专题02 指数型及对数型复合函数（高效培优专项训练）（10大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题02 指数型及对数型复合函数 题型一：对数型复合函数的定义域 题型二：求单调区间 题型三：已知单调性求参数 题型四：利用单调性比较大小 题型五：利用单调性解不等式 题型六：求值域 题型七：已知值域求参数 题型八：反函数问题 题型九：恒成立问题 题型十：新定义问题 题型一：对数型复合函数的定义域 1．（2026·高一·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·湖南衡阳·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）若，则函数f(x)的定义域为（    ） A． B．(0，+∞) C． D． 4．（2026·高一·湖南常德·期中）函数的定义域为 A． B． C． D． 题型二：求单调区间 5．（2026·高一·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高三·江苏镇江·开学考试）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 题型三：已知单调性求参数 9．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·河南商丘·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高三·重庆渝北·阶段检测）已知，，函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用单调性比较大小 13．（2026·高一·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·高一·天津·期末）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·高一·天津西青·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·高一·陕西渭南·期末）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 题型五：利用单调性解不等式 17．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若时，，其中且，则实数的取值范围是_________. 18．（2026·高一·广西柳州·期末）已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为________． 19．（2026·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是___________． 20．（2026·高一·全国·阶段检测）已知均定义在上的奇函数与偶函数满足，则不等式的解集为______． 题型六：求值域 21．已知函数，，则函数值域为________． 22．（2026·高一·上海·期末）函数，的最小值为_________． 23．（2026·高一·上海·期末）已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 24．定义在上的函数，则的最大值是________. 题型七：已知值域求参数 25．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若恒成立，则实数___________． 26．（2026·高一·上海·阶段检测）函数在区间上的最大值比最小值大，其中且，则实数______． 27．（2026·高一·江西宜春·期末）若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 28．（模块二函数第2讲函数的单调性与最值）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是_______． 题型八：反函数问题 29．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 30．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知函数的图象分别与函数和的图象交于两点，设两交点的横坐标分别为，则的值为______. 31．已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则________． 32．整数m，n满足，则____________． 题型九：恒成立问题 33．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知函数（其中为常量，且）的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)设，试比较与的大小； (3)记，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 34．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 35．（2026·高一·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 36．（2026·高一·云南·开学考试）已知函数． (1)求函数在上的值域； (2)若对任意，恒成立，求m的取值范围． 题型十：新定义问题 37．（2026·高一·云南丽江·期末）对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． (1)设，，，生成函数是偶函数，求的值； (2)设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 38．（2026·高一·四川雅安·阶段检测）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数：，双曲余弦函数： (1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分） ① ② (2)用定义证明双曲正弦函数在上是增函数； (3)求函数在上的值域. 39．（2026·高一·上海·期末）对于定义在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 40．（2026·高一·湖南·阶段检测）设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数型及对数型复合函数 题型一：对数型复合函数的定义域 题型二：求单调区间 题型三：已知单调性求参数 题型四：利用单调性比较大小 题型五：利用单调性解不等式 题型六：求值域 题型七：已知值域求参数 题型八：反函数问题 题型九：恒成立问题 题型十：新定义问题 题型一：对数型复合函数的定义域 1．（2026·高一·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 2．（2026·高二·湖南衡阳·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得解得即， 故定义域为 故选：B. 3．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）若，则函数f(x)的定义域为（    ） A． B．(0，+∞) C． D． 【答案】C 【解析】由题知：. 故选：C 4．（2026·高一·湖南常德·期中）函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义，需满足，解不等式组得定义域为，故选C 考点：函数定义域 题型二：求单调区间 5．（2026·高一·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 6．（2026·高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 7．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在上递减，在递增，上递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为. 故选：D 8．（2026·高三·江苏镇江·开学考试）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得，， 因为对数函数在单调递增，二次函数在单调递减，在单调递增， 所以函数的单调增区间是． 题型三：已知单调性求参数 9．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，得，故的取值范围是. 10．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 11．（2026·高一·河南商丘·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，解得． 故选：C． 12．（2026·高三·重庆渝北·阶段检测）已知，，函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若在R上单调递增，需满足，解得； 若在R上单调递减，需满足，解得， 综上，a的取值范围是. 故选：A 题型四：利用单调性比较大小 13．（2026·高一·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 14．（2026·高一·天津·期末）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即 因为函数为减函数，， 所以，即 所以， 故选：A. 15．（2026·高一·天津西青·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对数函数，底数，所以函数在上单调递减.因为，所以，即； 指数函数，底数，因此函数在上单调递减.因为，所以，即； 对数函数，底数，因此函数在上单调递增.因为，所以，即. 综上所述：由，，，可得. 故选： C. 16．（2026·高一·陕西渭南·期末）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 题型五：利用单调性解不等式 17．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若时，，其中且，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】当，且时，可得，则，不符合题意； 当，且时，可得， 因为函数为单调递减函数，所以，所以， 所以实数的取值范围. 18．（2026·高一·广西柳州·期末）已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】当时，由， 得， 则，令，因此， 函数在上单调递增，由是定义在R上的偶函数， 得，对任意的，， 则函数为R上的偶函数，且， 由，得，则， 即，因此，解得， 所以所求解集为. 故答案为： 19．（2026·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 当时，，令，则 所以当时，可转化为， 因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，取得最小值， 所以. 故答案为： 20．（2026·高一·全国·阶段检测）已知均定义在上的奇函数与偶函数满足，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】定义在上的奇函数与偶函数满足，将换为可得， 又，，代入得，联立方程组， 解得，，故， ，则， 将代入原不等式得，又， 故,故原不等式等价于，即，令，则，不等式等价于， 故等价于，，易知，则只需，即， 也即，，．所以不等式的解集为． 故答案为:． 题型六：求值域 21．已知函数，，则函数值域为________． 【答案】 【解析】由题意可知：， 所以当时，在定义域内单调递减，在取到最小值，所以. 当时，，所以，函数在定义域内单调递增，故. 取并集，所以. 22．（2026·高一·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【解析】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 23．（2026·高一·上海·期末）已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 【答案】 【解析】因为函数过点， 所以，即，解得， 所以， 所以， 由对数函数的单调性知，在上单调递增， 所以，即， 故答案为： 24．定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【解析】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 题型七：已知值域求参数 25．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若恒成立，则实数___________． 【答案】 【解析】当时，,则, 由于恒成立，则, 当时，,其对称轴为：, 由于,所以当时，, 则，解得：, 由于,则, 当时，时，，满足条件， 时，,满足恒成立 综上， 故答案为： 26．（2026·高一·上海·阶段检测）函数在区间上的最大值比最小值大，其中且，则实数______． 【答案】或 【解析】若，则函数在区间上单调递减， 所以， 由题意得，又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以， 由题意得，又，故. 所以或. 故答案为：或 27．（2026·高一·江西宜春·期末）若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 【答案】或 【解析】因为是单调函数，所以是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点处， 所以，即， 所以或，解得或， 故答案为：或 28．（模块二函数第2讲函数的单调性与最值）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】令，则函数为减函数，又因为函数是增函数， 所以是减函数，所以函数在区间上的最大值为,最小值为， 由题意得, 则， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 题型八：反函数问题 29．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 【答案】 【解析】（1）因为， ，所以， 由零点存在性定理可知，存在，使得. 又因为在定义域内单调增，所以零点唯一. 综上可知，. （2）由题可知， 即，于是可得. 所以， 所以，. 显然在定义域上单调增. 所以，即. 30．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知函数的图象分别与函数和的图象交于两点，设两交点的横坐标分别为，则的值为______. 【答案】2 【解析】设，则. 由函数和互为反函数，图象关于直线对称， 可知函数的图象也关于直线对称， 所以关于直线对称，即，， 所以，即， 故答案为：2. 31．已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则________． 【答案】或 【解析】由已知函数的图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数， 则函数在其定义域上不同的处的取到的函数值也不相同. 如图,结合反比例函数的图像和性质与旋转情况可得, 当，可得函数，其存在反函数； 当，可得函数，其存在反函数； 当，且时， 将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数，必存在平行于轴的直线与函数的图象有两个交点（例如下图情况中的）， 即函数，在其定义域上存在，，使. 故不存在反函数，不满足题意. 综上所述，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则或. 故答案为：或. 32．整数m，n满足，则____________． 【答案】/ 【解析】设，则，故，即， 记，则， 解得（负值舍去），即, 故答案为：. 题型九：恒成立问题 33．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知函数（其中为常量，且）的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)设，试比较与的大小； (3)记，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）把点代入, 得,结合且,解得 所以. （2）由(1)知,所以. 因为和都是增函数,所以函数为增函数. 因为,所以. （3）由(1)知,所以. 所以即. 因为和都是减函数,所以函数为减函数. 所以当时,在上有最小值,其最小值为. 故. 34．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）∵为定义域为的奇函数， ∴，即，解得，∴， ∵，为奇函数，符合题意，∴. （2）由（1）知：，是上的减函数. 证明如下： 任取，且， 则， ∵为增函数，， ∴，，， ∴，∴， ∴是上的减函数. （3）∵为奇函数， 对任意，不等式即为， 即对任意恒成立. 又是上的减函数， ∴对任意恒成立， 即对任意恒成立. 记，，只需， 由对勾函数的性质知，在上单调递增， ∴， ∴，即k的取值范围是. 35．（2026·高一·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）（i）将代入得. 令，则. . 因为，，当且仅当即时取等号，所以. （ii）在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 由得. 所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为. （2）对任意，恒成立，求的取值范围. 令，，，即，. 题意等价于在上恒成立. 函数图像开口向上，对称轴为. ①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去. ②当时，，. 若，，. 若，，. ③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去. 综上，的取值范围是. 36．（2026·高一·云南·开学考试）已知函数． (1)求函数在上的值域； (2)若对任意，恒成立，求m的取值范围． 【解析】（1），， 设，则， ， 当时，， 当时，， 所以函数在上的值域为． （2）由，， 得， 令， 则， 即对恒成立， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 则，即， 所以m的取值范围为． 题型十：新定义问题 37．（2026·高一·云南丽江·期末）对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． (1)设，，，生成函数是偶函数，求的值； (2)设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 【解析】（1）因为，故， 因为为偶函数，故，，故. （2）由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 因为，所以. 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最小值，故. （3）设，则． 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以．所以 ． 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，，且当时取到“”． ，又在区间上的最小值为， ，且，此时，． . 38．（2026·高一·四川雅安·阶段检测）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数：，双曲余弦函数： (1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分） ① ② (2)用定义证明双曲正弦函数在上是增函数； (3)求函数在上的值域. 【解析】（1） 证明：选择①： 由题意， 则 选择②： . （2）证明：，且 . ， ，即 所以在R上是增函数. （3）由题意知， 令，则， 则即为， 令， 所以在上单调递增，故，故的值域为， 即的值域为. 39．（2026·高一·上海·期末）对于定义在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【解析】（1）由题意，，则，因此： ， 取计算得： ， 不满足，因此函数不存在“函数” （2）因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证. （3）对，，因此： ， 对，，因此： ， 因为都存在“函数”，故单调不减，也单调不减， 即单调不减，等价于单调不增，既单调不减又单调不增，故为常数， 即： （C为常数）， 指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即. 验证：时，（常数），（常数），均满足“函数”定义， 故. 40．（2026·高一·湖南·阶段检测）设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【解析】（1）（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. （2）依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. （3）依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $