3.3 二项式定理与杨辉三角（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第二册

分层作业 3.3　二项式定理与杨辉三角 目 录 A组 巩固过关 题型01 二项式定理的正用与逆用 题型02 求二项展开式中的特定项 题型03 求几个多项式和或积的特定项的系数 题型04二项展开式的系数问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   二项式定理的正用与逆用题型01 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 2．（广西部分学校2025-2026学年高二下学期四月阶段性检测数学试题）的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 3．（2026·北京房山·一模）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 求二项展开式中的特定项题型02 4．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·模拟预测）的展开式的第项的系数是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）二项式的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 求几个多项式和或积的特定项的系数题型03 7．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 8．（2026·山东济南·模拟预测）的展开式中的系数为（     ）. A． B． C． D． 9．（2026·湖南郴州·模拟预测）的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 二项展开式的系数问题题型04 10．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 11．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）设 ，则 ____________.（要求用数字作答） 12．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知的展开式的各项系数之和为，则（    ） A． B． C． D． 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某数学兴趣小组设计了一种生成器，输入一个正整数n，生成器输出展开式的全部二项式系数．现输入，将输出的这组数按从大到小重新排列得到一个新数列，则该新数列的前三项之和为（    ） A．41 B．46 C．50 D．56 3．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）在的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）将的二项展开式的各项等可能随机排列，则系数为负数的项不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（2027高三·全国·专题练习）设的展开式中的系数为，二项式系数为，则（   ） A．4 B． C． D． 7．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）的展开式中的常数项是__________．（用数字作答） 8．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）二项式展开式的常数项为24，则实数______； 9．（2026·广西百色·一模）的展开式中，含的项的系数为________（用数字作答）． 10．（26-27高三上·江西·开学考试）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）的展开式中的系数为（   ） A． B．56 C． D．15 12．（26-27高三上·海南海口·开学考试）的展开式中，含的项的系数为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·广东佛山·模拟预测）在的展开式中，含项的系数为，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）在的展开式中，项的系数为______． 15．（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）的展开中，的系数为__________． 16．（2026·浙江·模拟预测）的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 17．（26-27高三上·天津西青·阶段检测）在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 18．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）设，则________． 19．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）在二项式的展开式中，项的系数为__________． 20．（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中的系数为___________． 21．（2027高三·全国·专题练习）二项式的展开式中的系数为15，则________． 22．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知二项式的展开式中，的系数为24，则________． 23．（26-27高三上·四川成都·开学考试） 的展开式中的系数为________.（用具体的数字作答） 24．（26-27高二上·全国·课堂例题）(1)求的展开式中的常数项． (2)求的展开式中的系数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 6．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 8．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 9．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 10．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 11．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 12．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______． 14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________． 15．（2023上海）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 17．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是______. 18．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 19．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.3 二项式定理与杨辉三角 A组 巩固过关 颗型01 二项式定理的正用与逆用 1.【答案】11202 2.【答案】C 3. 【答案】D 颗型02 求二项展开式中的特定项 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】B 颗型03 求几个多项式和或积的特定项的系数 1. 【答案】8 8. 【答案】C 9. 【答案】D 题型04 二项展开式的系数问题 10. 【答案】0 11. 【答案】122 1/3 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12. 【答案】A B组 能力进阶 题号 1 2 3 5 6 答案 A C D D B A 7.-20 8.±2 C组 思维拔高 题号 10 11 12 13 答案 A C D D 9.-720 14.-80 15.1 16.60 17.24 18 -32 19.135 20.40 21.6 22.4 23.3 24.(1)393:(2)-180 2/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1. 【答案】A 2. 【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】10 5.【答案】18 6.【答案】8 7.【答案】-20 8.(2025上海高考真题【答案】80 9.【答案】1 10.【答案】 1 15 11.【答案】10 12.【答案】5 13.【答案】20 14.【答案】60 15.【答案】49 16.【答案】-28 17.【答案】15 18.【答案】10 19.【答案】 8 -2 3/3 分层作业 3.3　二项式定理与杨辉三角 目 录 A组 巩固过关 题型01 二项式定理的正用与逆用 题型02 求二项展开式中的特定项 题型03 求几个多项式和或积的特定项的系数 题型04二项展开式的系数问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   二项式定理的正用与逆用题型01 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 【答案】1120 【分析】先根据项数得出，应用二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以， 则展开式中的常数项为． 2．（广西部分学校2025-2026学年高二下学期四月阶段性检测数学试题）的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 【答案】C 【详解】的展开式共有项. 3．（2026·北京房山·一模）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 求二项展开式中的特定项题型02 4．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，其展开式通项为：. 令，解得. 将代入系数表达式，得项的系数为：. 5．（2026·广东广州·模拟预测）的展开式的第项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式，先确定第项对应的参数取值，代入计算即可得到该项的系数 【详解】由二项式的展开式通项为，其中， 因为求第项的系数，令，解得， 将代入通项的系数部分，可得第项的系数为. 6．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）二项式的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，得到， 所以二项式的展开式中的常数项是. 求几个多项式和或积的特定项的系数题型03 7．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 【答案】8 【分析】求出展开式中含和项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】二项式的通项公式：其中， 当时，与中的相乘得到， 当时，与中的常数项相乘得到， 所以的展开式中的系数为. 8．（2026·山东济南·模拟预测）的展开式中的系数为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把多项式拆成两项，分别求出两部分中的系数，再合并系数得到答案. 【详解】将原式拆分为两个部分的和： . 由二项式定理得的通项为： ， 计算中项的系数：令，则，该项系数为： . 计算中项的系数：会使的次数减1，的次数加1，要得到，则需要提供的项， 令，则，该项系数为：. 综上，展开式中的系数为：. 9．（2026·湖南郴州·模拟预测）的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 【答案】D 【分析】将求原式常数项转化为求展开式中的系数，结合二项式通项计算对应项系数求和即可. 【详解】要得到原式的常数项，需与展开式中的项相乘，故仅需计算中的系数， 的展开式通项为， 分三类计算的系数： 取因式的常数项，令，解得，对应系数为； 取因式的一次项，需匹配项，由于展开式仅含的偶次幂项，故该部分系数为； 取因式的二次项，令，解得，对应系数为， 因此的总系数为，即原式展开式的常数项为. 二项展开式的系数问题题型04 10．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】0 【详解】， 令，得； 令，得； . 11．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）设 ，则 ____________.（要求用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，分别令和，两个等式相减即可求解. 【详解】根据题意，令，可得， 令，可得， 两式相减得， 所以. 12．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知的展开式的各项系数之和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接通过赋值求二项式展开式的各项系数之和可得. 【详解】在二项式的展开式中，令可得展开式的各项系数之和为， 因此有，解得. 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项式展开式的二项式系数呈中间大、两边对称分布，若只有第4项的二项式系数最大，说明展开式总共有7项，因此. 二项式的第项为： ， 令的指数，解得，代入得该项系数为. 2．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某数学兴趣小组设计了一种生成器，输入一个正整数n，生成器输出展开式的全部二项式系数．现输入，将输出的这组数按从大到小重新排列得到一个新数列，则该新数列的前三项之和为（    ） A．41 B．46 C．50 D．56 【答案】C 【详解】当时，二项展开式的系数为：，，，，， ，． 按从大到小排列为20，15，15，6，6，1，1，则前三项之和为． 3．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）在的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将三项式中两项变成一项，两次利用二项式展开即可得到原式的展开通项公式，从而即可判断指数的可能取值，再分别代入计算即可得到答案． 【详解】由的二项展开式的通项公式为，， 又的二项展开式的通项公式为，， 所以的展开通项公式为，，， 令，即，则的取值只可能为， 当时，，则对应项的系数为， 当时，，则对应项的系数为， 当时，，则对应项的系数为， 所以常数项为． 4．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）将的二项展开式的各项等可能随机排列，则系数为负数的项不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的二项展开式的通项公式为， 其展开式有5项，当时，即第2，4项系数为负，其余项系数为正，且各项系数绝对值不相等． 进行等可能随机排列后，系数为负数的项不相邻的概率为． 5．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出的系数. 【详解】根据二项式展开式的通项公式可得：， 化简可得：， 令，求解可得：，所以的系数为： . 6．（2027高三·全国·专题练习）设的展开式中的系数为，二项式系数为，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】写出展开式的通项，求得项，据此可得答案. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，所以， 所以的系数为，二项式系数为，所以． 7．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）的展开式中的常数项是__________．（用数字作答） 【答案】 【详解】由的展开式通项为，， 令，解得， 所以的展开式中的常数项为． 8．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）二项式展开式的常数项为24，则实数______； 【答案】 【详解】二项式的通项公式为. 因为二项式展开式的常数项为24， 所以. 9．（2026·广西百色·一模）的展开式中，含的项的系数为________（用数字作答）． 【答案】 【分析】利用二项式定理通项公式求解指定项系数，首先写出二项展开的通项，确定式子中，整理得到通项中的指数表达式；再根据目标，建立方程求出对应的值，把代回通项，依次计算组合数、的幂次与的幂次，合并得到该项系数即可. 【详解】∵二项展开通项公式：， 又∵ ，， ∴， 令 的指数 ，得 ， 将 代入通项：， 含 项的系数为 . 10．（26-27高三上·江西·开学考试）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因二项式的展开式的通项为， 取，得，故常数项为. 11．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）的展开式中的系数为（   ） A． B．56 C． D．15 【答案】C 【详解】展开式的通项公式为， 所以展开式中含有的项为： ， 所以的系数为. 12．（26-27高三上·海南海口·开学考试）的展开式中，含的项的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式赋值计算即得. 【详解】因二项式的展开式的通项为， 取，即得含的项的系数为. 13．（2026·广东佛山·模拟预测）在的展开式中，含项的系数为，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】由题意：. 14．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）在的展开式中，项的系数为______． 【答案】 【分析】根据二项式定理的通项求解即可. 【详解】由二项式定理，项的系数为. 15．（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）的展开中，的系数为__________． 【答案】 【详解】方法一：二项式定理 的展开式的通项公式为， 令，解得， 代入，得，因此的系数为． 方法二：完全平方公式展开 因为，所以的系数为． 16．（2026·浙江·模拟预测）的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【分析】先求出二项展开式的通项，令代入计算即得的系数． 【详解】二项式的展开式的通项为，， 要得到，则的次数，此时， 代入得， 所以的系数为． 17．（26-27高三上·天津西青·阶段检测）在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【详解】的通项为， 令，解得， 故常数项为． 18．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）设，则________． 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解项的系数即可得到的值. 【详解】由二项式定理可得，，故. 19．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）在二项式的展开式中，项的系数为__________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数等于4求解的值，再代入通项计算对应项的系数即可. 【详解】二项式的展开式通项为. 令，解得. 将代入通项的系数部分得. 所以项的系数为. 20．（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中的系数为___________． 【答案】40 【详解】的展开式通项为， 且. 对于，令，解得， 故这部分的系数为. 对于，令，解得， 故这部分的系数为. ∴ 展开式中的系数为. 21．（2027高三·全国·专题练习）二项式的展开式中的系数为15，则________． 【答案】6 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据题意，展开式的通项为， 令，则． 22．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知二项式的展开式中，的系数为24，则________． 【答案】4 【详解】的展开式通项公式为， 令得，故的系数为， 所以，其中，所以，即，解得（负值舍去）. 23．（26-27高三上·四川成都·开学考试） 的展开式中的系数为________.（用具体的数字作答） 【答案】3 【分析】利用二项展开式的通项公式，计算得到对应项的系数即可. 【详解】根据二项式定理，的展开式通项为，其中，； 对于，令，，，可得其展开式通项为，， 令，解得，代入得项的系数为. 24．（26-27高二上·全国·课堂例题）(1)求的展开式中的常数项． (2)求的展开式中的系数． 【答案】（1）393；（2） 【分析】（1）解法1：根据7个因式，结合计数原理求多项式展开式的常数项即可；解法2：把三项式中两项变成一项，两次利用通项求解即可.（2）利用分类求出展开式中含项，即可求出展开式中含项的系数. 【详解】（1）解法1：根据多项式展开式确定常数项，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果． 表示7个因式的乘积， 在这7个因式中，7个因式都选1，相乘可得常数项； 有1个因式选，有1个因式都选，其余的5个因式都选1，相乘可得常数项； 有2个因式选，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得常数项； 有3个因式选，有3个因式都选，其余的1个因式都选1，相乘可得常数项， 由多项式定理，得的展开式中的常数项为： ． 解法2：由二项式定理，得 ①， 其中第项为 ②， 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为， 则 ③， 由③，令，则，所以为偶数， 再根据①、②知，所求常数项为. （2）由的展开式中含项：， 所以展开式中的系数为 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为.故选：A. 3．（2023·北京·高考真题）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得，则所求系数为，故选：D 4．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，，∴展开式中的系数为. 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以的系数为.故答案为：. 6．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 【答案】【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 7．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】【详解】展开式的通项公式为， 当时，，即展开式中的系数为.故答案为： 8．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 【答案】【详解】由通项公式， 令，得，可得项的系数为.故答案为：. 9．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴．故答案为：1 10．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【详解】令，则， 又，故， 令，则， 令，则，故故答案为：. 11．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 12．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5. 13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______． 【答案】20【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为.故答案为：20. 14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________． 【答案】【详解】展开式的通项公式， 令可得，，则项的系数为.故答案为：60. 15．（2023上海）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 【答案】49【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ， ，若，则为奇数，此时， ，又为奇数，的最大值为49.故答案为：49. 16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28故答案为：-28 17．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是______. 【答案】15【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：. 18．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 【答案】10【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ； 又的系数是常数项的5倍，所以，解得 .故答案为：10 19．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________． 【答案】 【详解】含的项为：，故； 令，即，令，即， ∴， 故答案为：；． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $