专题01 对数的运算（8题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 以8类常考题型为框架，覆盖对数定义、互化、运算及应用，形成从概念到应用的递进式知识逻辑，突出高频与重点题型突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|8类题型，含选择、填空、解答|基础概念理解（定义）、重点转化（互化）、核心运算（化简求值）、逻辑证明（换底公式）、实际建模（应用）|从对数定义出发，通过互化建立与指数的联系，经方程与运算形成技能，最终实现逻辑证明与实际应用| |综合攻坚·知能拔高|10道综合题|跨知识点综合应用，含多选、开放题|整合对数运算与函数、方程等知识，提升综合解题能力|

专题01 对数的运算 常考题型·精准突破 题型01对数定义的理解 题型02对数式与指数式的互化（重） 题型03解对数方程 题型04用已知对数表示其他对数（重） 题型05利用对数运算化简或求值(无限制条件)（高频） 题型06利用对数运算化简或求值(有限制条件) 题型07利用换底公式证明恒等式 题型08对数的实际应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01对数定义的理解 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 3．下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】由0和负数没有对数,即可得答案. 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. 4．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 题型02对数式与指数式的互化 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】C 【详解】由，得， 由，得，即， 所以． 2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 4．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先利用指数与对数互换得出，然后利用对数运算性质与指数运算性质化简运算即可. 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知，则______，若，则______. 【答案】 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 若，则. 故答案为：①；② 题型03解对数方程 1．方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东济南·期末）方程的正实数解为______． 【答案】100 【分析】先证明，然后将等式进行化简求出结果即可. 【详解】令，两边同时取对数得， 所以，所以. 由，得， 所以，有. 所以，即， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，所以，解得. 故答案为：. 3．方程的实数解为_________. 【答案】 【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可. 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 4．方程的解集为________． 【答案】 【分析】依题意得到，解得即可. 【详解】因为, 则，解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 5．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 题型04用已知对数表示其他对数 1．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 2．已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 3．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 5．（25-26高一上·河北·期中）已知，则__________.（用的代数式表示） 【答案】 【分析】根据对数运算的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则用表示__________ 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得， 则. 故答案为：. 题型05利用对数运算化简或求值(无限制条件) 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 【答案】/ 【详解】 . 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【详解】. 4．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）已知，化简 ； （2）化简 ． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）. （2）， ， . 5．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 6．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 7．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 题型06利用对数运算化简或求值(有限制条件) 1．（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 2．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 3．（多选）（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知非零实数，满足，则下列各式中为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，则，，结合对数的运算性质判断各选项是否正确. 【详解】令，且，则，， 所以，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，A选项错误； ，为定值，B选项正确； ，为定值，C选项正确； ，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，D选项错误. 4．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 5．一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化公式即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以， 所以. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知及，则________________． 【答案】11 【分析】先使用换元法将两个等式进行化简，再构造函数找到两个等式的联系即可. 【详解】因为，所以，令， 则，因此，因为，所以， 令，则，故， 我们构造函数，因为为一次减函数，为增函数， 所以为增函数，因此为增函数，且， 所以的零点只有一个，所以，故，即， 解得 题型07利用换底公式证明恒等式 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 2．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)7 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 3．设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】 由题意，根据换底公式，，命题得证. 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】略 4．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】 因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】略 5．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 6．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)因为，所以命题得证. (2)因为，所以命题得证. (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 故，即的值为. 题型08对数的实际应用 1．在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 【答案】A 【分析】先根据系列的声强级求得的值，再利用对数运算性质计算系列的声强级，结合参考数据估算结果. 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. 2．（26-27高三上·北京·开学考试）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（    ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 【答案】B 【分析】根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值. 【详解】由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ， 因此， 则小时. 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则， 所以， 所以污染物减少50%需要花的时间约为. 4．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（    ）(参考数据：，) A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】B 【详解】由可知， 依题意，， 解得，，则时，， 则（焦耳）， 即5.8级地震所释放的能量约为焦耳. 5．图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 6．（26-27高三上·北京·开学考试）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 【答案】 9 【分析】根据题意得到，然后利用对数的性质解方程，并用表示方程的解并进行估算，最后得出的最小值. 【详解】由题意可得，解得 由换底公式可得 所以.由于，所以的最小值为9. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得．因为， 所以， 得． 2．已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 3．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 5．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、运算法则和基本不等式可得，利用指对互化即可得解. 【详解】由得，因为 ，所以，所以，所以， 因为， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D 6．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】BC 【分析】对于 A、B、C选项，先将根式化为分数指数幂，将对数式化为指数式，再按照指数幂的运算法则计算，对于 D选项，对数的换底公式运算化简求解即可. 【详解】解：当时，，A错误； ，则，B正确； 若，，则，，，C正确； ，D错误. 故选BC. 7．（多选）（2026高一·全国·专题练习）利用 算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数.已知 ，设， .对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将选项A，B，C等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项D逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等. 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于 即，中间层等于， 即 ，则最外层等于，展开得 ，即，不一定等于左式，故D错误. 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则___________ 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 9．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 10．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 对数的运算 常考题型·精准突破 题型01对数定义的理解 题型02对数式与指数式的互化（重） 题型03解对数方程 题型04用已知对数表示其他对数（重） 题型05利用对数运算化简或求值(无限制条件)（高频） 题型06利用对数运算化简或求值(有限制条件) 题型07利用换底公式证明恒等式 题型08对数的实际应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01对数定义的理解 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 4．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 题型02对数式与指数式的互化 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 4．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知，则______，若，则______. 题型03解对数方程 1．方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高一上·山东济南·期末）方程的正实数解为______． 3．方程的实数解为_________. 4．方程的解集为________． 5．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 题型04用已知对数表示其他对数 1．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则________．（用，表示）． 3．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 5．（25-26高一上·河北·期中）已知，则__________.（用的代数式表示） 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则用表示__________ 题型05利用对数运算化简或求值(无限制条件) 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 4．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）已知，化简 ； （2）化简 ． 5．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 6．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 7．（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 题型06利用对数运算化简或求值(有限制条件) 1．（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知非零实数，满足，则下列各式中为定值的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为_______________. 5．一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知及，则________________． 题型07利用换底公式证明恒等式 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 3．设均为正数，且均不为1.求证：. 4．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 5．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 6．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 题型08对数的实际应用 1．在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 2．（26-27高三上·北京·开学考试）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（    ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（    ）(参考数据：，) A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 5．图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 6．（26-27高三上·北京·开学考试）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 3．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 7．（多选）（2026高一·全国·专题练习）利用 算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数.已知 ，设， .对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则___________ 9．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 10．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 对数的运算 常考题型·精准突破 题型01对数定义的理解 1． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 3． 【答案】D 【分析】由0和负数没有对数,即可得答案. 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. 4． 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 题型02对数式与指数式的互化 1． 【答案】C 【详解】由，得， 由，得，即， 所以． 2． 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 3． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 4． 【答案】/ 【分析】先利用指数与对数互换得出，然后利用对数运算性质与指数运算性质化简运算即可. 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 5． 【答案】 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 若，则. 故答案为：①；② 题型03解对数方程 1． 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 2． 【答案】100 【分析】先证明，然后将等式进行化简求出结果即可. 【详解】令，两边同时取对数得， 所以，所以. 由，得， 所以，有. 所以，即， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，所以，解得. 故答案为：. 3． 【答案】 【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可. 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 4． 【答案】 【分析】依题意得到，解得即可. 【详解】因为, 则，解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 5． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 题型04用已知对数表示其他对数 1． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 2． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 3． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 4． 【答案】 【详解】. 5． 【答案】 【分析】根据对数运算的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 6． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得， 则. 故答案为：. 题型05利用对数运算化简或求值(无限制条件) 1． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 2． 【答案】/ 【详解】 . 3． 【答案】 【详解】. 4． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）. （2）， ， . 5． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 6． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 7． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 题型06利用对数运算化简或求值(有限制条件) 1． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 2． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 3． 【答案】BC 【分析】令，则，，结合对数的运算性质判断各选项是否正确. 【详解】令，且，则，， 所以，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，A选项错误； ，为定值，B选项正确； ，为定值，C选项正确； ，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，D选项错误. 4． 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 5． 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化公式即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以， 所以. 6． 【答案】11 【分析】先使用换元法将两个等式进行化简，再构造函数找到两个等式的联系即可. 【详解】因为，所以，令， 则，因此，因为，所以， 令，则，故， 我们构造函数，因为为一次减函数，为增函数， 所以为增函数，因此为增函数，且， 所以的零点只有一个，所以，故，即， 解得 题型07利用换底公式证明恒等式 1． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 2． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 3． 【答案】 由题意，根据换底公式，，命题得证. 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】略 4． 【答案】 因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】略 5． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 6． 【答案】(1)因为，所以命题得证. (2)因为，所以命题得证. (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 故，即的值为. 题型08对数的实际应用 1． 【答案】A 【分析】先根据系列的声强级求得的值，再利用对数运算性质计算系列的声强级，结合参考数据估算结果. 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. 2． 【答案】B 【分析】根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值. 【详解】由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ， 因此， 则小时. 3． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则， 所以， 所以污染物减少50%需要花的时间约为. 4． 【答案】B 【详解】由可知， 依题意，， 解得，，则时，， 则（焦耳）， 即5.8级地震所释放的能量约为焦耳. 5． 【答案】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 6． 【答案】 9 【分析】根据题意得到，然后利用对数的性质解方程，并用表示方程的解并进行估算，最后得出的最小值. 【详解】由题意可得，解得 由换底公式可得 所以.由于，所以的最小值为9. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【详解】由得．因为， 所以， 得． 2． 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 3． 【答案】D 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 4． 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 5． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、运算法则和基本不等式可得，利用指对互化即可得解. 【详解】由得，因为 ，所以，所以，所以， 因为， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D 6． 【答案】BC 【分析】对于 A、B、C选项，先将根式化为分数指数幂，将对数式化为指数式，再按照指数幂的运算法则计算，对于 D选项，对数的换底公式运算化简求解即可. 【详解】解：当时，，A错误； ，则，B正确； 若，，则，，，C正确； ，D错误. 故选BC. 7． 【答案】AC 【分析】将选项A，B，C等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项D逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等. 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于 即，中间层等于， 即 ，则最外层等于，展开得 ，即，不一定等于左式，故D错误. 8． 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 9． 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 10． 【答案】 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $