专题03 抽象函数问题（高效培优专项训练）（7大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题03 抽象函数问题 题型一：赋值求值 题型二：“一次函数”模型 题型三：“二次函数”模型 题型四：“对数函数”模型 题型五：“指数函数”模型 题型六：“幂函数”模型 题型七：抽象函数的综合 题型一：赋值求值 1．（2026·高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足则等于 A． B． C． D． 3．（2026·高一·四川成都·阶段检测）设函数满足且对任意都有，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·四川成都·阶段检测）设函数满足，且对任意、都有，则（    ） A． B． C． D． 题型二：“一次函数”模型 5．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 7．（2026·高一·浙江·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高三·湖南·阶段检测）已知满足，且，则的值为（    ） A．6072 B．6075 C．6078 D．6069 题型三：“二次函数”模型 9．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·高二·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 11．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 12．（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 题型四：“对数函数”模型 13．（2026·高一·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2026·高一·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 15．（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数满足对于任意非零实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·高一·河南洛阳·期中）定义在R上的函数满足，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 题型五：“指数函数”模型 17．（多选题）（2026·高一·吉林·期中）已知函数（）满足当时，，且对任意实数，满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数为非奇非偶函数 D． 18．（多选题）（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，则（　　） A． B．，使得 C．，都有 D．在上单调递减 19．（多选题）（2026·高三·江苏南通·开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若对任意的实数，，则是单调增函数 20．（多选题）（2026·高一·山西太原·期中）已知函数对于一切实数、都有，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 题型六：“幂函数”模型 21．（2026·高一·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 22．（2026·高一·河北·阶段检测）已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 23．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)若，求实数a的取值范围. 24．（2026·高一·河南信阳·阶段检测）已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且. (1)求证：； (2)证明：在上为减函数； (3)若，求实数的值. 题型七：抽象函数的综合 25．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 26．（2026·高一·湖南长沙·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，. (1)若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. (2)求，函数的函数表达式. (3)若存在，使得，求的最小值. 27．（2026·高一·广东广州·期末）已知定义在上的函数满足：①；②，均有.已知函数，且. (1)求，以及函数和的解析式； (2)若， （ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （ⅱ）已知，且，证明：. 28．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且. (1)求函数的表达式； (2)若任意实数，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 抽象函数问题 题型一：赋值求值 题型二：“一次函数”模型 题型三：“二次函数”模型 题型四：“对数函数”模型 题型五：“指数函数”模型 题型六：“幂函数”模型 题型七：抽象函数的综合 题型一：赋值求值 1．（2026·高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得， 因为，所以， 则. 2．定义在上的函数满足则等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令ｘ＝ｙ＝１，得，得， 令ｘ＝２，ｙ＝－１，得，得， ，选A 3．（2026·高一·四川成都·阶段检测）设函数满足且对任意都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令得（1）， 故选：． 4．（2026·高一·四川成都·阶段检测）设函数满足，且对任意、都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意、都有，且， 令，得， 令，可得， 所以， 则， ， ， ...... ， 等式两边同时相加，得，即， 故选：A. 题型二：“一次函数”模型 5．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【答案】D 【解析】由x、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 . 由 得 . 对正整数 ，由 逐次递推，得 . 所以 ，从而 . 7．（2026·高一·浙江·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以. 故选：D. 8．（2026·高三·湖南·阶段检测）已知满足，且，则的值为（    ） A．6072 B．6075 C．6078 D．6069 【答案】A 【解析】因为，且， 令，则，解得， 令，，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故选：A. 题型三：“二次函数”模型 9．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 10．（2026·高二·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【解析】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且， 所以． 11．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 【答案】C 【解析】中，令得， ， 故， 故， 其中，① ，② ，③ ……， ， 上面99个式子相加得， ， 令得， 中，令得， 故. 故选：C 12．（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【解析】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 题型四：“对数函数”模型 13．（2026·高一·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 14．（2026·高一·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【解析】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 15．（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数满足对于任意非零实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得：，解得：， 令，得：，解得：， 令，得：，解得：， 令得：，解得：， 令，得：，解得：， 故选：B 16．（2026·高一·河南洛阳·期中）定义在R上的函数满足，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】，， ，. 故选：B 题型五：“指数函数”模型 17．（多选题）（2026·高一·吉林·期中）已知函数（）满足当时，，且对任意实数，满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数为非奇非偶函数 D． 【答案】BC 【解析】A中，令，，由知，， 因为当时，，所以，所以，A错误； B中，当时，，所以，即：， 设且，则，所以， 所以， 即，所以在上单调递增，B正确； 由B知，在上单调递增，且，所以函数为非奇非偶函数，C正确； D中， ，同理，， 所以， 而， 所以， 即：，D错误. 故选：BC 18．（多选题）（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，则（　　） A． B．，使得 C．，都有 D．在上单调递减 【答案】ACD 【解析】由题意，对任意的，都有， 令，得， 又，所以，则，故A正确； 当时，，所以， 又，所以，则， 所以，都有，故B错误； 因为，所以， 令，则， 所以，故C正确； 设，则， 由B知，当时，，，都有， 因为，所以，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确． 故选：ACD． 19．（多选题）（2026·高三·江苏南通·开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若对任意的实数，，则是单调增函数 【答案】BCD 【解析】时，，∴或，A错. 取，，B对. ，由B知：所以，C对. 由可知：当时，，此时，∴， 故对任意的有，所以不存在使，故对，， 当时，，故， ∴在上单调递增，D对. 故选：BCD. 20．（多选题）（2026·高一·山西太原·期中）已知函数对于一切实数、都有，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 【答案】AD 【解析】对于A，令，，则， 由时，得，，故A正确； 对于B，，则，故B错误． 对于C，设，则， ，，即， 又，，在上单调递减，故C错误； 对于D，令，则， 当时，，， ，对于任意，，D正确． 故选：AD 题型六：“幂函数”模型 21．（2026·高一·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 22．（2026·高一·河北·阶段检测）已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【解析】（1）利用赋值法，先求出，令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数.；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可. 试题解析：（1）令，则， ，为偶函数. （2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数. （3）∵,又 ∴ ∵，∴，即，又故. 23．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）令，则. ∵，∴ ∴函数为奇函数； (2)函数在上单调递减. 证明如下： 由函数为奇函数得 当时，，， 所以当时，， 设，则，∴， 于是， 所以函数在上单调递减. ∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减. (3)∵，且，∴， 又∵函数为奇函数，∴ ∵，∴，函数在上单调递减. 又当时，. ∴，即， 故的取值范围为. 24．（2026·高一·河南信阳·阶段检测）已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且. (1)求证：； (2)证明：在上为减函数； (3)若，求实数的值. 【解析】（1） 证明：在等式中，令，，可得， 所以，， 对任意的，在等式中，令，可得. （2）证明：由题意可知，当时，，且对任意的，， 任取、且，则， 所以，，所以，， 所以，函数在上为减函数. （3）因为，则， 因为函数在上为减函数，则，解得. 题型七：抽象函数的综合 25．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）取，得；取，得， 又∵，∴，， ∴，. （2）令，得， 由（1）知，∴， 即. （3）由题意，， ∵，∴，∴， 令，则，由得， 则在上单调递增， 当时，， 故，即实数k的最大值为. 26．（2026·高一·湖南长沙·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，. (1)若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. (2)求，函数的函数表达式. (3)若存在，使得，求的最小值. 【解析】（1）由函数与函数的图象关于成中心对称，则，即； 由函数与函数的图象关于成轴对称，则，即， 由，则 所以. （2）当时，，则， 令，即，则； 当时，，则， 令，即，则. 综上所述，. （3）当时，，易知函数的最大值为， 由，则函数在的最大值为，其中， 易知，，即， 则，即数列单调递增， 由，，则当时，， 令，化简可得，解得. 综上所述，的最小值为. 27．（2026·高一·广东广州·期末）已知定义在上的函数满足：①；②，均有.已知函数，且. (1)求，以及函数和的解析式； (2)若， （ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （ⅱ）已知，且，证明：. 【解析】（1）由，均有， 令，则，而，所以， 令，则，所以， 由，得，解得，所以. (2)（ⅰ） 由（1）得， 函数在区间上的单调递减， ，则 ，由，得， 因此，即，所以在区间上的单调递减. （ⅱ） 由，，得， 则，所以. 28．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且. (1)求函数的表达式； (2)若任意实数，求实数的取值范围. 【解析】（1）令时，得，又， 所以， 所以， 所以， （2）令，因为，所以， 则，可化为：，易知， 即， 即， 因为，所以 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $