第13章 分式（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）七年级上册

第13章 分式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列哪个分式和值相等（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式进行化简，然后即可得出结果． 【解析】， 故选C． 【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握化简法则是解题关键． 2．下列判断错误的是（ ） A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​ C．当​时，分式​有意义 D．​ 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，逐项判断即可求解． 【解析】A．代数式​是分式，正确，不符合题意； B．当​时，分式​没有意义，错误，符合题意； C．当​时，分式​有意义，正确，不符合题意； D．​，正确，不符合题意．     故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，熟练掌握分式的性质是解本题的关键． 3．分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（ ） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的a，b分别用替换，计算出新分式的结果，再与原分式比较即可得到答案． 【解析】当a和b同时扩大2倍时，新分式为： ， ∴得到的分式的值是原来的4倍， 故选C． 4．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，先根据完全平方公式得出，再求出，进而可得出答案． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 5．“双十二”期间，某水果店打出苹果每公斤优惠4元的促销标语，结果小明发现同样用350元购买该店苹果，比优惠前可多买，求优惠后该苹果的售价．设该苹果优惠后每公斤元，则可得方程：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意得原价为元，用350元购买，优惠前可买公斤，优惠后可买公斤．根据优惠后购买量比优惠前多，得优惠后购买量等于优惠前购买量乘以，进而列式即可． 【解析】∵优惠后每公斤元， ∴原价为元， ∵用350元购买，优惠前数量为公斤，优惠后数量为公斤． 又∵优惠后数量比优惠前多， ∴． 故选D． 6．不论取何值，下列分式总有意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分析各选项分母是否可能为零即可解答． 【解析】由分式有意义的条件是分母不为零， A、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； B、分母，始终不为零，分式总有意义，符合题意； C、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； D、分母，当时，，分式无意义，不符合题意． 故选B． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．分式的值为负数，求x的取值范围 ________． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【解析】∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为且． 8．如果，则________． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值． 由得到，即，进而代入计算即可． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 9．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的一列数发现分子和分母的变化规律是（为正整数），然后利用规律解决问题． 【解析】∵， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第100个数为． 故答案为． 10．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法． 原式分母相同，直接合并分子，分子利用平方差公式因式分解后约分即可． 【解析】． 故答案为． 11．将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有________克． 【答案】25 【分析】设这包冲剂有x克，根据浓度是得关于x的方程，解方程可得答案． 【解析】设这包冲剂有x克， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：这包冲剂有25克， 故答案为25． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 12．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【解析】设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为． 13．若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为________． 【答案】2或3（或3或2） 【分析】本题考查了分式的值，掌握相关知识是解题的关键． 分式化简为，值为整数时，是的约数，结合为正整数且分母不为零，求解即可． 【解析】分式， 要使分式的值为整数，则为整数，即是的约数， 的约数为和， 所以或或或， 解得或或或， 由于为正整数，且（分母）， 所以符合条件的为2或3． 故答案为2或3． 14．若，且A，B均为常数，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【解析】 ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 15．计算：________ 【答案】. 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再利用除法法则计算即可. 【解析】 故答案为 【点睛】本题考查了分式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握分式乘除法的运算法则． 16．若关于x的方程有增根，则________． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根问题．增根是分式方程化为整式方程后，使最简公分母为零的根．根据方程确定最简公分母，找到增根，再代入整式方程求参数值． 【解析】∵方程中，最简公分母为， ∴方程两边乘，得整式方程， ∵关于x的方程有增根， ∴，即， 将代入整式方程，得，即， 故答案为2． 17．把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为________． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，分式的除法法则和乘方法则进行计算即可． 【解析】， 故答案为 18．计算：________（结果不含负指数幂）． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 【解析】． 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 【答案】60千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设原计划的行驶速度为千米/小时，根据开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． 【解析】设原计划的行驶速度为千米/小时， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴原计划的行驶速度为60千米/小时． 20．（7分）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． （1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？ （2）若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【答案】（1）400套 （2）13000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具套，根据购进第二批这种玩具的进价比第一批每套进价多了10元，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出玩具的进价和售价，再列式计算即可． 【解析】（1）解：设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具3x套， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴（套）， 答：该经销商两次共购进这种玩具400套； （2）解：由（1）可知，第一批每套玩具的进价为（元）， 又∵总利润率为， ∴售价为（元）， 第二批玩具的进价为170元，售价也为200元， ∴这二批玩具经销商共可获利： （元）． 答：这二批玩具经销商共可获利13000元． 21．（7分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂以及同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解析】 ． 22．（7分）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， （1）用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． （2）当，求的值． 【答案】(1)，，；且 （2） 【分析】本题属于数字类规律探索题，考查分式的加减运算，找出这组数据的变化规律是解题的关键． （1）根据逐项计算即可，根据分母不能为0得出的取值范围； （2）根据（1）中结论得出这组数据的变化规律，再将代入即可求解． 【解析】（1）解：由题意得： ， ， ， 根据分式的分母不能为0，可得，， 因此的取值范围为且． （2）解：由（1）中结论可得从开始，每3个数为一个循环，分别为， ， ， 当时，． 23．（7分）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” （1）判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： （2）小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【答案】（1）不是 （2） 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【解析】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 24．（7分）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【解析】 25．（8分）某地区改造过程中需要修建一条路，A工程队单独修建需要20天完成，B工程队单独完成需要的天数比A工程队单独完成需要天数的多3． （1）B工程队单独完成需要多少天？ （2）若A工程队先单独修6天，然后A，B两工程队合作修完这条路，则A，B两工程队还需合作几天才能修完这条路？ 【答案】（1）15天 （2）6天 【解析】（1）工程队单独完成需要（天）． （2）设，两工程队还需合作天才能修完这条路． 根据题意，得， 解得． 故，两工程队还需合作6天才能修完这条路． 26．（8分）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【解析】， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列哪个分式和值相等（ ） A． B． C． D． 2．下列判断错误的是（ ） A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​ C．当​时，分式​有意义 D．​ 3．分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（ ） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 4．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 5．“双十二”期间，某水果店打出苹果每公斤优惠4元的促销标语，结果小明发现同样用350元购买该店苹果，比优惠前可多买，求优惠后该苹果的售价．设该苹果优惠后每公斤元，则可得方程：（ ） A． B． C． D． 6．不论取何值，下列分式总有意义的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．分式的值为负数，求x的取值范围 ________． 8．如果，则________． 9．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为________． 10．计算：________． 11．将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有________克． 12．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程________． 13．若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为________． 14．若，且A，B均为常数，则________． 15．计算：________ 16．若关于x的方程有增根，则________． 17．把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为________． 18．计算：________（结果不含负指数幂）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 20．（7分）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． （1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？ （2）若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 21．（7分）计算：． 22．（7分）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， （1）用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． （2）当，求的值． 23．（7分）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” （1）判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： （2）小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 24．（7分）化简： 25．（8分）某地区改造过程中需要修建一条路，A工程队单独修建需要20天完成，B工程队单独完成需要的天数比A工程队单独完成需要天数的多3． （1）B工程队单独完成需要多少天？ （2）若A工程队先单独修6天，然后A，B两工程队合作修完这条路，则A，B两工程队还需合作几天才能修完这条路？ 26．（8分）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $