第五章一元一次方程同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

第五章一元一次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如果是方程的解，那么常数的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 3．某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 4．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 5．下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 6．设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 7．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（　　） A．5 B．3或5 C． D．或5 8．假设“”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 10．已知，字母为任意有理数，下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列方程变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．某车间有20名工人，每人每天能生产12个甲种部件或10个乙种部件，2个甲种部件和5个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，则安排生产甲种配件的工人人数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．3 二、填空题 13．若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是 __边形． 14．当_______时，关于的方程是一元一次方程． 15．如果代数式与的值互为相反数，则的值为______． 16．当______时，代数式的值是． 17．方程的解是______． 三、解答题 18．解方程：． 19．解方程：． 20．【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒． 【初步感知】 (1)如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，下图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？___________（填序号） 【操作探究】如图①，小明准备在边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． (2)若，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． (3)若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm， （Ⅰ）这个纸盒的底面积是___________，高是___________cm（用含a、x的代数式表示）． （Ⅱ）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，纸盒的容积为___________． (4)思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式，，1，，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 21．学校将学生按年级、班级、班内座号的顺序给每一位学生编号，如7年级12班26号学生的编号为071226．小浩同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在4×4的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij（其中i、j＝1，2，3，4），例如图1中，第2行第3列的数字a23＝1．规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4． (1)若A1表示所在年级，A2表示所在班级，A3表示编号的十位数字，A4表示编号的个位数字．图1是小浩同学的身份识别图案，请直接写出小浩同学的编号为______； (2)小浩同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示所在年级的数加4，A2表示所在年级的数乘2后减2再减所在班级的数，将编号的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A3表示、个位数字用A4表示，9年级5班39号的小方同学，编号为090539，其加密后的身份识别图案中，A1＝9+4＝13，A2＝9×2﹣2﹣5＝11，93+2＝95，所以A3＝9，A4＝5，则加密后的编号为131195． ①请在图2中画出小方同学加密后的身份识别图案； ②图3是小乐同学加密后的身份识别图案，由于被损坏看不清第4行，但已知加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16，请求出小乐同学的编号． 22．个人所得税征收标准：个人收入不超过5000元的不纳税；个人收入超过5000元的，超过部分按下面的标准征税： 级数 金额 税率 1 不超过3000元部分 2 超过3000元至12000元部分 3 超过12000元至25000元部分 (1)王阿姨的月收入是7000元，她每月应缴纳个人所得税多少元？ (2)某月李叔叔缴纳个人所得税810元，李叔叔的税后收入是多少元？ 23． 定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数，与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数； (2)若，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由； (3)若，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值． 24．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 《第五章一元一次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C A D D C C D 题号 11 12 答案 C B 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程．将代入，即可求得常数的值． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故选：D 2．D 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据配套关系列方程的方法是解题的关键．根据题意可知人生产螺栓，则有人生产螺母，然后根据螺栓总数螺母总数，即可列出相应的方程． 【详解】解：设人生产螺栓，则有人生产螺母， ， 故选：A． 4．C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分． 设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案． 【详解】解：设共胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得：，即这个队胜了5场． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键． 把代入方程，判断方程的两边是否相等即可判断． 【详解】解：、把代入，左边右边， ∴符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 故选：． 6．D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 7．D 【分析】分三种情况讨论：当在上时，当在上时，当在上时，如图，再利用面积列方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解： 长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点， 当在上时， 当在上时， 解得： 当在上时，如图， 解得：，经检验不符合题意，舍去， 所以当△APE的面积为5cm2时，x的值为5s或s， 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，根据点的运动位置作分类讨论是解本题的关键. 8．C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据图得出三者之间的关系式是解题的关键．由第一个天平可知，，由第二个天平可知，，即可解答． 【详解】解：由第一个天平可知，， 由第二个天平可知，， ∴， ∴“？”处应放△的个数是6， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数x的次数必须为1，且系数不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：C 10．D 【分析】根据等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、等式两边同时加上m，依据等式的基本性质1，∴所得等式成立； B、等式两边同时加上﹣m，依据等式的基本性质1，∴所得等式成立； C、等式两边同时乘以m，依据等式的基本性质2，∴所得等式成立； D、等式两边同时除以1＋m，而1＋m有可能为0，则所得等式无意义，∴此等式不一定成立． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 11．C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原方程变形正确，不符合题意； B、若，则，原方程变形正确，不符合题意； C、若，则，原方程变形错误，符合题意； D、若，则，原方程变形正确，不符合题意； 故选：C． 12．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列一元一次方程是解题的关键． 设应安排名工人生产甲种配件，安排名工人生产乙种配件，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设应安排名工人生产甲种配件，安排名工人生产乙种配件， 依题意得，， 解得，， ∴安排生产甲种配件的工人人数是5人． 故选：B． 13．六 【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可． 【详解】解：设此多边形有条边，由题意， 得， 解得， 这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查多边形的对角线；解题关键在于理解题意找出等量关系列出方程． 14． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，形如，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式为一元一次方程，据此可得且，求解即可获得答案． 【详解】解：若关于的方程是一元一次方程， 则有且， 解得． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查相反数与一元一次方程．根据相反数的定义“如果两个数互为相反数，那么它们的和为0”进行计算即可． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题主要考查了代数式的值为零的条件，掌握代数式的值为零的条件是解题的关键． 根据代数式的值为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了解一元一次方程； 移项后可得答案． 【详解】解：移项得：， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：． 19． 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 20．(1)①③④ (2) 如图所示： (3)（Ⅰ）；；（Ⅱ）20 (4)或6或9 【分析】（1）根据正方体的展开图进行判断即可； （2）根据题意画图即可； （3）（Ⅰ）根据题意列出代数式即可； （Ⅱ）根据底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，列出关于a的方程，解方程求出，然后求出纸盒的容积即可； （4）根据纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，得出，整理得：，根据t为正整数，求出m的值即可． 【详解】（1）解：图①③④都有5个小正方形，且通过折叠正好可以折叠成一个无盖的正方体盒子，图②中有6个小正方形，无盖的正方体盒子有5个面，所以图②不能折叠成一个无盖的正方体盒子； 故答案为：①③④； （2）解：正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （3）解：若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为， （Ⅰ）这个纸盒的底面积是，高是； 故答案为：；； （Ⅱ）∵当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为， ∴， 解得：， 当底面边长时，纸盒的容积为： ． 故答案为：20． （4）解：∵该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等， ∴， ∴， ∵t为正整数，m为正整数， ∴或6或9． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，列代数式，一元一次方程的应用，求代数式的值，解题的关键是理解题意，熟练掌握正方体的展开图． 21．(1)071143 (2)①见图，②081031 【分析】（1）由规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4，可分别求得A1、A2、A3、A4，从而可得小浩同学的编号； （2）①根据小方同学加密后的编号为131195，从而可求得各行与各列的数，可得图形； ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x，则可得加密后的末两位数为，从而可得原编号中末两位数为10(x−2)+1，根据“加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16”列出方程，即可求得x，从而求得原编号． 【详解】（1）由题意得：，，， 所以小浩同学的编号为071143 故答案为：071143 （2）①小方同学加密后的编号为131195 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 故可得图如下： ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x ∴加密后的编号末两位数为 ∴原编号中末两位数为10(x−2)+1 由题意得：10(x−2)+1=（10+x）+16 解得：x=5 ∴原编号中末两位数为10(5−2)+1=31 由A1=12得加密前的年级为12−4=8，由A2=4得加密前的班级为8×2−2−4=10 所以小乐同学原来的编号为081031． 【点睛】本题材料题，考查了有理数的运算、求代数式的值、解一元一次方程等知识，理解题意是关键． 22．(1)60元 (2)14390元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用王阿姨每月应缴纳的个人所得税（王阿姨的月收入，即可求出结论； （2）设李叔叔的月收入是元，根据李叔叔缴纳个人所得税810元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：她每月应缴纳个人所得税60元； （2）解：设李叔叔的月收入是元， （元），（元），， ，即． 根据题意得：， 解得：， （元）． 答：李叔叔的税后收入是14390元． 23．(1)， (2) 解：a与b是关于2的平衡数，理由如下： ∵， ∴ ， ∴a与b是关于2的平衡数； (3)非负整数k的值为0或1或3 【分析】本题考查整式的加减，解一元一次方程，解题的关键读懂“关于2的平衡数”的定义． （1）根据“关于2的平衡数”定义列式计算即可； （2）求出根据整式的加减计算法则求出，再根据“关于2的平衡数”的定义判断； （3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴3与是关于2的平衡数． ∵， ∴与是关于2的平衡数； （2）略 （3）解：∵c与d是关于2的平衡数， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵x为正整数，k为非负整数， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴非负整数k的值为0或1或3． 24．(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）解方程，再将求出的解代入方程即可求出； （2）解关于的方程，再将求出的解代入方程即可求出． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得，   合并同类项，得， 两边都除以5，得． 把代入，得，所以． （2）由方程，得．把 代入，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以11，得． 学科网（北京）股份有限公司 $