专题3.4 二项式定理与杨辉三角八大题型（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题3.4 二项式定理与杨辉三角 教学目标 （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 教学重难点 1.重点 （1）二项式定理； （2）二项展开式的通项； （3）二项式系数。 2.难点 （1）系数最大项与二项式系数的最大项； （2）二项展开式中的对称性、增减性与最值问题。 知识点01 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有： ， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： ， 其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做 ， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为 ，最大二项式系数项 ； ③次数：各项的次数都等于 ．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 知识点02 二项式展开式的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数 最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数 ， 相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有 ，从而解出来． 知识点03 二项式展开式中的系数和有关问题 （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 题型一：求二项展开式 【典例1】.（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【变式1】.已知二项式的展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】.（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【变式3】.在二项式的展开式中，常数项是第 项． 题型二：求含有参数的二项展开式 【典例2】.（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】.（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）展开式中的常数项为160，则实数 ． 【变式2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）在展开式中的系数为20，则实数的值为 ． 【变式3】.（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【典例3】.（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【变式1】.（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．14 C． D．9 【变式2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）展开式中含项的系数为 ． 【变式3】.（2025·浙江丽水·一模）展开式中的常数项是 ． 题型四：求二项式系数与项的系数的最值 【典例1】.（2025·江苏宿迁·三模）（多选题）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共8项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【变式1】.（24-25高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 【变式2】.（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示） 【变式3】.（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 【典例5】.（25-26高三上·河北·开学考试）（多选题）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【变式1】.（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（    ） A． B． C．15 D．20 【变式2】.（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为 【变式3】.（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为 ． 题型六：杨辉三角 【典例6】.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第行的各数之和比上一行各数之和大64，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】.（2024高二下·全国·专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【变式2】.（2025高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是 ． 【变式3】.（24-25高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 题型七：二项式定理与数列求和 【典例7】.已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）. （1）求数列的通项； （2）求数列前项和； （3）若，求. 【变式1】.已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； （3）若，求证：． 题型八：排列组合综合 【典例8】.（25-26高三上·辽宁丹东·阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（   ） A．192种 B．288种 C．144种 D．96种 【变式1】.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（    ） A． B． C． D． 【变式2】.现有个小球和个小盒子，下面的结论正确的是 . ①若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），则共有种放法； ②若个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有种； ③若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有种； ④若编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有种. 【变式3】.冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答） 一、单选题 1．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）在的展开式中，的系数为40，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·阶段练习）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 5．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 7．（24-25高二下·广东汕头·期中）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（   ） A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64 C．有理项共有3项 D．常数项为第五项 8．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 9．在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 10．（25-26高三上·河北·开学考试）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 13．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：    若在的展开式中，的系数为75，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 14．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（    ） A．432种 B．240种 C．192种 D．96种 15．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 二、多选题 16．（24-25高二下·贵州安顺·期末）（多选题）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（   ） A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为 C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项 17．（24-25高二下·内蒙古·期末）（多选题）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 18．（24-25高二下·河北保定·期末）（多选题）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 19．（24-25高二下·山西·期末）（多选题）已知，则（   ） A． B．在中的最大值为 C． D． 三、填空题 20．展开： ． 21．（24-25高二下·天津和平·期末）已知二项式的展开式中，的系数为28，则的系数为 . 22．（25-26高三上·全国·阶段练习）在展开式中，的系数为 ． 23．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）的展开式中项的系数是 ． 24．（24-25高二下·贵州毕节·期末）的展开式的第7项的二项式系数是 . 25．（24-25高二下·山西·阶段练习）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是 ． 26．（24-25高二下·北京·阶段练习）的展开式有7项，则 ；二项式系数最大的项为 . 27．已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是 . 28．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则 ； . 29．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知，则 ． 30．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 . 四、解答题 31．已知，函数. （1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和； （2）当时， ①求函数展开式中的常数项； ②证明：. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 二项式定理与杨辉三角 教学目标 （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 教学重难点 1.重点 （1）二项式定理； （2）二项展开式的通项； （3）二项式系数。 2.难点 （1）系数最大项与二项式系数的最大项； （2）二项展开式中的对称性、增减性与最值问题。 知识点01 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 知识点02 二项式展开式的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点03 二项式展开式中的系数和有关问题 （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 题型一：求二项展开式 【典例1】.（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项 【分析】求出通项，找到常数项即可. 【详解】的通项公式为， 常数项时，则， 所以常数项为， 故选：D. 【变式1】.已知二项式的展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用 【分析】应用二项展开式的通项求解可得. 【详解】的展开式的通项公式 . 令，解得， 可得， 即的系数为. 故选：A. 【变式2】.（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 【变式3】.在二项式的展开式中，常数项是第 项． 【答案】11 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式、求二项展开式的第k项 【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可. 【详解】的通项公式为， 常数项时，则， 所以常数项是第11项， 故答案为：11 题型二：求含有参数的二项展开式 【典例2】.（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值. 【详解】二项式的展开式的通项为, 令，解得， 所以，解得 故选：D. 【变式1】.（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）展开式中的常数项为160，则实数 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式的通项公式结合常数项计算求参数. 【详解】由题意知， 则，即， 故即． 故答案为：1. 【变式2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）在展开式中的系数为20，则实数的值为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】写出二项式的展开式通项，结合指定项系数求参数值即可. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 令，得，故，可得. 故答案为：4. 【变式3】.（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【典例3】.（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】将变形成，利用二项式定理，可得项的系数. 【详解】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 【变式1】.（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．14 C． D．9 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先确定二项式展开式的通项，再根据分配律运算得的系数即可. 【详解】因为中二项式展开式的通项为， 所以的展开式中，的系数是． 故选：A． 【变式2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】确定展开式中对应的各项指数组合，即可列出该项得解. 【详解】展开式中含项的为，则其系数为. 故答案为：. 【变式3】.（2025·浙江丽水·一模）展开式中的常数项是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 题型四：求二项式系数与项的系数的最值 【典例1】.（2025·江苏宿迁·三模）（多选题）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共8项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确. 【详解】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确； 对于B，设展开式中的第项为, 令，解得； 因此含项的系数为，所以B错误； 对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确； 对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确. 故选：ACD 【变式1】.（24-25高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 【答案】54 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数 【分析】根据展开式中第二项与第四项的二项式系数相等求出，再根据二项式的展开式通项公式求出常数项. 【详解】的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为和， 所以，根据组合数的性质可得. 对于，易得展开式的通项为，， 令，得， 所以常数项为. 故答案为：54. 【变式2】.（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示） 【答案】20412 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 【变式3】.（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 【典例5】.（25-26高三上·河北·开学考试）（多选题）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和 【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误. 【详解】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； B选项，中，令得，B正确； C选项，中，令得 ①， 令得②， 两式①+②得， 即，C正确； D选项，， 由二项式定理得， 故，， 令得，D错误. 故选：ABC 【变式1】.（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（    ） A． B． C．15 D．20 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解. 【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为 令 ，所以展开式中的常数项为． 故选：A. 【变式2】.（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的二项式系数和为64，则，解得， 所以二项式系数最大值为. 故答案为：20. 【变式3】.（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为 ． 【答案】135 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】根据给定条件，利用赋值法求得指数，再利用二项式展开式的通项计算求解. 【详解】依题意，，解得， 故二项式的展开式的通项为：， 当时，可得该展开式中的系数为. 故答案为：. 题型六：杨辉三角 【典例6】.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第行的各数之和比上一行各数之和大64，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角、二项式的系数和 【分析】合理归纳，得到规律，建立方程求解即可. 【详解】易知第一行的各数和为，第二行为，第三行为， 第四行为，第五行为，归纳得第行的各数之和为， 第行的各数之和为，而第行的各数之和比上一行各数之和大64， 故有，解得，故B正确. 故选：B 【变式1】.（2024高二下·全国·专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】杨辉三角 【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出. 【详解】当时，第斜列各项之和为 ， 同理，第斜列各项之和为，所以， 所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则. 故选：C． 【变式2】.（2025高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是 ． 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】杨辉三角 【分析】根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果. 【详解】由图分析，第0行的数为1，第1行的数为， 第2行的数为， 第3行的数为…… 因此，第n行第m个数为，所以第9行第8个数是. 故答案为： 【变式3】.（24-25高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角 【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值. 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 题型七：二项式定理与数列求和 【典例7】.已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）. （1）求数列的通项； （2）求数列前项和； （3）若，求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【难度】0.65 【知识点】二项式定理与数列求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、求二项展开式的第k项 【分析】（1）利用二项式定理求得的展开式的第二项，可求得数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得； （2）分和两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得； （3）分和两种情况讨论，利用二项式定理可求得的表达式. 【详解】（1）的展开式的第二项为， 所以，数列的公比为，则； （2）当时，则，； 当时，. 综上所述，； （3）当时，，， 此时，； 当时，， 此时，. 综上所述，. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中等题. 【变式1】.已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； （3）若，求证：． 【答案】（1）（2）1792（3）见解析 【难度】0.4 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式定理与数列求和、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）令和，两式相加即得解； （2）先求出，设为中的最大值，则解不等式组即得解； （3）先得到，再利用二项式定理证明. 【详解】（1），时， ， 令得， 令得， 两式相加可得． （2）， ． 不妨设为中的最大值，则或6， 中最大值为． （3）若，， ． 因为， 所以． ． 故得证. 【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数和差，求展开式系数的最大值，考查组合数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 题型八：排列组合综合 【典例8】.（25-26高三上·辽宁丹东·阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（   ） A．192种 B．288种 C．144种 D．96种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用捆绑法和插空法进行求解． 【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有种排法； 第二步：将2名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的2名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法． ∴不同的排法种数有：种． 故选：D 【变式1】.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解. 【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有种排法， 将剩余的11名队员全排列共有， 由分步乘法计数原理可得总的站法有， 故选:B. 【变式2】.现有个小球和个小盒子，下面的结论正确的是 . ①若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），则共有种放法； ②若个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有种； ③若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有种； ④若编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有种. 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的计数问题、排列组合综合、分组分配问题 【分析】由分步乘法计数原理可判断①的正误；由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断②的正误；由分步乘法、排列、组合知识可判断③的正误；利用枚举法可判断④的正误. 【详解】对于①，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），每个小球有种放法，共有种不同的放法，①错误； 对于②，将个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒， 则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放个小球， 此时，共有种不同的放法，②正确； 对于③，将个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒， 则两个盒子各放个小球，另一个盒子放个小球，此时，共有种放法，③正确； 对于④，将编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法为：、、、、、、、、，共种，④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 【变式3】.冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答） 【答案】1560 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据题意可知有两个人各分得2个、两个人各分得1个和有一个人分得3个、其余三人各分得1个两种情况，结合平均分配的思想方法与分步乘法计数原理即可求出结果. 【详解】根据题意，有两种情况： 一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案； 二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案． 综上，不同的分配方案共有种． 一、单选题 1．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二项展开式的应用 【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）在的展开式中，的系数为40，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据二项展开式通式得，再令，解出后即可得到方程，解出即可. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，所以的系数为，解得． 故选：C. 3．（25-26高三上·广东·阶段练习）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三项展开式的系数问题、分类加法计数原理 【分析】利用多项式乘多项式的规则及分类计数原理即可求解. 【详解】因为， 要想得到常数项，则有两种可能性： （1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为； （2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为. 根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为. 故选：B 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【详解】易得展开式通项公式为， 令可得的系数为，令可得的系数为， 故原展开式中的系数为. 故选：A. 5．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数、求指定项的二项式系数 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 6．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式式系数为. 故选：B. 7．（24-25高二下·广东汕头·期中）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（   ） A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64 C．有理项共有3项 D．常数项为第五项 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数、二项式的系数和、求指定项的二项式系数 【分析】结合二项展开式的通项公式可判断ACD的真假，利用二项式系数的性质可判断B的真假. 【详解】设展开式的第项为， 则：. 所以的二项式系数为，故A正确； 由为整数，可得的值可以为，故展开式中有理项为4项，故C错误； 由，所以为常数项，故D正确； 对B：根据二项式系数的性质可得：所有项的二项式系数之和为，故B正确. 故选：C 8．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的二项式系数 【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 9．在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B 10．（25-26高三上·河北·开学考试）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可. 【详解】由题可知，解得， 则二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A. 11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 12．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 13．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：    若在的展开式中，的系数为75，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、杨辉三角、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】阅读题意，结合广义杨辉三角形和二项式定理求解即可. 【详解】依题意， “广义杨辉三角形”构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和， 所以“广义杨辉三角形”的第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 在的展开式中，的系数为45，的系数为30， 的展开式中，的系数为，解得. 故选：A 14．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（    ） A．432种 B．240种 C．192种 D．96种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、不相邻排列问题 【分析】利用排列组合知识进行求解即可 【详解】根据题意，在“射”与“数”之间间隔一艺，先将“射”与“数”进行全排列， 从剩余的4艺中选择1个放在“射”与“数”中间，再将这三艺看做一个整体和剩余的3个元素进行全排列，这样的排课方法数为： 有种排课方法. 故选：C. 15．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：种方式. 故选:B 二、多选题 16．（24-25高二下·贵州安顺·期末）（多选题）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（   ） A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为 C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】令，即可求得各项系数之和，由此解方程得到的值.对于A，利用二项式系数之和的公式求解即可；对于B，写出该二项式展开式的通项，令的指数为求解即可；对于C，利用奇数项的二项式系数之和的公式求解即可；对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项. 【详解】因为的展开式中各项系数之和为，所以令，，即，解得. 对于A，各项的二项式系数之和为，故选项A正确； 对于B，的展开式的通项为，令，解得，，故含的项的系数为，选项B正确； 对于C，奇数项的二项式系数之和为，故选项C正确； 对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项，时，中间项是第项，故二项式系数最大项为第项，选项D错误. 故选：ABC. 17．（24-25高二下·内蒙古·期末）（多选题）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值、求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 18．（24-25高二下·河北保定·期末）（多选题）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 19．（24-25高二下·山西·期末）（多选题）已知，则（   ） A． B．在中的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和 【分析】将二项式化为并写出其展开式通项，进而根据各选项的分别求、确定中的最大值；用赋值法，令可求的值；将目标式去绝对值符号，应用赋值法令，即可求的值. 【详解】由，得展开式通项为. 对于A，，故A错误； 对于B，均为负数，，，，，所以在中最大，故B正确； 对于C，令，得，又，所以.故C正确； 对于D，因为均为负数，其余的均为正数， 所以， 令，得.， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 20．展开： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可. 【详解】由二项展开式可得， . 故答案为： 21．（24-25高二下·天津和平·期末）已知二项式的展开式中，的系数为28，则的系数为 . 【答案】70 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数 【分析】根据二项式的展开式的通项公式先求出，进而求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， ，， 令，得， 由于的系数为28，则，解得， 则，， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：70. 22．（25-26高三上·全国·阶段练习）在展开式中，的系数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理的原理可求解. 【详解】表示4个相乘，要想得到，需要从4个因式中，3个选择项，1个选择常数项， 所以的系数为：. 故答案为： 23．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）的展开式中项的系数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据题意，先求得展开式的通项，结合多项式的运算法则，求得的展开式中项，进而得到答案. 【详解】由二项式展开式的通项为， 则的展开式中项为 所以的展开式中项的系数为. 故答案为：. 24．（24-25高二下·贵州毕节·期末）的展开式的第7项的二项式系数是 . 【答案】7 【难度】0.94 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式定理的性质计算. 【详解】由题可知：第7项的二项式系数是. 故答案为：7 25．（24-25高二下·山西·阶段练习）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是 ． 【答案】20 【难度】0.94 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项展开式的通项公式，写出二项式系数计算即得. 【详解】在的二项展开式中，第4项的二项式系数为． 故答案为：20. 26．（24-25高二下·北京·阶段练习）的展开式有7项，则 ；二项式系数最大的项为 . 【答案】 6 【难度】0.85 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】由二项展开式的性质求解. 【详解】因为的展开式有7项，所以； 则二项式系数最大的项为第四项， 所以， 故答案为：6， 27．已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数 【分析】先写出展开式的通项，利用展开式中第二项与第四项的系数相同求出的值，再根据系数列不等式组求解即可. 【详解】二项式的展开式的第项为 ，， 由题意可得，结合解得， 所以展开式系数为，， 设第项系数最大，则， 即， 即， 解得， 因为，所以，所以第项系数最大，该项为. 故答案为： 28．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则 ； . 【答案】 1 15 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】由题意令， 令，则， 所以，在此式中令得， 所以， 故答案为：1；15. 29．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】令，则，即， 令，则，即， 故. 故答案为：. 30．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角、求指定项的二项式系数 【分析】利用二项式系数表示第30行第12和第13个数，再根据组合数公式，即可求解. 【详解】第30行中第12个数与第13个数之比为 . 故答案为： 四、解答题 31．已知，函数. （1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和； （2）当时， ①求函数展开式中的常数项； ②证明：. 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】二项式定理与数列求和、二项展开式各项的系数和、证明组合恒等式 【分析】（1）先写出的表达式，结合二项式定理进行求解； （2）①把代入，写出的表达式，求出常数项即可； ②先利用错位相减法求解数列的和，结合同一项的系数相等可得等式成立. 【详解】（1）当时， ； 所以展开式中含的一次项系数之和为 . （2）①当时， ； 所以展开式中的常数项为. ②因为分别是二项式 的展开式中含的系数， 所以原恒等式左边就是多项式中含的系数， 设， 则 两式相减得 且时， 整理得； 上式中含有的系数为； 比较系数可得. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $