第五章 一元一次方程（单元自测）数学新教材北师大版七年级上册

第五章 一元一次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各式中，属于方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【解析】A． ，无等号，不是方程； B． ，含不等号，不是方程； C． ，有等号且含未知数，是方程； D． ，无未知数，不是方程． 故选C． 2．某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——销售问题，关键是严格依据题目给出的毛利率公式，理清进价、标价、售价之间的数量关系，建立方程． 【解析】已知一副耳机的进价为元， ∵按进价提高后标价， ∴标价为元； ∵再优惠元销售， ∴售价为元； 根据题意，得． 故选D． 3．甲乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是40千米/时，若2小时后甲船比乙船多航行50千米，求水流速度．设水流速度为千米/时，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据顺水速度和逆水速度公式，分别计算两船2小时内的航行距离，再根据甲船比乙船多航行50千米列方程，即可作答． 【解析】依题意，甲船顺水，实际速度为，;乙船逆水，实际速度为 ∵时间均为2小时， ∴甲船航行距离为，乙船航行距离为， ∵2小时后甲船比乙船多航行50千米， ∴， 故选A 4．甲、乙两队共同修建一条长米的乡村公路，甲队每天修米，乙队每天修米.若两队同时开工，设x天可以修完，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程， 两队合作修路，总工作量等于各自工作量之和列方程． 【解析】设x天修完，根据题意，得 ． 故选A． 5．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解． 【解析】解；设答对的题数为x道 故： 解得：． 故选D． 6．某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴，已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．要使每天生产的书签和冰箱贴刚好配套，且每位工人只生产书签和冰箱贴中的一种，则厂家安排生产书签的工人人数是（ ） A．35 人 B．40人 C．45人 D．50人 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 设生产书签的工人人数为x，则生产冰箱贴的工人人数为，根据书签与冰箱贴的配套比例列出方程求解． 【解析】设安排生产书签的工人人数为x人，则生产冰箱贴的工人人数为人，根据题意，得 解得， ∴安排生产书签的工人人数是40人． 故选B． 7．一个两位数，十位数比个位数字小，而且这个两位数比它各个数位上的数字之和的倍大，则这个两位数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．设十位数字为，则个位数字为，根据“这个两位数比它各个数位上的数字之和的倍大”列方程求解． 【解析】设十位数字为，则个位数字为， 两位数为，各个数位上的数字之和为， 依题意得：， 去括号得， 即， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 个位数字为，这个两位数为． 故选B． 8．下面不能用方程“”来表示的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【解析】A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选D． 9．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 设运动t秒时，然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可． 【解析】∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16， ∴（单位长度）， ∵（单位长度）， ∴（单位长度）； 设运动t秒时， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：， 解得：． 即运动2秒或4秒时，（单位长度）． 故选C． 10．如图，一副三角板（ ）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差关系和一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 根据图中三角板的角度得到，再根据，得到，继而得到． 【解析】∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为．故选C． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．王芳同学做到这样一道题：如果，那么□表示的数是________． 【答案】2或8 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程．设□表示的数是a，则，根据绝对值的性质化简即可． 【解析】设□表示的数是a， 则， ， 所以或， 即□表示的数是2或8， 故答案为2或8． 12．《诗经》是我国第一部诗歌总集，内容分为《风》，《雅》，《颂》三部分，共有篇．其中《雅》的篇数的倍比《风》与《颂》的篇数和多篇，则《雅》有多少篇？如果设《雅》的篇数为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意，《雅》的篇数的2倍等于《风》与《颂》的篇数和加上10篇，由此列出一元一次方程. 【解析】设《雅》的篇数为，则《风》与《颂》的篇数和为. 由《雅》的篇数的2倍比《风》与《颂》的篇数和多篇，得. 故答案为. 13．小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有________个碧根果． 【答案】 【分析】设原来小新的碧根果数量为未知数，根据变化后的数量关系列一元一次方程求解即可； 【解析】设小新原来有个碧根果，则小创原来有个碧根果； 小创吃个后剩余碧根果数量为个，小新吃个后剩余碧根果数量为个， 根据题意列方程得：， 展开并整理方程得：， 解得， 因此小创原来的碧根果数量为（个）；故答案为$34$． 14．下面是某月的月历，小玉在该月每周固定周几去听数学文化讲座，若本月几次听讲座的日期之和是，则小玉是周________去听的讲座． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 【答案】 五 【分析】设小玉第一次去听讲座的日期为 ，分去了次和次两种情况列方程求解，结合日历验证即可． 【解析】设小玉第一次去听讲座的日期为，若本月去了次讲座，则日期分别为，，，， 根据题意得：， 解得， 观察日历可知，号是周五，且 ，，， 均在该月内，符合题意； 若本月去了 次讲座，则日期分别为，，，，， 根据题意得：， 解得， ∵日期必须为正整数， ∴此种情况不成立， 综上所述，小玉是周五去听的讲座．故答案为五． 15．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个月实际用水为________立方米． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据水费分段收费规则建立方程求解即可． 【解析】设该职工这个月实际用水x立方米，根据题意，得 ， 化简得， 即， 解得． 故答案为14． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）若是关于x的一元一次方程． （1）求m的值； （2）若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【解析】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 17．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． （1）若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； （2）若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； （3）若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1） （2）的值为2或4或6 （3） 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据解是正整数，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求解． 【解析】（1）解：（1）解方程，得， 解方程，得． 因为方程与方程互为“唯美方程”， 所以，解得． （2）解：解方程，得． 