第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

章末综合提升 探究点一　指数、对数的运算 例1　计算： (1)1－3－－＋(2 024)0； (2)log20.25＋ln ＋24·log23＋lg 4＋2lg 5－. 解：(1)1－3－－＋(2 024)0 ＝1－－－＋1 ＝1－－2＋－＋1＝－. (2)log20.25＋ln ＋24·log23＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2＋ln e＋2log234＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋＋81＋lg 100－2＝. 指数、对数的运算应遵循的原则 指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．　　 对点练1.计算：(2 023)0＋3×＋(lg 4＋lg 25)的值是________． 答案：5 解析：原式＝1＋3×＋lg 100＝1＋2＋2＝5. 探究点二　指数、对数函数的图象及应用 例2　已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga()的图象只可能是(　　) 答案：C 解析：函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B；若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数，此时g(x)＝loga()是减函数，C，D都不满足；若a>1，则f(x)＝ax是增函数，此时g(x)＝loga()是增函数，C满足．故选C. 学生用书第44页 　　 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．　　 对点练2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 答案：A 解析：若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，排除C、D；若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴x＝在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．故选A. 探究点三　指数、对数性质的应用 例3　(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π-2，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a (2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1. ①求a的值； ②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域． 答案：(1)C 解析：(1)因为a＝log2π>log22＝1，b＝logπ<log1＝0，c＝π-2＝，即0<c<1，所以a>c>b.故选C. (2)①因为loga3>loga2， 所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增． 又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以loga(3a)－logaa＝1， 即loga3＝1， 所以a＝3. ②函数y＝(log3x)2－log3＋2 ＝(log3x)2－log3x＋2＝(log3x－)2＋. 令t＝log3x， 因为1≤x≤3， 所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1. 所以y＝(t－)2＋∈， 所以所求函数的值域为. 方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．　　 对点练3.若0<x<y<1，则(　　) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D．()x<()y 答案：C 解析：因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，故A错误；对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，故B错误；对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，故C正确；对于D，函数y＝()x在R上为减函数，故()x>()y，故D错误．故选C. (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案：D 解析：方法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 方法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. (2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x-1| 答案：C 解析：对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝3＝3＝，f(1)＝3＝30＝1，f(2)＝3＝3，显然f(x)＝3在(0，＋∞)上不单调，故D错误．故选C. (2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0， 又因为x不恒为 0，可得ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案：B 解析：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝x ln ，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝x ln ＝f(x)，故此时 f(x)为偶函数．故选B. (2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案：D 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞). 故选D. (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案：A 解析：令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1，因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0，所以－1－(1－)＝－>0，即－1>1－，由二次函数的性质知g()<g()，因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0， 即－1<1－，所以g()>g(). 综上，g()<g()<g()，又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A. (2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 答案：1 解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $