15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 练习题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等边三角形性质与判定，通过基础巩固-能力提升-综合拓展三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|性质（内角、三边）、判定（边等、角等）|直接考查概念（第2题性质判断）、简单计算（第9题角度）| |提升层|性质与判定综合应用|添加条件证等边（第5题）、性质与全等结合（第17题）| |拓展层|复杂图形、动态问题综合|多结论判断（第12题）、动点与全等综合（第20题）|

15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 一、单项选择题。 1．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　) A．AE＝EC　 B．AE＝BE　 C．∠EBC＝∠BAC　 D．∠EBC＝∠ABE 2．下面关于等边三角形的说法中，不正确的是( ) A．等边三角形的三边都相等 B．等边三角形的三个内角都是60° C．等边三角形有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质 3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是(　 　) A．180° B．220° C．240° D．300° 4．三角形的三边长分别为a、b、c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(　 　) A．直角三角形　　B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC.若添加一个条件可以证明△ABC是等边三角形，则这个条件可以是( ) A．∠B＝60° B．∠BAD＝30° C．AB＝BC D．以上都可以 6．如图，等边三角形ABC的边长为4，则点C的坐标是(　 　) A．(4，－2) B．(4,2) C．(2，－2) D．(－2，－2) 7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是(　 　) A．5 B．6 C．8 D．10 二、填空题。 8．等边三角形的三个内角都________，并且每个角都等于________. 9．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝_________. 10．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC的度数为______. 11．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确是________． 12．如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ、BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有___个． 13．在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是______. 14．如图，若△ABC和△EDC都是等边三角形，∠EBD＝65°，则∠AEB＝________. 15．如图，将一等边三角形的三条边各8等份，按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1,2,5)，点B的坐标可表示为(4,1,3)，按此方法，则点C的坐标可表示为________． 三、解答题。 16．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 17．如图，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE．求证：AE∥BC． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． (1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB＝FE． 19．如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M． (1)求∠E的度数； (2)求证：M是BE的中点． 20．如图①，在等边三角形ABC中，D是边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)求证：AE∥BC； (3)如图②，动点D运动到边BA的延长线上，△EDC仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 答案： 一、 1-7 CDCCD CB 二、 8. 相等 60° 9. 120° 10. 30° 11. ①④ 12. 4 13. AB＝AC或∠B＝∠C 14. 125° 15. (2，4，2) 三、 16. 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 17. 解：由SAS可推得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B，又∠B＝∠ACB，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC 18. 解：(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－36°＝54°　 (2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE 19. (1)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE.又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠ACB＝30°；　 (2)证明：连接BD.∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°.由(1)知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°.在△BDM和△EDM中，∵∠DBC＝∠E，∠DMB＝∠DME，DM＝DM，∴△BDM≌△EDM(AAS)，∴BM＝EM，即M是BE的中点． 20. 解：(1)△DBC≌△EAC.理由：∵△ABC，△EDC是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，DC＝EC，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△DBC和△EAC中，∴△DBC≌△EAC(SAS) (2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC　 (3)仍有AE∥BC.证明：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△DBC和△EAC中，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC 学科网（北京）股份有限公司 $