6.3.2 二项式系数的性质（题型专练） 数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 题型一：求指定项的二项式系数 1．在 的展开式中，第3项的二项式系数为 . 【答案】 【分析】根据题意结合二项式系数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：第3项的二项式系数为. 故答案为：10. 2．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 3．的展开式的第7项的二项式系数是 . 【答案】7 【分析】根据二项式定理的性质计算. 【详解】由题可知：第7项的二项式系数是. 故答案为：7 4．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数. 【详解】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 5．在的展开式中，第4项的二项式系数为（   ） A．5 B．10 C． D．160 【答案】B 【分析】利用展开式的通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第项的二项式系数为. 故选：B 6．在的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．4 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以第四项的二项式系数为. 故选：A. 7．的展开式中含的项的二项式系数为（    ） A．15 B．20 C． D．1215 【答案】A 【分析】求出的展开式的通项，求出的展开式中含的二项式系数. 【详解】的展开式的通项为， 令，则的展开式中含的二项式系数为． 故选：A. 题型二：二项式的系数和 1．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式展开式的二项式系数的性质求解. 【详解】二项式的展开式中所有二项式系数和为，所以. 故选：C 2．若，则展开式中二项式系数和为 ．（结果用数字作答） 【答案】1024 【分析】先由组合数公式求出n的值，再利用二项式定理求解. 【详解】因为， 所以 ，且 解得或1（舍去）， 所以二项式的展开式中二项式系数为：． 故答案为： 3．的展开式的二项式系数和为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项式系数和公式直接计算即可求解. 【详解】的展开式的二项式系数和为. 故选：C 4．若的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为 ． 【答案】32 【分析】根据给定信息求出幂指数，再利用二项式系数的性质求得答案. 【详解】由的展开式共有6项，得， 所以展开式中所有二项式系数之和为. 故答案为：32 5．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由二项式系数和求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为所有的二项式系数之和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（）， 令，解得， 所以， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：D 6．已知的展开式中所有二项式系数之和为，则展开式中常数项为 . 【答案】 【分析】利用所有二项式系数之和可求出的值，再结合二项式展开式通项可求得展开式中的常数项的值. 【详解】因为的展开式中所有二项式系数之和为，解得， 的展开式通项为， 令，可得，故展开式中的常数项为. 故答案为：. 题型三：二项展开式各项的系数和 1．的展开式中所有项的系数和为 ． 【答案】243 【分析】利用赋值法求解所有项的系数和即可. 【详解】令，可得展开式中所有项的系数和为. 故答案为： 2．在的展开式中，各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 【答案】C 【分析】利用赋值法，可得答案. 【详解】令，即得的展开式中的各项系数之和为. 故选：C. 3．已知 的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用赋值法，令，即可求出. 【详解】因为的展开式系数和为729， 所以令，则，则，所以或， 因为，所以. 故选：C 4．若，则= ． 【答案】1 【分析】应用赋值法求各项系数和即可. 【详解】令，则. 故答案为：1 5．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求解即可. 【详解】依题意，取，得， 取，得， 所以. 6．若，则 . 【答案】80 【分析】根据赋值法计算二项式系数的和，令和即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 所以. 故答案为：80. 题型一：求系数最大（小）的项 1．的展开式中，系数最大的项为第 项． 【答案】或 【分析】根据题意利用二项展开式的系数与二项式系数的关系，可得第项的二项式系数最大，但第项的系数为负，即可判断. 【详解】解：的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，且奇数项是正的，偶数项是负的． 又中间项的二项式系数最大，中间项为第项，其系数为负， 所以第，第项系数最大， 故答案为：或． 2．在 的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果. 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 3．的二项展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【分析】写出展开式的通项，设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 4．已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ． 【答案】 70 7 【分析】写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可. 【详解】二项式通项公式为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为： ， 由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以二项式系数的最大值为. 二项式通项公式为：， 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或. 故系数最大值为7. 故答案为：70；7. 5．的展开式中，系数最小的项为第 项. 【答案】四 【分析】利用二项展开通项公式，结合列举法分析系数最小的项的情况，从而得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 由于的存在，只需考虑的情况， 对应的项的系数分别为，，， 所以当时，系数最小，此时该项为第四项. 故答案为：四. 6．（多选）展开式中，下列说法正确的有(    ) A．二项式系数和 B．第2项是105 C．第8项与第9项的二项式系数相等 D．第9项的系数最小 【答案】AC 【分析】利用二项式定理展开式的性质逐项判断即可. 【详解】A：展开式二项式系数之和，故A正确； B：二项式展开式的第二项为：，故B错误； C：第8项二项式系数为，第9项二项式系数为，，故C正确； D：二项展开式的通项为，当r取奇数时，系数为负数，当r=7或8时，二项式系数最大，故当r=7时，项的系数最小，此时为第8项，故D错误. 故选：AC. 题型二：三项展开式的系数问题 1．的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】因为展开式的通项为， 当，即时，展开式中会出现，此时， 对于，通项为，要想得到，则需， 此时，即含的项的系数为， 故选：B. 2．展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 【答案】A 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以通项公式为：， 令，所以， 设二项式的通项公式为：， 令，所以， 因此项的系数为：， 故选：A. 3．在的展开式中，的系数是（    ） A．15 B．30 C．36 D．60 【答案】B 【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以的通项公式为：， 令，所以， 因此的系数是， 故选：B 4．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 5．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 【答案】924 【分析】把三项变成两项再应用二项式展开式计算求解. 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 6．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据二项式的通项公式求解即可，也可速解即根据乘法的运算规律进行求解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由，得， 因此展开式中的系数为． 故选：D． 速解： 由5个相乘得到，要得到含的项的系数， 需要1个提供x，2个提供y，2个提供， 则展开式中的系数为． 故选：D． 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 1．的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 2．的展开式中，项的系数的相反数为（    ） A．－15 B．－5 C．15 D．5 【答案】D 【分析】由，再利用二项式展开式计算系数即可. 【详解】根据题意， 又展开式的通项为， 当时，， 当时，， 所以得系数为，相反数为5. 故选：D. 3．展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理判断展开式中的常数项和的系数后可得原展开式中的常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 其中，故，故的展开式中无常数项， 令，则，故的系数为， 故展开式中的常数项， 故答案为： 4．展开式中的常数项为（    ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】B 【分析】直接由二项式定理进行求解即可. 【详解】展开式中的通项为， 所以展开式中的常数项为. 故选：B. 5．的展开式中的系数为（    ） A．135 B． C．2295 D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理计算得到答案. 【详解】因为的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A. 6．的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由题可知可根据二项式定理求的系数，然后去括号合并同类项即可. 【详解】的展开式的通项， 又， 令， 所以的系数为， 故答案为：. 题型四：整除与余数问题&近似数问题 1．除以80的余数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】,由于且能被80整除， 所以除以80的余数为9， 故选：C 2．被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【答案】C 【分析】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得被10除所得的余数即可. 【详解】 ， 因为能被10整除， 所以被10除所得的余数9； 因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0． 故选：C. 3．已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 4．已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合整除思想求解. 【详解】依题意，， 而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足. 故选：C 5．被8整除的余数为 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 1．若的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则 ． 【答案】7 【分析】根据二项式定理和组合数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，第项的二项式系数为， 所以第4项和第5项的二项式系数为，则由题意得， 由组合数性质可知，，所以，即. 故答案为：7. 2．若的展开式中，的系数等于的二项式系数的8倍，则 ． 【答案】5 【分析】由展开式的通项公式，列出等式即可求解. 【详解】由展开式通项公式为， 则的系数为，的二项式系数， 所以，即， 解得：， 故答案为：5 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理，分别赋值和即可解得. 【详解】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 4．若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【答案】D 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 5．在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为 ． 【答案】/ 【分析】先根据二项式系数之和为16求出，再利用赋值法可求系数之和. 【详解】因为二项式系数之和为16，故，所以， 在中令，故所有项的系数之和为， 故答案为：. 6．关于的说法，错误的是（    ） A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式各项系数和为0 C．展开式中只有第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 【答案】C 【分析】利用二项式系数性质可判断AC；利用赋值法可判断B；根据展开式各项系数为判断D. 【详解】可得展开式中的二项式系数之和为，故A正确； 令，可得展开式各项系数和为0，故B正确； 展开式共12项，其中中间第6、7项的二项式系数最大，故C错误; 展开式各项的系数为，可得当时，该项系数最小，故D正确. 综上，错误的选项是C. 故选：C. 7．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【分析】根据二项式展开的通项公式来求解展开式中项的系数. 【详解】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得 所以展开式中项的系数为 故选：D 8．展开后的系数为 ． 【答案】 【分析】将展开后结合多项式的乘法可求的系数. 【详解】因为， 故展开后含的项为， 故系数为． 故答案为：. 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．精确到0.1的近似数为1.6 C．被8整除的余数为1 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，令，则，令，，从而可判断A；对于B，，对于C，，都利用二项式定理进行化简判断；对于D，，可判断. 【详解】对于A，， 令，则，为负数，为正数， 令，， 故，故A正确； 对于B， , 故精确到0.1的近似数为1.6，B正确； 对于C，， 由此可得被8整除的余数为，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 二项式系数的性质 题型一：求指定项的二项式系数 1．在 的展开式中，第3项的二项式系数为 . 2．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 3．的展开式的第7项的二项式系数是 . 4．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，第4项的二项式系数为（   ） A．5 B．10 C． D．160 6．在的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．4 B． C．32 D． 7．的展开式中含的项的二项式系数为（    ） A．15 B．20 C． D．1215 题型二：二项式的系数和 1．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若，则展开式中二项式系数和为 ．（结果用数字作答） 3．的展开式的二项式系数和为（   ） A．1 B． C． D． 4．若的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为 ． 5．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（    ） A．5 B． C．6 D． 6．已知的展开式中所有二项式系数之和为，则展开式中常数项为 . 题型三：二项展开式各项的系数和 1．的展开式中所有项的系数和为 ． 2．在的展开式中，各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 3．已知 的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．若，则= ． 5．已知，求的值． 6．若，则 . 题型一：求系数最大（小）的项 1．的展开式中，系数最大的项为第 项． 2．在 的展开式中系数最大的项为 . 3．的二项展开式中系数最大的项是 . 4．已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ． 5．的展开式中，系数最小的项为第 项. 6．（多选）展开式中，下列说法正确的有(    ) A．二项式系数和 B．第2项是105 C．第8项与第9项的二项式系数相等 D．第9项的系数最小 题型二：三项展开式的系数问题 1．的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 2．展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 3．在的展开式中，的系数是（    ） A．15 B．30 C．36 D．60 4．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 5．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 6．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 1．的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 2．的展开式中，项的系数的相反数为（    ） A．－15 B．－5 C．15 D．5 3．展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 4．展开式中的常数项为（    ） A． B．0 C．5 D．10 5．的展开式中的系数为（    ） A．135 B． C．2295 D． 6．的展开式中的系数为 . 题型四：整除与余数问题&近似数问题 1．除以80的余数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 3．已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 4．已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 5．被8整除的余数为 . 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 1．若的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则 ． 2．若的展开式中，的系数等于的二项式系数的8倍，则 ． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 5．在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为 ． 6．关于的说法，错误的是（    ） A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式各项系数和为0 C．展开式中只有第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 7．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 8．展开后的系数为 ． 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．精确到0.1的近似数为1.6 C．被8整除的余数为1 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $