第三章 实数 基础过关自测卷 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第三章 实数基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数，0，，中，无理数是（     ） A． B．0 C． D．1.414 2．“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 3．和数轴上的点一一对应的是（     ） A．有理数 B．分数 C．整数 D．实数 4．的平方根是（     ） A． B． C． D． 5．若，那么的取值范围是（     ）． A． B． C．D． 6．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C．D． 7．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 8．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 9．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算：________． 12．已知 ，，那么_________ 13．已知，则_____． 14．面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 16．把下列各数填入相应的括号内（填写数字序号） ①，②，③0，④，⑤，⑥ 负数：（                 ） 无理数：（                ） 分数：（                  ） 17．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 18．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗）．球的体积公式是，其中r是球的半径，求融合后大球的半径．（结果保留根号） 19．按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求 ．．．+的值． 20．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 21．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6、3、2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)判断，，这三个数是不是“完美组合数”，并说明理由． (2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数，0，，中，无理数是（     ） A． B．0 C． D．1.414 【答案】C 【详解】解：是分数，0是整数，是有限小数，均为有理数． 开方开不尽，是无理数． 2．“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意立方根与平方根的符号差异，立方根的根指数3不可省略． 【详解】解：3的立方根用符号表示为． 3．和数轴上的点一一对应的是（     ） A．有理数 B．分数 C．整数 D．实数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应即可得答案. 【详解】解：根据数轴上的点与实数一一对应，即可得D正确. 4．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 5．若，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，结合确定的取值范围． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴． 6．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 算术平方根的结果为非负数， ∴，A错误； ，C错误； ，D错误； ∵负数的立方根是负数， ∴，B正确． 7．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个小正方体的体积，再根据正方体棱长等于体积的立方根计算棱长． 【详解】解：∵二阶魔方总体积为，一共包含个小正方体． ∴每个小正方体体积 设小正方体棱长为，则 每个小正方体的棱长为． 8．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 9．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 10．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算：________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个就叫做的算术平方根． 【详解】解：∵，且算术平方根为非负数， ∴． 12．已知 ，，那么_________ 【答案】 或 【分析】先根据乘方和绝对值的性质分别求出和的所有可能取值，再分情况计算的值． 【详解】解：， 或 ， ， 或 ， 分四种情况计算： 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 13．已知，则_____． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14．面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________． 【答案】/ 【分析】根据正方形面积公式求出边长，由画弧可知，结合点A的坐标及点E在右侧即可得出点E表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E ，， 点A表示的数为，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．把下列各数填入相应的括号内（填写数字序号） ①，②，③0，④，⑤，⑥ 负数：（                 ） 无理数：（                ） 分数：（                  ） 【答案】负数：①②⑤；无理数：②；分数：④⑥ 【分析】根据负数、无理数、分数的定义，先化简，再逐个判断每个数的所属类别即可． 【详解】解：， ∵，，，不是负数，，， ∴负数为①②⑤； ∵是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，其余数都是有理数， ∴无理数为②； ∵是分数，是有限小数，属于分数，其余数中①③⑤是整数，②是无理数， ∴分数为④⑥． 17．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】首先根据题意，求出a，b的值，再解答即可． 【详解】解：的算术平方根是3，的立方根是2， ， 解得， ， 的平方根为． 18．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗）．球的体积公式是，其中r是球的半径，求融合后大球的半径．（结果保留根号） 【答案】融合后大球的半径为 【分析】根据融合前后总体积不变的等量关系，结合球的体积公式列等式求解大球半径． 【详解】解：融合过程无损耗，总体积不变， 大球体积等于两个小球的体积之和． 设融合后大球的半径为R， ∵两个小球半径分别为，， ∴ 解得． 19．按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求 ．．．+的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）中三个具体的根式计算，对每个根号内的分式通分化简，根据完全平方公式将被开方数变形为完全平方形式，再根据算术平方根的非负性去掉根号，得到每个根式的化简结果，从中找出规律．推导的通用化简公式，将其变形为可裂项的形式． （2）将每一项用上述通用公式拆分，利用裂项相消法，相邻项抵消后计算剩余项的和 【详解】（1），而​，第一个空填； ，而，第二个空填​； ​，而​，第三个空填． 可以总结规律：对正整数，， 展开通分也可验证根号内的式子刚好是完全平方：， 开算术平方后直接得到上述结果． （2）根据上面的规律，把每一项都拆分改写：原式的每一项从到，代入规律可得： 原式 ． 20．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 21．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6、3、2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)判断，，这三个数是不是“完美组合数”，并说明理由． (2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值． 【答案】(1)解：，，是“完美组合数”． 理由如下： ，，，均为整数，且这三个数是互不相等的负整数，满足“完美组合数”的定义， 这三个数是“完美组合数”． (2) 【分析】（1）利用“完美组合数”的定义解出即可． （2）利用“完美组合数”的定义列关于的式子，结合为负整数，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：三个数、、是“完美组合数”， 有两个数乘积的算术平方根为15， 或， 或， 或（不是负整数，舍去）， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $