3.3 二项式定理与杨辉三角（讲义）数学人教B版高二选择性必修第二册

第三章 排列、组合与二项式定理 3.3　二项式定理与杨辉三角 课标要点 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 学习重难点 重点： 二项式定理的内容及其应用． 难点： 二项展开式的规律的理解和掌握． 知识点 二项式定理及其相关概念 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n是正整数，k是满足0≤k≤n的自然数)称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中Can－kbk是展开式中的第k＋1项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的二项式系数，我们将Tk＋1＝Can－kbk称为二项展开式的通项公式． 随学随练 1．（26-27高三上·河北唐山·阶段检测）已知，那么的展开式中的系数为（    ） A．120 B． C．192 D． 2．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．240 D．320 知识点二项式系数的性质 (1)2n＝C＋C＋…＋C＋…＋C＋C. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…． 随学随练 1．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，若，则m的取值为（   ） A．2 B．1 C．-4 D．2或-4 2．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 知识点杨辉三角 把n＝0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成如下数表的形式： 杨辉三角至少具有以下性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1． (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． (3)当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 随学随练 1．（26-27高一上·四川绵阳·开学考试）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 2．（25-26高二下·广东东莞·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是（    ）    A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 题型二项式定理的正用与逆用 ▌例1 （25-26高二下·浙江舟山·期末）已知表示不超过的最大整数，则的值为（    ） （参考数据） A．1649 B．1725 C．1744 D．1745 ▌对点练1-1．（（2026·山东德州·三模）若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 题型求二项展开式中的特定项 ▌例1（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）的展开式的第项的二项式系数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（26-27高三上·河北·阶段检测）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 题型求几个多项式和或积的特定项的系数 ▌例1（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）的展开式中的常数项为______. ▌对点练1-1（26-27高三上·山东济南·阶段检测）的展开式中的系数是_______（用数字作答）． 题型二项展开式的系数问题 ▌例1（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为__________． ▌对点练1-1（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）的展开式中的系数为，则（    ） A． B．第项是 C．二项式系数最大为 D．各项系数之和等于 基础通关 1．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）在的展开式中，所有项的系数和为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·重庆·开学考试）在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知的展开式的各项系数之和为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）若，则实数（     ） A． B．或 C． D．或 6．（25-26高二下·广东潮州·期末）展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（     ） A．； B．； C．； D．； 7．（25-26高二下·河南郑州·期末）若，则的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．（25-26高二下·河南洛阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·四川资阳·期末）在的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 10．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 素养提升 11．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知的展开式中的系数为80，则实数（   ） A． B． C．2 D．-2 12．（26-27高三上·浙江·阶段检测）在的展开式中，第5项的系数为（    ） A．15 B．6 C．240 D．192 13．（26-27高三上·云南·阶段检测）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．56 C． D．70 14．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）展开式中的系数为（      ） A． B． C． D． 15．多选题（2026·福建泉州·一模）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 16．多选题（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知二项式，则下列结论正确的有（     ） A．展开式中项系数为36 B．展开式中二项式系数的和为512 C．展开式中二项式系数最大项为第四项和第五项 D．展开式中所有二项式系数的第一四分位数为36 迁移创新 17．多选题（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知（），则（    ） A． B．展开式中二项式系数的和为 C． D．展开式中系数最大的项是第项 18．多选题（25-26高二下·陕西西安·期末）下列选项正确的是（     ） A． B． C．二项式的展开式中各项系数之和为 D．四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 三、填空题 19．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 20．（2027·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为________． 21．（25-26高二下·广东湛江·期中）在的展开式中，的系数为___________ 22．（25-26高二下·广东深圳·期末）的展开式中的系数为______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 排列、组合与二项式定理 3.3　二项式定理与杨辉三角 课标要点 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 学习重难点 重点： 二项式定理的内容及其应用． 难点： 二项展开式的规律的理解和掌握． 知识点 二项式定理及其相关概念 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n是正整数，k是满足0≤k≤n的自然数)称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中Can－kbk是展开式中的第k＋1项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的二项式系数，我们将Tk＋1＝Can－kbk称为二项展开式的通项公式． 随学随练 1．（26-27高三上·河北唐山·阶段检测）已知，那么的展开式中的系数为（    ） A．120 B． C．192 D． 【答案】D 【分析】先利用组合数性质求解n的值，再根据二项展开式的通项公式计算的系数. 【详解】 根据组合数性质，可得， 因此： 整理得，解得（舍去，组合数下标为正整数）. 二项式的展开式通项为： , 化简的指数：，令，解得. 将代入系数部分： 即的系数为. 2．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．240 D．320 【答案】C 【详解】展开式的通项为，， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 知识点二项式系数的性质 (1)2n＝C＋C＋…＋C＋…＋C＋C. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…． 随学随练 1．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，若，则m的取值为（   ） A．2 B．1 C．-4 D．2或-4 【答案】D 【分析】令，得出和的关系，求出后列出方程求解即可. 【详解】令，则， 其中是的系数，， 所以由题可知， 所以， 所以或， 所以m的取值为2或-4. 2．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，即， 令，则， 令，则， 将与相加， 得，解得. 知识点杨辉三角 把n＝0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成如下数表的形式： 杨辉三角至少具有以下性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1． (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． (3)当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 随学随练 1．（26-27高一上·四川绵阳·开学考试）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】C 【分析】由规律可知的展开式所有项的系数之和为，代入指数求解即可. 【详解】观察杨辉三角的规律可得： 的系数和为 的系数和为 的系数和为 以此类推，可得的展开式所有项的系数之和为， 代入，可得系数和为. 2．（25-26高二下·广东东莞·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是（    ）    A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 【答案】D 【分析】利用杨辉三角的性质，结合二项式系数的对称性、最大值规律及组合数运算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，第行共有个数，即， 因为为偶数，所以中间一项最大，即第个数最大，故A错误； 对于B，第行中从左往右第个数为，第个数为， 由组合数性质可知，故B错误； 对于C，因为， 所以 ，故C错误； 对于D，第行中第个数为，第个数为， 它们的比值为，故D正确. 题型二项式定理的正用与逆用 ▌例1 （25-26高二下·浙江舟山·期末）已知表示不超过的最大整数，则的值为（    ） （参考数据） A．1649 B．1725 C．1744 D．1745 【答案】C 【分析】根据二项式定理及的定义求解即可. 【详解】 ， 所以. ▌对点练1-1．（（2026·山东德州·三模）若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据二项式定理，的展开式为：. 当为偶数时，，项为有理数，构成：； 当为奇数时，，项为乘以有理数，构成：，所以. 则. 题型求二项展开式中的特定项 ▌例1（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）的展开式的第项的二项式系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的展开式的第项的二项式系数为． ▌对点练1-1（26-27高三上·河北·阶段检测）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由二项式定理得通项公式为， 令，解得，得到 故展开式中常数项为. 题型求几个多项式和或积的特定项的系数 ▌例1（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）的展开式中的常数项为______. 【答案】 【详解】因为， 二项式的展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 故的展开式中的常数项为. ▌对点练1-1（26-27高三上·山东济南·阶段检测）的展开式中的系数是_______（用数字作答）． 【答案】20 【分析】先得到的展开式通项公式，从而确定的展开式中的系数 【详解】的展开式通项公式为， 令得，故， 令得，故， 所以的展开式中含的项为， 故的展开式中的系数为20. 题型二项展开式的系数问题 ▌例1（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为__________． 【答案】 【详解】令，则，即为各项系数之和， 又因为各项系数之和为16， 所以，解得， 由二项式定理可得，其展开式的通项公式为， 要求项的系数，所以，系数为. ▌对点练1-1（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）的展开式中的系数为，则（    ） A． B．第项是 C．二项式系数最大为 D．各项系数之和等于 【答案】BC 【分析】对于A，B利用二项展开式的通项公式即可；对于C利用二项式的基本性质即可；对于D，令即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项为（）. 由的系数为得，解得或（舍去）. 对于选项A，求得，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，为偶数，二项式系数最大值为中间项的二项式系数，故C正确； 对于选项D，令得各项系数之和为，故D错误. 基础通关 1．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，取，得， 取，得， 所以. 2．