高中数学单元测试——第四章指数函数、对数函数与幂函数（适中版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习卷，知识覆盖全面，梯度设计合理，结合真实情境与数学建模，适配单元巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数幂运算（1）、对数运算（2）、幂函数性质（5）|基础概念辨析，注重数学眼光的抽象能力| |多选题|3/18|幂函数奇偶性（10）、函数图像交点（11）|多角度考查知识关联，体现数学思维的推理意识| |填空题|3/15|根式化简（12）、橡胶轮胎降解模型（14）|结合实际问题，培养数学语言的数据观念| |解答题|5/77|幂函数单调性证明（15）、新能源汽车销售模型选择（18）|综合应用与数学建模，发展创新意识与应用能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（本题5分）若则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（    ） A． B． C． D．方程有两个解 6．（本题5分）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 11．（本题6分）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）化简：___________． 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17．（本题15分）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【答案】A 【分析】先计算出，代入求解即可. 【详解】因为，故， 所以. 故选：A 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 3．（本题5分）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数对数互化和对数的运算法则. 【详解】已知， 对等式两边取以为底的对数： 化简， 即 故选：D 4．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入计算可得出的值. 【详解】因为，则. 故选：B 5．（本题5分）已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（    ） A． B． C． D．方程有两个解 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的基本性质，求出函数解析式，作出函数图像，判断各选项正误. 【详解】设，且， 则，可得，则， ，因为且，解得，所以，， 对于A选项，，即所以A错误； 对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图像如下图所示： 由图可知，当时，；当时，. 所以，B错误； ，C正确； 函数、的图像有三个公共点，即方程有三个解，D错误. 故选：C. 6．（本题5分）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 7．（本题5分）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减， 所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增， 在定义域内，函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是． 故选：D． 8．（本题5分）已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据运算，得到，再由函数的图象与轴恰有两个公共点，转化为函数的图象恰有两个公共点，利用数形结合法求解. 【详解】因为， 由， 可得， 即， 因为，所以，解得， 所以当时，， 所以当时，. 即， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 即函数的图象恰有两个公共点， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：， 则实数的取值范围是 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项. 【详解】，故选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项正确； 对于，故D选项错误. 故选：AC. 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质，逐项分析即可. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得 或，故A正确； 对于B，当或时， 或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，是增函数， 当时，不是减函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有， 所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，得到C，D两点的坐标，结合函数的对称性得到，结论；对于B，结合A中的结论即可判定；对于C，结合B中的结论，以及代入消元法，结合基本不等式即可求解判断；对于D，利用乘1法，换元，并结合函数的单调性进行判断. 【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D， 则，， 又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称， 可知点，D两点关于对称，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，则， 取倒数有，即，故B错误； 对于选项C：由得，当且仅当时取等号， 由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 令，可知在区间上单调递减， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）化简：___________． 【答案】 【分析】利用换底公式以及对数运算的性质，可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 【答案】(1)； (2) 由（1）得，故. 设, 则， 因为，所以，，所以, 所以，即， 故在区间上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解； （2）由（1）得，设,作差即可证明. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以,解得或. 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不满足题意. 故. （2）略 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 即， 解得； （2）由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17．（本题15分）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 【答案】(1)模型②，理由： 由表中数据可知，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢． 对于模型①，销售量逐月减少，不符合题意； 对于模型②，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢，符合题意； 对于模型，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变快，不符合题意， 所以最符合实际的函数为模型②． (2) (3)第16个月 【分析】（1）结合表格根据每个函数模型销售量和月份的增减变化逐一判断； （2）选取两组数据，构建关于的方程组，求解即可； （3）根据题意和（1），求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）选取数据组，代入， （可选择中任意两组） 得，解得， 故函数解析式为． （3）令， 即，解得， 故从第16个月开始销售量不低于11百辆． 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $