第三章 重点题型强化（一）排列的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

知识层面 1.掌握几种有限制条件的排列．　2.能用排列数公式解决简单的实际问题. 素养层面 通过几种有限制条件的排列的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算素养. 题型一　“在”与“不在”问题 例1　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：(1)方法一：把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法． 方法二：把位置作为研究对象． 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法． 方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种， 所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)． (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法． (3)总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法． [变式探究] 　(变结论)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)排法． 学生用书↓第14页 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先，一般从以下三种思路考虑： 1．以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素． 2．以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置． 3．用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数． 对点练1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． 解：(1)第一步，排个位，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法． 故共有AAA＝288个六位奇数． (2)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有AAA个， 故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504个． (3)分三种情况， ①当千位上排1，3时，有AAA个； ②当千位上排2时，有AA个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有A个； 形如41××的有AA个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个． 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 例2　某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序．(结果用数字作答) (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ 解：(1)先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有A种情况， 再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有A种情况， 所以有A·A＝576(种)不同的出场顺序． (2)先将4首歌曲排好，有A种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中， 有A种情况，所以有A·A＝1 440(种)不同的出场顺序． “相邻与不相邻”问题处理策略 1．处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． 2．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 对点练2.(1)现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为(　　) A．AA B．A－AA C．AA D．A－A (2)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是________． 答案：(1)B　(2)144 解析：(1)7个人全排列减去3个女生全部相邻的情形，即A－AA.故选B． (2)由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有A种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A种，由于是分步进行，所以共有A·A·A＝144种． 学生用书↓第15页 题型三　定序问题 例3　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 解：方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有＝20种． 方法二(插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端)．第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空档(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法． 方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故共有A×1＝20种方法． 在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题．解决这类问题的基本方法有三个： 1．倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即. 2．插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素逐个地插空，其排列数为1×(m＋1)×(m＋2)×…×n＝A. 3．空位法：先把n－m个元素排n个位置有A种排法，再把剩下的m个位置排m个元素，只有一种排法，故排列数为A×1＝A. 对点练3.(1)某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　) A．2 B．11 C．36 D．42 (2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________． 答案：(1)D　(2)120 解析：(1)将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，共有6×7＝42种方法．故选D． (2)6个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的3项工程有A种排法，再排甲、乙、丙有1种排法，所以一共有A×1＝120种排法． 1．工作人员计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式的种数为(　　) A．A·A B．A·A·A C．A·A·A D．A·A·A 答案：D 解析：3种画看作3个不同元素，因为水彩画不放在两端，故有A种排列，每种内部排列有AAA种，由分步乘法计数原理得有AAA种．故选D． 2．一台节目中有独唱节目5个，现有3个舞蹈节目要插入，且每个舞蹈节目必须排在两个独唱节目之间，则节目单的排法种数是(　　) A．A·A B．A·A C．A·A D．A·A 答案：C 解析：5个独唱节目之间有4个间隔，从中选出3个排入舞蹈节目，即为AA.故选C． 3．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 答案：210 解析：若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件． 4．杭州亚运会期间，中国乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种． 答案：252 解析：出场安排可分两步：第一步：安排三名主力队员有A种；第二步：安排另2名队员有A种．根据分步乘法计数原理，共有A·A＝252种不同的出场安排． 学科网（北京）股份有限公司 $