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）在的展开式中，所有项的系数和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得， 所以二项式展开式中所有项的系数和为1. 3．（26-27高三上·重庆·开学考试）在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，所以, 在中，令得， 即展开式的各项系数之和为1. 4．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知的展开式的各项系数之和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接通过赋值求二项式展开式的各项系数之和可得. 【详解】在二项式的展开式中，令可得展开式的各项系数之和为， 因此有，解得. 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）若，则实数（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为，且， 所以令，得，. 所以， 解得或 6．（25-26高二下·广东潮州·期末）展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（     ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【详解】展开式中所有项的二项式系数之和是， 令，所以所有项的系数之和是. 7．（25-26高二下·河南郑州·期末）若，则的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用赋值法直接计算即可. 【详解】令，则， 令，则， 所以 8．（25-26高二下·河南洛阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令可得， 令可得，， 令可得，， 所以，所以. 9．（25-26高二下·四川资阳·期末）在的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】A 【详解】令，则，因此在的展开式中，各项系数的和等于16. 10．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得二项式的展开式通项为， 令，解得，∴ 展开式中的系数为. 素养提升 9．（25-26高二下·四川资阳·期末）在的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】A 【详解】令，则，因此在的展开式中，各项系数的和等于16. 10．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得二项式的展开式通项为， 令，解得，∴ 展开式中的系数为. 11．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知的展开式中的系数为80，则实数（   ） A． B． C．2 D．-2 【答案】C 【详解】的展开式中的系数为，故． 12．（26-27高三上·浙江·阶段检测）在的展开式中，第5项的系数为（    ） A．15 B．6 C．240 D．192 【答案】C 【详解】展开式的通项为， 则第5项的系数为. 13．（26-27高三上·云南·阶段检测）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．56 C． D．70 【答案】A 【详解】在的展开式中，的项为，则的系数为． 14．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）展开式中的系数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 15．多选题（2026·福建泉州·一模）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令和求解判定；对于B，令和，再结合平方差公式求解判定；对于C，令，求导并令求解判断；对于D，由题知，，都大于0，，，都小于0，再令即可求解判断． 【详解】对于选项A，因为，令，可得， 令，，所以，故选项A不正确； 对于选项B，令，； 令，； 所以．故选项B正确； 对于选项C，令， 则． 再令，，故选项C错误； 对于选项D， 解法一：展开式的通项为，由通项可知：，所以都大于0，都小于0， ， 令，可得， 所以，故选项D正确． 解法二：令，由 得． 令可得，故选项D正确． 16．多选题（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知二项式，则下列结论正确的有（     ） A．展开式中项系数为36 B．展开式中二项式系数的和为512 C．展开式中二项式系数最大项为第四项和第五项 D．展开式中所有二项式系数的第一四分位数为36 【答案】AB 【详解】二项式展开式通项为， 则展开式中项系数为，故A正确； 展开式中二项式系数的和为，故B正确； 当或时，二项式系数最大， 故展开式中二项式系数最大项为第五项和第六项，故C错误； 将展开式的所有二项式系数从小到大排序为，共10个数据， 因为，故第一四分位数为第个数，即，故D错误. 迁移创新 17．多选题（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知（），则（    ） A． B．展开式中二项式系数的和为 C． D．展开式中系数最大的项是第项 【答案】AB 【分析】本题考查二项式定理的相关应用，结合通项公式、二项式系数性质、赋值法即可逐一判断选项. 【详解】选项A：的展开式通项为，当时，对应项系数，故A正确； 选项B：二项式系数和为，故B正确； 选项C：令，得；令，得， 两式相减得，即奇数项系数和为（时不成立），故C错误； 选项D：展开式共项，二项式系数最大的是中间第项，由于展开式系数均为正，故系数最大的项是第项，故D错误. 18．多选题（25-26高二下·陕西西安·期末）下列选项正确的是（     ） A． B． C．二项式的展开式中各项系数之和为 D．四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，A对； 对于B选项，由二项式系数的性质可知， 所以，B错； 对于C选项，二项式的展开式中各项系数之和为，C对； 对于D选项，四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻， 将甲乙捆绑，形成一个“大元素”，与其他两个人进行排序， 所以不同的站队方式种数为种，D对. 19．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 【答案】 【分析】由题意求出，从而得到展开式的通项公式，令，带入即可求出答案. 令，得，则常数项为. 【详解】由题意得，，得， 则的展开式通项为， 令，得，则常数项为. 20．（2027·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为________． 【答案】40 【详解】在中，由二项式的展开式的通项公式可得， 所以展开式含的系数为， 乘以之后，得的系数为． 21．（25-26高二下·广东湛江·期中）在的展开式中，的系数为___________ 【答案】 【详解】由二项式定理得展开式的通项为，，， ， 所以的通项公式为， 即， 分别令，，解得，. 所以的系数为. 22．（25-26高二下·广东深圳·期末）的展开式中的系数为______． 【答案】 【分析】先求出二项式展开式的通项，再根据多项式乘法规则，分别计算两类能得到一次项的系数，求和即可. 【详解】首先写出二项式的展开式通项， 要得到展开式中的一次项，分两种情况计算： 第一个因式取常数项，第二个因式取的一次项，令，得， 对应系数为， 第一个因式取一次项，第二个因式取常数项，令，得， 对应系数为， 将两类系数相加，得的系数为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $