第一章 丰富的图形世界（单元自测）数学新教材北师大版七年级上册

第一章 丰富的图形世界 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个几何体中，属于棱柱的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的识别，逐一判断各选项中的立体图形即可． 【解析】A、是圆台，不符合题意； B、是棱锥，不符合题意； C、是圆锥，不符合题意； D、是棱柱，符合题意； 故选D． 2．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题的关键． 根据观察、计算，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案． 【解析】长方体的长为，宽为，高为1，则容积为． 故选C． 3．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从上面看到的图形如图所示：故选A． 4．下列说法不正确的是（ ） A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形 B．五棱柱有10个顶点 C．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱 D．将折起的扇子打开，属于“线动成面”的现象 【答案】C 【分析】直角三角形绕边旋转所得几何体为锥体，可优先判断该选项，再验证其余选项． 【解析】A.用一个平面去截一个正方体，可能截得五边形，该说法正确． B.棱柱有个顶点，五棱柱的顶点数为，该说法正确． C.沿直角三角形的直角边所在直线旋转一周得圆锥，沿斜边所在直线旋转一周得两个同底圆锥的组合体，均不是圆柱，该说法错误． D.将折起的扇子打开，属于“线动成面”的现象，该说法正确．故选C． 5．观察如图所示的几何体，从正面看到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体从正面观察即可求出答案． 【解析】从正面看有3个正方形，左边第一排2个，第二排1个，如图所示， ．故选A． 6．下列说法错误的是（ ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 【答案】C 【解析】A．长方体、正方体都有6个面，说法正确，不符合题意； B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点，说法正确，不符合题意； C．三棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，说法错误，符合题意； D．圆锥由一个平面和一个曲面围成，说法正确，不符合题意．故选C． 7．一个几何体是由n个相同的小立方块堆成，从正面、上面看它所得的形状如图所示，则n的值不可能是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面和上面看到的形状图，然后分情况分析即可． 【解析】如图，①②中的小立方块个数至多有2个，至少1个；③中小立方块个数为1；③④中的小立方块个数至多有2个，至少1个； ∴的值可能为或或，故不可能有10个， 故选D． 8．下列说法正确的是（ ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．如图是正方体的展开图形，正方体的对面数字相等，则 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【答案】B 【分析】本题考查立体图形的基本性质与正方体展开图，掌握各类立体图形的展开图是解题关键． 根据各类立体图形的基本特征，结合选项逐一分析． 【解析】 A．五棱柱上下底面各有5个顶点，共10个顶点；棱包括上下底面的棱和侧棱，上下底面各5条棱，侧棱有5条，共15条棱；面包括上下2个底面和5个侧面，共7个面，选项说法错误，不符合题意； B．据题图可知，正方体中所对数字是，所对数字是4，故，选项说法正确，符合题意； C．圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，选项说法错误，不符合题意； D．用平面去截一个正方体，最多与6个面相交，得到六边形，不可能得到七边形，选项说法错误，不符合题意． 故选B． 9．一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体（如图1），要得到一个几何体，使其从正面和从左面看到的形状图如图2所示，平台上至少还需再放正方体的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三视图，利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案． 【解析】由题意画出如图所示的几何体，所以平台上至少还需再放2个正方体．故选B． 10．下列说法中正确的有（ ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③柱体的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面可能是三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体、圆锥的几何特征，逐个判断每个说法的正误，统计正确个数得到结果. 【解析】逐个分析各说法： ①∵柱体包含棱柱、圆柱，柱体上下两个底面是全等的图形，大小相等，∴①正确； ②∵初中所学圆柱、圆锥的底面都是圆，∴②正确； ③∵柱体的底面可以是任意多边形，例如三棱柱的底面是三角形，不一定是四边形，∴③错误； ④∵长方体符合柱体定义，属于直四棱柱，一定是柱体，∴④正确； ⑤∵棱柱的侧面都是平行四边形（直棱柱侧面为长方形），不可能是三角形，∴⑤错误； 综上，正确的说法共有个．故选B． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后铺平，则剪开前与点D重合的顶点是点________． 【答案】 【分析】通过折叠想象确定各面的相对位置及公共顶点，利用相邻面公共边重合的性质进行推导即可． 【解析】将正方体展开图折叠还原，设中间无字母的面为前面，则其右边的面为右面，下边的面为下面，右面的下边与下面的右边在折叠后重合，即为正方体的右下棱，右面的右下顶点为点，下面的右下顶点为点，右面的右下顶点与下面的右下顶点重合， ∴点与点重合．故答案为$E$． 12．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是________． 【答案】①⑤ 【分析】根据圆柱展开图的特点进行判断即可． 【解析】①与⑤中由两个圆与一个长方形组成，且两个圆分别在长方形的两侧，从而经过折叠能围成圆柱，其它几个图不能经过折叠围成圆柱．故答案为①⑤． 13．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，融合了历史、哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．如图是一个茶叶盒，它的形状可近似看作几何体，若这个几何体有8个面，则它有________条棱． 【答案】 【分析】根据图形特征判断该几何体为棱柱，利用棱柱的面数公式确定底面边数，进而根据棱柱的棱数特征求解． 【解析】由图可知，该几何体近似看作一个棱柱， 棱柱有两个底面和若干个侧面，且侧面数等于底面边数，该几何体有个面， 棱柱有两个底面和6个侧面， 即该几何体是六棱柱. 六棱柱有 条侧棱，上、下底面各有 条棱， 棱的总数为．故答案为$18$． 14．平遥古城的文创团队设计了印有古城元素的正方体纪念品，其表面展开图印有“建”“设”“美”“丽”“平”“遥”六个字（如图所示）；在这个正方体中，与“平”字相对面的汉字是________ ． 【答案】建 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答． 【解析】在这个正方体中，与“平”字所在面相对的面上的汉字是建， 故答案为建． 15．以如图所示的三角形的一边为轴，将三角形旋转一周后所得到的几何体的形状可能是________（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】分三种旋转情况讨论，分别以直角边，直角边，斜边为旋转轴，判断旋转之后得到的几何体，选出符合条件的序号． 【解析】以直角边（或）为轴旋转：得到圆锥，图②是正放的圆锥，图③是斜放的圆锥，均符合； 以斜边（ ）为轴旋转：得到两个底面重合的圆锥（双锥体），图④是斜放的双锥体，符合； 综上，可能的形状是 ②③④ ．故答案为②③④． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． （1）这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ （2）这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】（1）5，长方形； （2）． 【分析】本题考查了认识立体图形，根据五棱柱的特征计算即可得解，熟练掌握五棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据五棱柱特征直接得出结论； （2）根据五个侧面面积相同，用一个面的面积乘以5求出结论． 【解析】（1）解：这个五棱柱有5个侧面，5个侧面形状都是长方形． （2）． 故这个五棱柱的所有侧面的面积之和是． 17．（9分）将长和宽分别为和的长方形分别绕图1、图2中的虚线旋转一周得到A，B两个几何体． （1）将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是________，这能说明的事实是________． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 （2）这两个几何体的体积相等吗？如果不相等，请通过计算说明哪一个体积较大． 【答案】（1）圆柱，C； （2）解：两个圆柱的体积不相等．图2的体积较大． 过程如下： 图1形成的圆柱的体积是； 图2形成的圆柱的体积是； ∵， ∴图2的体积较大． 【分析】（1）观察图形旋转，得出将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是圆柱，说明的事实是面动成体，即可作答． （2）根据圆柱的体积公式分别算出图1、图2的体积，再比较，即可作答． 【解析】（1）解：依题意，将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是圆柱，这能说明的事实是面动成体； （2）略 18．（9分）小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明共剪开了________条棱； （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法． （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）长方体共12条棱，根据平面图形中没有剪开的棱的条数，即可求出剪开了几条棱； （2）根据长方体展开图的情况可知，有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式计算即可． 【解析】（1）解：图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪开了条棱； （2）解：如图所示： 故小明在图1中补全图形有种方法； （3）解：长方体的高为：, ∴这个长方体纸盒的体积为． 19．（9分）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为________cm（用含，的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为________； 【问题进阶】 （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的外围周长最小为________cm． 【答案】（1）①③④（2）①；②294（3）50 【分析】本题考查平面展开图折叠成几何体，熟练掌握长方体表面积公式、体积公式，有一定的空间想象能力是解题的关键． （1）根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可； （2）①图所折成的盒子的底面是边长为的正方形，计算正方形的周长即可； ②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算求解即可； （3）根据边长最短的都剪、边长最长的不剪，据此进行计算求解即可． 【解析】（1）解：根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体， 故答案为①③④； （2）①图所折成的盒子的底面是边长为的正方形， 因此长方体纸盒的底面周长为， 故答案为； ②根据题意得，该长方体纸盒的长为、宽为、高为， 则长方体纸盒的体积为：， 故答案为； （3）如图所示：        则长方体表面展开图的外围周长最小为：， 故答案为． 20．（9分）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体． （1）搭成这个几何体共用了＿＿＿＿个小正方体； （2）请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）几何体的下面有个小正方体，上面有个小正方体，共有个小正方体； （2）根据几何体中小正方体的位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【解析】（1）解：搭成这个几何体共用了个小正方体； （2）略 21．（10分）综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 【答案】（1）④⑦； （2）； （3）如图所示：（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）根据图块的面积，可得出答案； （2）根据题意计算出图2中对应图块面积即可； （3）依据题意，在图3中补充图形即可． 【解析】（1）解：根据图像，编号⑥的图块面积为， 图中编号④与⑦的面积也为2， 故答案为④⑦． （2）解：由七巧板的规律可得： ，，， 所以，“小船”的面积为． （3）略 22．（10分）图中有哪些简单的几何图形？ 【答案】（1）正方形，直角三角形，平行四边形，梯形； （2）圆，三角形，长方形，梯形． 【分析】（1）按从外到内的顺序，识别七巧板中的正方形、直角三角形、平行四边形和梯形； （2）按从上到下的顺序，识别学生简笔画中的圆、三角形、长方形和梯形． 【解析】（1）整体外框是一个正方形； 内部由多个直角三角形组成； 包含一个平行四边形； 组合图形中包含梯形． （2）头部、眼睛、耳朵是圆； 鼻子是三角形； 嘴巴是长方形； 身体部分是梯形． 23．（10分）根据要求完成下面问题： （1）将正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它的展开图． （2）请你编一道类似（1）的题目．如果正方体是“无盖”的呢？ 【答案】（1） （2）答案不唯一，合理即可． 【分析】本题是一道有关正方体的展开图的题，结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【解析】（1）略 （2）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请画出它的展开图． 解： 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 丰富的图形世界 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个几何体中，属于棱柱的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．1 3．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（ ） A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（ ） A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形 B．五棱柱有10个顶点 C．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱 D．将折起的扇子打开，属于“线动成面”的现象 5．观察如图所示的几何体，从正面看到的图形是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（ ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 7．一个几何体是由n个相同的小立方块堆成，从正面、上面看它所得的形状如图所示，则n的值不可能是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．下列说法正确的是（ ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．如图是正方体的展开图形，正方体的对面数字相等，则 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 9．一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体（如图1），要得到一个几何体，使其从正面和从左面看到的形状图如图2所示，平台上至少还需再放正方体的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列说法中正确的有（ ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③柱体的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面可能是三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后铺平，则剪开前与点D重合的顶点是点________． 12．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是________． 13．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，融合了历史、哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．如图是一个茶叶盒，它的形状可近似看作几何体，若这个几何体有8个面，则它有________条棱． 14．平遥古城的文创团队设计了印有古城元素的正方体纪念品，其表面展开图印有“建”“设”“美”“丽”“平”“遥”六个字（如图所示）；在这个正方体中，与“平”字相对面的汉字是________ ． 15．以如图所示的三角形的一边为轴，将三角形旋转一周后所得到的几何体的形状可能是________（填序号）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． （1）这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ （2）这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 17．（9分）将长和宽分别为和的长方形分别绕图1、图2中的虚线旋转一周得到A，B两个几何体． （1）将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是________，这能说明的事实是________． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 （2）这两个几何体的体积相等吗？如果不相等，请通过计算说明哪一个体积较大． 18．（9分）小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明共剪开了________条棱； （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法． （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 19．（9分）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为________cm（用含，的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为________； 【问题进阶】 （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的外围周长最小为________cm． 20．（9分）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体． （1）搭成这个几何体共用了＿＿＿＿个小正方体； （2）请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 21．（10分）综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 22．（10分）图中有哪些简单的几何图形？ 23．（10分）根据要求完成下面问题： （1）将正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它的展开图． （2）请你编一道类似（1）的题目．如果正方体是“无盖”的呢？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $