15.3.2等边三角形（第1课时等边三角形的性质与判定）课时同步练习 - 2026‑2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 1、 选择题 1．已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，直线，分别经过等边三角形的顶点，，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列命题中，是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．等边三角形的三个内角都等于60° C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 6．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 10．如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（   ） A． B． C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 2、 填空题 11．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 12．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝　 　． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等边和等边中，点在的延长线上，则的度数为_____________． 14．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm． 15．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 17．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 3、 解答题 19．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 20．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 21．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 22．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 23．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 24．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 25．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 26．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）已知D，E分别是等边边上的点， 且，交于点F．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作 于点G． ①求的度数； ②求证： 27．（25-26八年级上·天津·期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 1、 选择题 1．已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴. 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，直线，分别经过等边三角形的顶点，，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用非负数和为0的性质列方程求出三边长，再判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 将代入，得， ∴，， ∴ ， 故为等边三角形． 5．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列命题中，是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．等边三角形的三个内角都等于60° C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】C 【详解】解：选项A，等腰三角形的两个底角相等，是真命题，不符合题意； 选项B，等边三角形的三个内角都等于，是真命题，不符合题意； 选项C，三角形的面积公式为×底×高，只要两个三角形的底和高的乘积相等，面积就相等，但形状不一定相同，不一定全等，所以是假命题，符合题意； 选项D，全等三角形的对应边相等，是真命题，不符合题意． 6．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，由平行线的性质得到∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，即可推出△DEF是等边三角形，得到△DEF的周长＝3EF＝BC＝6． 【详解】解：∵点E，F是边BC上的三等分点， ∴BC＝3EF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF＝DF， ∴△DEF的周长＝3EF＝BC＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点证明△DEF是等边三角形． 7．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 8．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知，进而根据全等三角形的性质可证是等边三角形，进而根据三角形的外角定理可知，进而可知即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴,, ∵, ∴是等边三角形， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴，, ∴， ∴． 9．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 10．如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（   ） A． B． C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【分析】点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动， ∴；故选项A正确； ∵为等边三角形， ∴， 又， ∴；故选项B正确； 当为的中点时，， ∵， ∴是等边三角形；故选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∴是个定值；故选项D错误； 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． 2、 填空题 11．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质可得，利用等边三角形三线合一的性质可得为中点，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝　 　． 【答案】10． 【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵AD＝DC， ∴∠ACD＝∠A＝30°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°， ∵CD＝CB， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD， ∴BD＝AD＝5， ∴AB＝AD+BD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等边和等边中，点在的延长线上，则的度数为_____________． 【答案】/60度 【分析】根据等边三角形的性质得，，，，证明得，再根据可得答案． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 14．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm． 【答案】2． 【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长． 【详解】解：∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB＝∠α＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）． 故答案为：2． 【点睛】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键． 15．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 17．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质及旋转的性质可得，判定是等边三角形，即可求出的度数；在中利用三角形内角和定理表示出，结合即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定，由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断④；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴，故①正确； ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 若平分，根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 3、 解答题 19．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】由等边三角形的性质，可得，，可得，证明，即可证得结论． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 【答案】 证明：在等边中， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据等边三角形的性质得到，进而得到，利用判定定理证明，从而得出结论． 【详解】略 21．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 22．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明． 【详解】解：是等边三角形，平分，， ，，， ． 又， ， ， ． 【点睛】重点掌握三线合一． 23．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 25．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 26．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）已知D，E分别是等边边上的点， 且，交于点F．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作 于点G． ①求的度数； ②求证： 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； (2)①； ②证明：∵， ∴，     ∵， ∵，即， ∴，    ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是利用全等三角形的性质进行等量替换． （1）根据等边三角形的性质，可得，，可利用“边角边”证明； （2）①根据全等三角形的性质可得， 从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵，即， ； ②略 27．（25-26八年级上·天津·期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)； 理由如下： ∵，， 为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ∵， ， ； (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明； （3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵为等边三角形，， ， ∵，， ， ∵，， 为等边三角形， ，， ∵， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $