第5章 分式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版七年级下册

第5章 分式方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1. 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 2．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先通分，再合并分子后约分得到结果，运用分式基本性质计算即可． 【详解】解： ． 4．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再将两个分式通分，合并化简后即可得到结果． 【详解】解： ． 5．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】根据题意，将原分式中的、分别替换为、，利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式比较即可得出结论. 【详解】解：和扩大为原来的倍后，分式的值为，与原式相等， ∴值不变，选A． 6．某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣个包裹，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意得到机器人和20个工人的工作效率，再根据“时间=总工作量÷工作效率”表示出两者的工作时间，统一单位后根据时间关系列方程即可． 【详解】∵设一个工人平均每小时分拣个包裹， ∴一台智能机器人每小时分拣个包裹，20个工人每小时共分拣个包裹． ∵总工作量为8000件，， ∴机器人分拣8000件的时间为小时，20个工人分拣8000件的时间为小时， 统一单位：． ∵一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间少小时， ∴． 7．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 8．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的新运算规则列出分式方程，解分式方程即可得到x的值． 【详解】解：∵规定非零实数a，b满足， ∴， 由题意得， 移项得， 两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解． 9．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 10．已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可． 【详解】解： ． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果分式有意义，那么实数的取值范围是____． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得： 12．计算：____． 【答案】 【详解】解： 13．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 14．通分是分数加减运算的基本方法，如：，利用该方法可以计算______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的加减以及数字变化规律，正确将原式变形是解题关键． 直接利用已知规律进而将原式变形计算得出答案． 【详解】解：由题干结论可得， 则原式 ． 故答案为：． 15．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 【答案】1，3 【分析】先根据分式方程的解法求出分式方程的解，然后根据题意求出的范围即可求出答案． 【详解】解：方程两边同乘得， , ， ， ∵分式方程的解为正数，且， ，且， ，且． 又∵为正整数， ，3． 16．若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 3. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟记分式的加减、乘除的法则是解决此题的关键． （1）先化为同分母分式减法，再计算化简即可； （2）将分式的分子和分母因式分解，根据分式的除法法则，计算即可． 【详解】（1）解： （2） 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，值为． 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 当时，， 则分式方程无解． 20．（8分）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为吨 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．根据宣传中的“运量更高”与“速度更快”两个条件，设出新型机器人的日搬运量，结合“搬运时间相同”这一等量关系列出方程，进而求解并检验得到结果． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：新型机器人每天搬运的货物量为吨． 21．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的解题方法解答即可； （2）根据阅读材料中的解题方法，用“倒数法”把分式方程组进行变形 ，再利用加减消元法解方程组，最后检验即可． 【详解】（1）解：由，知， ， ， ； （2）解：由，知，， ，即， 得：， 得：， 得：，解得， 把代入得，，解得， 经检验，，是原方程组的解， 原分式方程组的解为． 22．（10分）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 23．（10分）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据规律计算解答即可； （2）根据规律解答即可． （3）根据，根据规律解答即可； 本题考查了规律探索，混合运算，熟练掌握探索规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ………… ， 故答案为：； ， ， ， ………… ， 故 ， 故 故答案为：． ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 24．（10分）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 【详解】（1）解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1. 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D．2 4．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 5．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 6．某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣个包裹，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 8．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 9．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 10．已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果分式有意义，那么实数的取值范围是____． 12．计算：____． 13．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 14．通分是分数加减运算的基本方法，如：，利用该方法可以计算______． 15．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 16．若关于的分式方程无解，则的值为___________． 3. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（8分）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 21．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 22．（10分）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 23．（10分）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 24．（10分）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $