培优06 指对幂函数及其应用（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题06 指对幂函数及其应用 常考题型·精准突破 考点一 指对幂运算 题型1 指数、对数和幂 题型2 指数、对数和幂的运算 考点二 指对幂函数的性质 题型1 指数函数的性质与图像（重） 题型2 对数函数的性质与图像（重） 题型3 幂函数的性质与图像（重） 题型4 指对幂函数的综合运用（高频） 考点三 指对幂函数的应用 题型1 指对幂函数的图像（重） 题型2 指对幂函数的单调性（重） 题型3 指对幂函数的最值（高频） 题型4 最值与不等式的综合问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指对幂的运算 ◆题型1指数、对数和幂 1．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 5．为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． ◆题型2 指数、对数和幂的运算 1．的值为（    ） A． B． C． D．0 2．已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 指对幂函数的性质 ◆题型1指数函数的性质与图像 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． ◆题型2 对数函数的性质与图像 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ◆题型3 幂函数的性质与图像 1．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 3．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 ◆题型4 指对幂函数的综合运用 1．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 考点三 指对幂函数的应用 ◆题型1指对幂函数的图像 1．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．    B．   C．   D．   3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 指对幂函数的单调性 1．已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． ◆题型3 指对幂函数的最值 1．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ◆题型4 最值与不等式的综合问题 1．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 2．函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 3．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 4．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．方程有2个解 7．下列选项中，正确的是（     ） A．与是同一个函数 B．函数（且）的图象恒过定点 C．若，则 D．若不等式的解集为，则 三、填空题 8．函数的定义域为____________． 9．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 四、解答题 10．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 11．已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 12．已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个不等的实数根，求的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指对幂函数及其应用 常考题型·精准突破 考点一 指对幂运算 题型1 指数、对数和幂 题型2 指数、对数和幂的运算 考点二 指对幂函数的性质 题型1 指数函数的性质与图像（重） 题型2 对数函数的性质与图像（重） 题型3 幂函数的性质与图像（重） 题型4 指对幂函数的综合运用（高频） 考点三 指对幂函数的应用 题型1 指对幂函数的图像（重） 题型2 指对幂函数的单调性（重） 题型3 指对幂函数的最值（高频） 题型4 最值与不等式的综合问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指对幂的运算 ◆题型1指数、对数和幂 1．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 【答案】E 【详解】 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数化成指数，使用指数运算求解. 【详解】由，得，即， 因为，所以，得 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则有，所以. 4．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 5．为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. ◆题型2 指数、对数和幂的运算 1．的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可． 【详解】原式 ． 2．已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质和指数幂的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，所以 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为，故. 考点二 指对幂函数的性质 ◆题型1指数函数的性质与图像 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合题设可得答案. 【详解】因对任意实数，，从而，则的值域为. 2．若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】当时，函数图象如下图所示， 为得到图象， 则需要把图象向下平移个单位，如下图所示，则其图象必定不经过第二象限. 3．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． ◆题型2 对数函数的性质与图像 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数， 则选C正确． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． ◆题型3 幂函数的性质与图像 1．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 2．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 3．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. ◆题型4 指对幂函数的综合运用 1．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与对数函数的增减性判断出与和的大小关系即可求解. 【详解】，即， ，即， ，即， 综上，. 2．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 3．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 考点三 指对幂函数的应用 ◆题型1指对幂函数的图像 1．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 2．若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. ◆题型2 指对幂函数的单调性 1．已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 3．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. ◆题型3 指对幂函数的最值 1．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值． 【详解】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 故选：A． 3．若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在上递增，则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增，所以，解得. 综上所述，． ◆题型4 最值与不等式的综合问题 1．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 2．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故选：D. 3．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法将不等式转化为在有解，构造新函数，然后利用对号函数的单调性求解新函数的最小值并结合不等式有解的含义即可得出答案. 【详解】不妨设，当时，， 故不等式在区间上有解等价于在有解， 即在有解， 不妨令，则只需， 由对号函数的性质易知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以的最小值为，即， 故实数的取值范围为. 故选：A. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 2．函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解得， 故的零点为. 3．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】根据图象，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； 对于B，由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； 对于C，要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； 对于D，由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 4．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 易知，函数在上单调递增， 当时，为增函数，且 则当时，为减函数，且， 所以当时，， 当时，， 则不等式等价于 或 ， 解得或或 或 ， 解得或或． 5．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 二、多选题 6．已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．方程有2个解 【答案】ACD 【分析】根据图象可判断与的单调性和奇偶性，即根据奇偶性的定义和单调性的定义求解AC，举反例即可求解B，根据函数图象，结合方程可判断D. 【详解】由图象可知，分别为偶函数，奇函数， 对于A选项，的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B选项，不妨取，则， ，但，，，故B错误； 对于C选项，设，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以，即在上单调递减，故C正确； 对于D选项，由图象知，有两个互为相反数的零点，不妨设为， 则由可得或， 由图象可知，和分别有且只有一个解， 故方程有2个解，故D正确. 7．下列选项中，正确的是（     ） A．与是同一个函数 B．函数（且）的图象恒过定点 C．若，则 D．若不等式的解集为，则 【答案】AD 【详解】选项A： 的定义域由 解得 ； 的定义域由 且 解得.两函数定义域相同； 且当 时，，，由对数运算法则 对应关系也相同，因此二者是同一个函数. 选项B：指数函数 的图象恒过定点 . 对 ，令 ，即 ，则 所以 的图象恒过定点 ，而不是 . 选项C：命题缺少“、 均非负”这一前提条件。反例：取 ，，则 ，但 在实数范围内无意义，故 不成立. 选项D：不等式 的解集为 ， 说明二次函数 的图象开口向下， 且 、 是方程 的两个根. 由韦达定理：两根之和 得 ；两根之积 得 .于是 ， 所以 综上，正确答案为 A、D. 三、填空题 8．函数的定义域为____________． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义， 只需 ，解得，且. 所以函数的定义域为. 9．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 四、解答题 10．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先设出幂函数解析式，把已知点坐标代入求出幂指数；再利用条件得到一次函数上另外一点，结合已知点列出二元一次方程组，解方程组求得一次函数的系数，进而求出两个函数的解析式； （2）先通过换元把原函数转化为闭区间上的二次函数，再确定出新变量的取值范围，计算对称轴与区间端点处的函数值，最后比较后得到函数的值域即可. 【详解】（1）设，， 则由题意可知，，， ， 得，，， 则，； （2） ， 令，则 ，对称轴为， 又， ， ， 则， ∴函数在上的值域为. 11．已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，解集为，当时，解集为或，当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为； (3)． 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为函数恒小于0问题，分类讨论二次项系数是否为0，结合判别式求解参数范围；（2）先对二次式因式分解，再根据二次项系数符号、两根大小关系分类讨论，求解一元二次不等式的解集；（3）利用偶函数对称性，将含绝对值的方程转化为关于的二次方程，把四个实根问题转化为二次方程有两个正根问题，结合基本不等式与存在性条件求解参数范围. 【详解】（1）将代入不等式，整理得，该不等式对任意恒成立，分类讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，符合条件； 当时，函数是二次函数，要使恒成立，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. （2）由得， 当时，不等式化为，解得，解集为， 当时，不等式化为，此时，不等式的解集为或， 当时，方程的两根为，， 若，则，不等式的解集为， 若，则不等式化为，无解，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； （3）令，原方程化为 整理为， 原方程有四个不同实根，等价于关于的方程有两个不同的正实根（每个正根对应两个互为相反数的）. 由基本不等式，时，因此，即方程的常数项恒为负数. 设方程两个不同的正实根为，需同时满足： ，因为分子，因此必须. ，结合，得，即. ，化简得，结合，两边除以（不等号变向）：， 题目要求“存在”满足条件，即存在使得上述不等式成立，只需右边大于的最小值即可，，结合，得， 解二次不等式，得或， 结合前提，所以，故实数的取值范围为． 12．已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)①存在，使得成立，求实数的取值范围； ②若方程在上有两个不等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)由得，即函数的定义域为. 又. 所以函数为偶函数. (2)①；②. 【分析】（1）先确定函数的定义域，再结合偶函数的概念进行证明. （2）①结合复合函数的单调性，求函数在的值域可得的取值范围. ②分情况讨论，去掉绝对值符号，再根据零点个数求的取值范围. 【详解】（1）略 （2）①因为. 所以. 则. 当时，，因为“双勾函数”：在上单调递增，所以. 又因为函数在上单调递增，所以， 所以. 即时，方程在内有解. 故. ②因为，所以. 所以方程. 下面讨论该方程在上实数根的情况： 设，则，则为奇函数； 且在上单调递增，. 所以当时，，方程可化为，即， 因为，所以至多有1解，此时； 当时，方程可化为，此时方程最多只有1解，且； 当时，，方程可化为， 因为函数在上单调递增，所以方程在上最多只有1解. 由. 综上，方程在上有两个不等的实数根，则. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $