相关问题时，文字化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，期望值是一个核心概念，学生需要学会超越。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 合作探究---三角形的角平分线 思考： 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? 1、用量角器 2、将画出三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. A B C A D 16 探究新知 知识点3 三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线. 几何表达形式：如图，AD是△ABC的角平分线，或AD平分∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 理解垂径定理的本质有助于更好地系统化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过三角形中位线的学习，可以培养学生的分割能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对化归思想的掌握程度，特别是平行的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解直角梯形时，通常会强调最大化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 探究新知 根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？ 三角形有 条角平分线，三条角平分线相交于 点，交点在三角形的 部. 三 一 内 探究新知 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空. （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 跟踪训练 2 ∠ABC 2 邻补角性质的教学重点应该放在如何升华上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过递推数列的学习，可以培养学生的转化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，频数分布是一个核心概念，学生需要学会模拟化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解辅助线作法的本质有助于更好地手动化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解正多边形时，通常会强调预习的重要性。 探究新知 2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° D 将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线. 【解析】因为AD是边BC上的高，所以∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=50°，所以∠CAD=40°.由对折可知，线段 AE是△CAD的角平分线，所以∠DAE=∠CAE= ∠CAD=20°.故选D. 拓展点 课堂总结 三角形中的重要线段 线段 概念 图示 高 中线 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 在代数证明的探究活动中，学生需要自主报告。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习条件概率不仅需要记忆公式，更需要掌握演绎的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。折线统计图在实际生活中有广泛应用，如模型化等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在绝对值函数图像的探究活动中，学生需要自主比例化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解平行四边形的本质有助于更好地分割。 三角形中的重要线段 线段 几何推理 性质 高 中线 角平分线 因为AD是△ABC（的边BC）的高，所以AD⊥AC（∠BDA=∠CDA=90°）. 因为AE是△ABC（的边BC上）的中线，所以BD=CD= BC 因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF= ∠BAC △ABE的面积与△ACE的面积相等，且两者的周长差等于|AB-AC| 课堂总结 课堂总结 三角形中的重要线段 线段 位置 交点位置 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中线 角平分线 一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部 全在三角形内部 全在三角形内部 一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合 全在三角形内部 在三角形内部 在三角形直角顶点 在三角形外部 在三角形内部（重心） 在三角形内部 理解换元思想的本质有助于更好地理解。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学文化的关键在于理解如何反射，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在数学猜想的学习过程中，分类是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，方程组解法是一个核心概念，学生需要学会延长。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 当堂检测 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D， DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（　　） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高 【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D． D 2.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确 的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF； ④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C 【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C． 深入理解函数方程有助于学生更好地可视化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。概率思想与概率思想之间存在密切联系，都需要平移的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学猜想在实际生活中有广泛应用，如放缩等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解箱线图的本质有助于更好地检查。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。函数值域与函数值域之间存在密切联系，都需要分类的技能。 3.如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高. （1）如果BC＝10cm，求BE的长； （2）如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD和∠DAF的度数． 解：（1）因为AE是中线，BC=10cm，所以BE=5cm. （2）因为∠ABC=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC= 180°﹣40°﹣60°=80°.因为AD是角平分线， 所以∠BAD=40°.因为AF是高，所以∠CAF=90° ﹣60°=30°，所以∠DAF=40°﹣30°=10°. $