因为两个一元一次方程互为“唯美方程”， 所以关于的一元一次方程的解为． 因为一元一次方程的解是正整数，也是正整数， 所以是正整数， 所以或或，即或或， 所以正整数的值为2或4或6． （3）解：解方程，得， 所以关于的一元一次方程的解是． 将整理，得， 所以，解得． 18．（9分）若关于x的方程的解比的解大1，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根据两方程解的关系求参数，先求解，再求解，由已知条件得出，进而求得m的值． 【解析】解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程比的解大1， ∴， 解得． 19．（9分）已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【解析】， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 20．（9分）已知是关于的一元一次方程． （1）求，的值． （2）求的值． （3）判断，是不是该方程的解． 【答案】(1)，． （2） （3）不是该方程的解，是该方程的解． 【分析】（1）依据一元一次方程定义和二次项系数为未知数次数为1列方程组求； （2）先去括号合并同类项化简代数式 再代入数值计算结果； （3）把代入得到完整一元一次方程 分别将两个值代入方程左边验证是否等于． 【解析】（1）解：由题意，得，， 所以，． （2）． 当，时， 原式． （3）解：由（1）知，原方程为． 当时，； 当时，． ∴不是该方程的解， ∴是该方程的解． 21．（10分）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【解析】设容器内水将升高，由题意，得： 解得， 答：容器内水将升高． 22．（10分）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值和方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知，解一元一次方程即可求出m的值．再把代入原方程，得出关于x的一元一次方程求解即可． 【解析】∵已知方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 把代入原方程，此时方程变为一元一次方程， 解得：． 23．（10分）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． （1）若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是 　 　； （2）点A表示数，点B表示数5，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 【答案】(1)， （2）①点P表示的数为或或0；②P表示的数为或或 【分析】（1）根据新定义内容，结合数轴上两点间距离公式求解； （2）①根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解； ②根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴是点A，B的“关联点”； ∵，，， ∴不是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴， ∴是点A，B的“关联点”； ∵，，， ∴不是点A，B的“关联点”； 所以点A，B的“关联点”的是，； （2）解：设P点在数轴上表示的数为p， ①∵P在点B左侧，则： （Ⅰ）当P点在之间时， 若时，， 解得：； 若时，， 解得：； （Ⅱ）当P点在A点左侧时， 若，， 解得：， ∴当P点在B点左侧时，点P表示的数为或或0； ②∵点P在B点右侧，则： （Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时， ， 解得：； （Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时， 则， 解得：； 或， 解得：； （Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时， ， 解得：， ∴点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为或或． 【点睛】本题考查了数轴和数轴上两点间距离公式，理解新定义和分类讨论是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各式中，属于方程的是（ ） A． B． C． D． 2．某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．甲乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是40千米/时，若2小时后甲船比乙船多航行50千米，求水流速度．设水流速度为千米/时，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙两队共同修建一条长米的乡村公路，甲队每天修米，乙队每天修米.若两队同时开工，设x天可以修完，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 6．某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴，已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．要使每天生产的书签和冰箱贴刚好配套，且每位工人只生产书签和冰箱贴中的一种，则厂家安排生产书签的工人人数是（ ） A．35 人 B．40人 C．45人 D．50人 7．一个两位数，十位数比个位数字小，而且这个两位数比它各个数位上的数字之和的倍大，则这个两位数是（ ） A． B． C． D． 8．下面不能用方程“”来表示的是（ ）． A． B． C． D． 9．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 10．如图，一副三角板（ ）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．王芳同学做到这样一道题：如果，那么□表示的数是________． 12．《诗经》是我国第一部诗歌总集，内容分为《风》，《雅》，《颂》三部分，共有篇．其中《雅》的篇数的倍比《风》与《颂》的篇数和多篇，则《雅》有多少篇？如果设《雅》的篇数为，则可列方程为________． 13．小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有________个碧根果． 14．下面是某月的月历，小玉在该月每周固定周几去听数学文化讲座，若本月几次听讲座的日期之和是，则小玉是周________去听的讲座． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 15．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个月实际用水为________立方米． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）若是关于x的一元一次方程． （1）求m的值； （2）若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 17．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． （1）若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； （2）若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； （3）若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 18．（9分）若关于x的方程的解比的解大1，求m的值． 19．（9分）已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 20．（9分）已知是关于的一元一次方程． （1）求，的值． （2）求的值． （3）判断，是不是该方程的解． 21．（10分）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 22．（10分）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值和方程的解． 23．（10分）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． （1）若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是 　 　； （2）点A表示数，点B表示数5，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $