3.3 第3课时 二项式定理的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

3.3 第3课时 二项式定理的综合应用 [课时检测] 1.(x2+2)展开式中的常数项是 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:选D　展开式的通项为Tk+1=(-1)k=(-1)k.令10-2k=2或10-2k=0，解得k=4或k=5.故(x2+2)·展开式中的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3. 2.(1-x)4(1-)3展开式中x2的系数是 (　　) A.-6 B.-3 C.0 D.3 解析:选A　(1-x)4展开式的通项为Tk+1=(-1)kxk，(1-)3展开式的通项为Tr+1=(-1)r，当k=0时，=2，即r=4>3，不符合题意;当k=1时，=1，即r=2，此时x2的系数为(-1)·(-1)2=-12;当k=2时，=0，即r=0，此时x2的系数为·(-1)2·1=6，所以x2的系数是-12+6=-6. 3.1.026的近似值为(精确到0.01) (　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 解析:选B　1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023+…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13. 4.(1+x)8(1+y)4展开式中x2y2的系数是 (　　) A.56 B.84 C.112 D.168 解析:选D　在(1+x)8展开式中含x2的项为x2=28x2，(1+y)4展开式中含y2的项为y2=6y2，所以x2y2的系数为28×6=168. 5.设n∈N+，则1n80+1n-181+1n-282+1n-383+…+118n-1+108n除以9的余数为 (　　) A.0 B.8 C.7 D.2 解析:选A　因为1n80+1n-181+1n-282+1n-383+…+118n-1+108n=(1+8)n=9n，所以除以9的余数为0. 6.[多选](1+x2)(2+x)4的展开式中 (　　) A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 解析:选AC　(1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2+x)4中x3的系数·2=8，另一部分是(2+x)4中x的系数·23=32，所以x3的系数是8+32=40;展开式中常数项只有(2+x)4展开式中的常数项，为24=16. 7.若(x2-a)展开式中x6的系数为30，则a等于 (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选D　展开式的通项是Tk+1=·x10-k·=·x10-2k，展开式中x4(当k=3时)，x6(当k=2时)的系数分别为.因为(x2-a)展开式中的x6由x2与展开式中的x4的乘积以及-a与展开式中的x6的乘积两部分构成，因此，由题意得-a=120-45a=30，解得a=2. 8.展开式中含x2项的系数为 (　　) A.-120 B.-115 C.5 D.125 解析:选B　法一　是5个之积，展开后得到x2有两种可能:1个取x2，4个取-1，得到含有x2的项为x2(-1)4=5x2.2个取x2，2个取-，1个取-1，得到含有x2的项为(x2)2(-1)1=-120x2. 因此含x2项的系数为-120+5=-115. 法二　=，二项展开得(-1)5-k(k=0，1，2，3，4，5). (-1)5-k二项展开得 (-1)5-k+r2rx2k-3r(0≤r≤k). 由2k-3r=2得3r=2(k-1)，或 因此含x2项的系数为 (-1)4×20+(-1)3×22=-115. 9.已知p:a=-1，q:4n+a(n∈N+，n>1)能被3整除，则p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 解析:选A　因为4n+a=(1+3)n+a=1+3+32+…+3n+a，所以当a=-1时，4n+a(n∈N+，n>1)能被3整除，即p⇒q. 又4n+a(n∈N+，n>1)能被3整除时，不一定有a=-1，也可能a取其他值，比如a=2，即qp，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 10.(5分)已知(1+ax)3+(1-x)5展开式中x3的系数为-2，则a=　　　.  解析:(1+ax)3+(1-x)5展开式中x3的系数为a3+(-1)3=a3-10=-2，则a3=8，解得a=2. 答案:2 11.(5分)若二项式(1-2x)4的展开式中x3项的系数是-70，则实数a的值为　　　　.  解析:因为(1-2x)4=2×(1-2x)4-(1-2x)4，(1-2x)4的展开式的通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk，k=0，1，2，3，4，所以2×(1-2x)4展开式中x3项的系数是2×(-2)3=-64，(1-2x)4展开式中x3项的系数是×(-2)2=，所以-64-=-70，解得a=4. 答案:4 12.(5分)已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m，n∈N+)展开式中含x项的系数为36，则展开式中含x2项的系数的最小值为　　　　.  解析:∵(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为·2x+·4x=(2+4)x， ∴2+4=36，即m+2n=18. 又(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2项的系数为t=22+42=2m2-2m+8n2-8n， ∵m+2n=18，∴m=18-2n， ∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n =16n2-148n+612=16， ∴当n=时，t取最小值，但n∈N+， ∴当n=5时，也满足m∈N+， 此时，x2项的系数最小，最小值为272. 答案:272 13.(10分)用二项式定理证明1110-1能被100整除. 证明:因为1110-1=(10+1)10-1 =1010+109+108+…+10+-1 =1010+109+108+…+102 =100(108+107+106+…+1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110-1能被100整除. 14.(10分)求(+3x2)5的展开式中系数最大的项. 解:设展开式中第(k+1)项的系数最大， 又Tk+1=()5-k(3x2)k=3k， 则⇒ ⇒≤k≤. 又因为1≤k≤4，k∈N，所以k=4， 所以展开式中第5项系数最大， T5=34=405. 学科网（北京）股份有限公司 $