第3章 实数（单元自测）数学新教材浙教版七年级上册

第3章 实数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求平方根、立方根．根据立方根平方根和算术平方根的意义，进行计算即可解答． 【解析】A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选A． 2．估计的值在哪两个整数之间（ ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，关键在于找到被开方数相邻的两个完全平方数，再确定的范围． 【解析】∵， ∴， 即， ∴的值在4和5之间． 故选B． 3．下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（ ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【解析】∵ 算术平方根等于本身的数是0和1， ∴ A选项不符合题意； ∵ 平方根等于本身的数只有0， ∴ B选项不符合题意； ∵ 立方根等于本身的数是0和，且负数有立方根， ∴ C选项符合题意，D选项不符合题意．故选C． 4．下列各数是无理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为分数. 通过计算各选项的值，判断是否为有理数或无理数． 本题考查了无理数，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】∵ A. ，为整数，是有理数； B. ，是无理数，除以2后仍为无理数； C. ，为整数，是有理数； D. ，是分数，分子分母均为整数，是有理数. ∴ 只有B选项是无理数， 故选B． 5．计算的结果，下列说法正确的是（ ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查立方根的估算，关键是找到与被开方数相邻的两个完全立方数，利用立方根的单调性确定其取值范围． 【解析】∵，，， ∴， 即， 故选B． 6．已知为实数，且，则的平方根是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零时，每个部分都必须为零，从而求出 x 和 y 的值． 【解析】∵ 且 ，且， ∴ 且 ， ∴且， ∴， ∴， ∴ 的平方根为． 故选C． 7．下列说法中不正确的是（ ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【解析】A、10的平方根是，故选项符合题意； B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意； C、的立方根是，说法正确，故选项不符合题意； D、的算术平方根是，说法正确，故选项不符合题意； 故选A． 8．实数的整数部分为，小数部分为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【解析】∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选A． 9．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出． 【解析】∵表示的数为，， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴． 故选B． 10．的结果在哪两个整数之间（ ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，通过估算的值，并减去3后确定其整数范围即可. 【解析】∵，， ∴， ∴ ，即， ∴的结果在4与5之间， 故选D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加法即可得到答案． 【解析】 （3） ， 故答案为1． 12．将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：________；分数：________；无理数：________． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可． 【解析】， 正整数有①⑤； 分数有：④⑥； 无理数有：②⑦； 故答案为①⑤；④⑥；②⑦． 13．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出，即可作答． 【解析】∵， ∴， 故答案为． 14．已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是________ 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，先求出和的值，再代入目标式计算出结果，最后求该结果的平方根． 【解析】∵ 的立方根是， ∴ ， 解得 ． ∵ 的算术平方根是， ∴ ， 把代入得 ， 解得 ． 将，代入得： ， ∴ 的平方根是．故答案为$\pm \sqrt{11}$． 15．点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查了求算术平方根，数轴上两点间的距离． 先根据正方形面积求出边长的长度，再利用数轴上两点间的距离公式计算即可． 【解析】∵正方形的面积是10， ∴边长， ∵点对应的数是， ∴点对应的数是或 故答案为或． 16．已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，即得，最后根据平方根的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】∵和分别是一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． （2）的平方根． 【答案】（1） （2）的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【解析】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 18．（9分）已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，，求． 请帮助小亮完成以下解题过程： 解：∵a，b互为相反数且， ∴________，________； ∵c，d互为倒数， ∴________； ∵， ∴________； ∴原式=________． 【答案】 【分析】先根据相反数的定义得出，，再由，互为倒数，得出，根据绝对值的性质得出，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是相反数及倒数的定义，绝对值的性质，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 【解析】，互为相反数且， ，， ，互为倒数， ， ， ， 原式． 故答案为． 19．（9分）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）大正方形与小正方形的边长分别为 ； （2）求阴影部分的面积； （3）求长方形的周长． 【答案】（1）3， （2）阴影部分的面积为 （3）周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【解析】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 20．（9分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义及无理数整数部分的确定，解题的关键是先求出、、的值，再代入计算． 根据平方根定义求，立方根定义求，通过的范围确定；计算，再求其平方根． 【解析】∵的平方根是， ∴； ∵的立方根是， ∴； ∵， ∴的整数部分； 则， 289的平方根是． 答：的平方根是． 21．（9分）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． （1）该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ （2）正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【解析】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 22．（9分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． （ ）先计算绝对值，乘方运算，再按照先乘除后加减的顺序计算即可； （ ）先计算乘方，乘法分配律，再算加减计算即可； （ ）先计算乘方，开平方，开立方，再按照从左到右的顺序计算即可； （ ）先计算立方和开立方，化简绝对值，再按照从左到右的顺序计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： （4） ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（9分）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）4 （2）2 （3） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，实数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据加减混合运算法则计算即可； （2）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再加减即可； （3）直接用含乘方的有理数的混合运算法则解答即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 24．（9分）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．    （1）图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值， （3）若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点P表示的数为多少？ ②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？ 【答案】（1）10；边长为；这个值在3与4之间 （2） （3）①点P表示的数为：；②不存在 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可； （3）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【解析】（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； ， ， 这个值在3与4之间； （2）解：由（1）可知，， ； （3）解：①点A表示的数为1，正方形的边长为， 点表示的数为：； ②不存在． 理由：假设存在正整数，则， ， ， n为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等号不成立．即不存在正整数． 【点睛】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分原数整数部分． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．估计的值在哪两个整数之间（ ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 3．下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（ ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 4．下列各数是无理数的是（ ） A． B． C． D． 5．计算的结果，下列说法正确的是（ ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 6．已知为实数，且，则的平方根是（ ） A． B．2 C． D． 7．下列说法中不正确的是（ ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 8．实数的整数部分为，小数部分为，则（ ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．的结果在哪两个整数之间（ ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．________． 12．将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：________；分数：________；无理数：________． 13．若，，则________． 14．已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是________ 15．点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是________． 16．已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． （2）的平方根． 18．（9分）已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，，求． 请帮助小亮完成以下解题过程： 解：∵a，b互为相反数且， ∴________，________； ∵c，d互为倒数， ∴________； ∵， ∴________； ∴原式=________． 19．（9分）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）大正方形与小正方形的边长分别为 ； （2）求阴影部分的面积； （3）求长方形的周长． 20．（9分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 21．（9分）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． （1）该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ （2）正方体容器的棱长是多少厘米？ 22．（9分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．（9分）计算： （1） （2） （3） 24．（9分）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．    （1）图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值， （3）若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点P表示的数为多少？ ②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $