第一章 丰富的图形世界 单元自测卷 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大版七年级上册数学第一章“丰富的图形世界”单元自测卷，以生活情境（路障锥、游戏币旋转）和文化素材（杜甫诗句、祖母绿晶体）为载体，覆盖棱柱、旋转体、截面等核心知识，注重空间观念与几何直观的考查，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|棱柱顶点/面数、旋转体形成、展开图顶点距离|结合祖母绿晶体考截面边数，体现科学情境真实性| |填空题|6题30分|点动成线/面动成体、正方体截面形状、旋转体体积|用杜甫诗句“雨丝”解释点动成线，渗透文化传承| |解答题|4题30分|几何体分类、旋转表面积、三视图小正方体个数、展开图还原长方体|分层设计，如展开图还原长方体考空间想象与推理意识|

第一章 丰富的图形世界（单元自测卷） 2026-2027学年七年级上册数学－北师大版 姓名： 学校： 班级： 1、 选择题（每小题5分，共40分） 1. 一个精美的礼物盒是一个10个面的棱柱，那么它有（ ）个顶点。 A. 10 B.15 C.16 D.20 2. 图中的几何体由（ ）个面围成。 A. 8 B.9 C.10 D.11 3. 下列平面图形沿虚线旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（ ）。 4. 如图所示的是正方形表面展开图，将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）。 A. D点 B.C点 C.B点 D.A点 5.生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）。 6.祖母绿属于绿柱石矿物，它的晶体通常为六棱柱形状，如果用平面切割六棱柱祖母绿，则截面形状不可能为（ ）。 A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.梯形 7.如图所示的是这个几何体从三个方向看到的形状图，那么构成这个几何体的小正方形的个数是（ ）。 A.5 B.6 C.7 D.8 8. 用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体最多需要（ ）个小立方块。 A.8 B.9 C.10 D.11 2、 填空题（每小题5分，共30分）。 9. 《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞。译文：喧降的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞。诗中描写雨滴落下来形成雨丝，用数学知识解释为 。 10.用一个平面去截正方体，下列关于截面（截出的面）形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形。其中所有正确结论的序号是（ ）。 11.如图，已知长方形的长为4 cm，宽为3 cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形。 （1）得到的立体图形的名称为（ ），这个现象用数学知识解释为（ ）； （2）这个几何体的体积（ ）立方厘米（结果保留π）。 12.一个n棱柱有18条棱，一条侧棱长10cm，底面每条边长都是5cm，则它是（ ）棱柱，侧面积为（ ），所有棱长的和为（ ）。 13.游戏币在桌面上快速旋转时，看上去像球，用数学知识解释为（ ）。 14. 将三边长分别为a、b、c的直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的形状是（ ）。 三、解答题（15、16每小题7分，17、18每小题8分，共30分） 15.将下列几何体进行分类：（在横线上填写序号即可） （1） 有顶点的几何体是（ ）。 （2） 截面可能为四边形的是（ ）。 （3） 能由平的面旋转形成的是（ ）。 （4） 截面不可能是圆形的是（ ）。 （5） 有顶点和有曲的面的是（ ）。 16.下图中的大长方形的长为8cm，宽为6cm，小长方形的长为4cm，宽为3cm，以大长方形的长边中点所在直线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为多少平方厘米。（结果保留π） 17. 由一些棱长为1cm的小正方体组成的几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如图所示。 (1) 该几何体是由多少个小正方体组成的。 （2）求出该几何体的体积。 （3）求出该几何体的表面积（包含底面）。 18.在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形。其中，小明同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分。根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明总共剪开了几条棱？ （2）现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请画出粘贴后的图形； （3）已知图③是小明剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积。 第一章 丰富的图形世界（单元自测卷） 2026-2027学年七年级上册数学－北师大版答案解析 1、 选择题（每小题5分，共40分） 1. 一个精美的礼物盒是一个10个面的棱柱，那么它有（ C ）个顶点。 B. 10 B.15 C.16 D.20 解析：根据n棱柱的顶点是2n的规律可知，这个精美的礼物盒是一个8棱柱，所以顶点个数为2×8=16（个）。选C。 2. 图中的几何体由（ B ）个面围成。 B. 8 B.9 C.10 D.11 解析：我们可以把几何体拆分为上下两部分分别计算面数，再减去重合的部分：计算上方四棱锥的面数，上方是四棱锥，底面和长方体重合，因此只算外露的4个侧面，共4个面。 计算下方长方体的面数，长方体本身有6个面，但是顶面和四棱锥的底面重合，不再外露，因此外露面数为：6−1=5 计算总面数，将两部分外露的面数相加，得到总面数：4+5=9最终答案：选B。 3. 下列平面图形沿虚线旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（ D ）。 解析：A项的图形竖直边与虚线重合，沿虚线旋转一周得到的是实心圆锥，不符合题干所示空心圆台的特征。 B项的图形竖直边与虚线重合，沿虚线旋转一周得到的是实心圆锥，不符合要求。 C项的图形竖直边与虚线重合，沿虚线旋转一周得到的是题干所示几何体的倒置实心圆台，与题干给出的空心几何体不符。 D项的图形竖直边与虚线存在间距，沿虚线旋转一周后，竖直边旋转形成内部空心圆柱的侧面，斜边旋转形成外部圆台的侧面，最终得到的几何体与题干所示完全一致。 答案选D。 4. 如图所示的是正方形表面展开图，将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ B ）。 B. D点 B.C点 C.B点 D.A点 解析：将正方体表面展开图折叠成正方体，分析各顶点位置关系：在正方体中，顶点间的最远距离为体对角线长度，对应体对角顶点。通过展开图折叠后的结构可知，顶点A与顶点C处于正方体的体对角线上，二者距离最远。答案选B。 5.生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ D ）。 解析：根据圆锥的基础几何性质：圆锥的侧面是曲面，侧面展开图为扇形。我们逐一分析选项： 选项A是三角形，不符合圆锥侧面展开图的特征； 选项B是长方形，是圆柱的侧面展开图，不符合要求； 选项C是带圆心的圆，圆是圆锥的底面，不是侧面展开图； 选项D是扇形，完全符合圆锥侧面展开图的特征。 因此答案选 D。 6.祖母绿属于绿柱石矿物，它的晶体通常为六棱柱形状，如果用平面切割六棱柱祖母绿，则截面形状不可能为（ ）。 A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.梯形 解析：本题考查平面截棱柱的截面边数规律，解题关键是明确：截面边数 = 切割平面与几何体表面的相交次数，六棱柱最多只有8个面，因此最多截出8条边的截面。 我们先明确前提：六棱柱一共有2个底面 + 6个侧面 = 8个面，平面切割几何体时，截面的每一条边都是切割平面和几何体一个面相交得到的，因此截面的边数最多等于几何体的总面数。接下来逐一分析选项： 七边形：当切割平面和5个侧面、2个底面相交，一共交7个面，就能得到七边形，因此A可能。 八边形：当切割平面和全部6个侧面、上下2个底面都相交，一共交8个面，就能得到八边形，因此B可能。 九边形：六棱柱一共只有8个面，最多只能交出8条边，不可能得到9条边的截面，因此C不可能。 梯形：当切割平面斜切，和2个侧面、2个底面相交，一共交4个面，就能得到梯形，因此D可能。 综上，答案选 C。 7.如图所示的是这个几何体从三个方向看到的形状图，那么构成这个几何体的小正方形的个数是（ A ）。 A.5 B.6 C.7 D.8 解析： 本题考查根据三视图判断几何体中小正方体的个数，解题关键是先根据俯视图确定底层个数，再结合主视图和左视图确定上层个数。我们按分层计数的方法逐步推导： 确定底层小正方体个数：俯视图能反映几何体底层的布局，俯视图有几个正方形，就说明底层有几个小正方体。本题俯视图有3个正方形，因此底层有3个小正方体。确定第二层小正方体个数：主视图有两层，左视图也有两层，说明几何体一共分为两层；结合主视图和左视图的高度信息，可得出第二层有2个小正方体，分别在底层前排两个小正方体的上方。 计算总个数：将两层的小正方体个数相加：3+2=5（个） 因此构成这个几何体的小正方体的个数是5个，答案选 A。 8. 用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体最多需要（ C ）个小立方块。 A.8 B.9 C.10 D.11 解析：根据从上面看到的形状图，可确定该几何体底层小立方块的分布：共5个位置，分为3行，第一列有3行，第二、三列仅中间行有位置。再根据从左面看到的形状图，可知该几何体最高为3层，且从前到后（对应左视图从左到右的列）各排允许的最大层数分别为3、2、1。要使小立方块数量最多，每个位置取允许的最大层数，将各位置的小立方块数量求和：3+2+2+2+1=10。答案选C。 二、填空题（每小题5分，共30分）。 9. 《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞。译文：喧降的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞。诗中描写雨滴落下来形成雨丝，用数学知识解释为 点动成线 。 答案：点动成线 解析：雨滴可看作几何中的“点”，雨滴下落的运动轨迹将无数个点连接起来，就形成了“线”（雨丝），这体现了数学中的“点动成线”原理。 10.用一个平面去截正方体，下列关于截面（截出的面）形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形。其中所有正确结论的序号是（ ①④ ）。 答案：①④ 解析：本题考查正方体截面的形状判断，核心是掌握正方体面、棱的位置关系，记住截面三角形一定是锐角三角形是解题关键。 我们逐个分析四个结论： 结论①：可能是锐角三角形，结论正确。当平面截正方体的三个相邻顶点时，可以得到等边三角形，三个内角都是60∘60∘，属于锐角三角形，因此存在锐角三角形截面。 结论②：可能是直角三角形，结论错误。若平面只和正方体的三个面相交得到三角形，利用正方体棱与面的垂直关系，可以证明截面三角形的任意内角都小于90∘90∘，不可能得到直角三角形。 结论③：可能是钝角三角形，结论错误。和直角三角形同理，可证明正方体的任意三角形截面的所有内角都是锐角，不存在钝角三角形。 结论④：可能是平行四边形，结论正确。当平面和正方体的四个面相交，且同时和正方体的两组对棱相交时，可以得到对边平行的四边形，即平行四边形，因此存在平行四边形截面。 综上，正确结论的序号是①④。 11.如图，已知长方形的长为4 cm，宽为3 cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形。 （1）得到的立体图形的名称为（ 圆柱 ），这个现象用数学知识解释为（ 面动成体 ）； （2）这个几何体的体积（ 36π或48π ）立方厘米（结果保留π）。 答案：（1）圆柱；面动成体（2）这个几何体的体积为36π或48π 解析：（1）长方形属于平面图形，绕一边所在直线旋转一周得到的立体图形是圆柱，该现象符合“面动成体”的几何原理。 （2）需分两种情况计算体积： 绕4 cm的边所在直线旋转一周，得到底面半径3 cm、高4 cm的圆柱，体积计算公式为V=πr2h，代入得： V=π×32×4=36π 绕3 cm的边所在直线旋转一周，得到底面半径4 cm、高3 cm的圆柱，代入公式得： V=π×42×3=48π 12.一个n棱柱有18条棱，一条侧棱长10cm，底面每条边长都是5cm，则它是（ 六 ）棱柱，侧面积为（ 300cm² ），所有棱长的和为（ 120cm ）。 答案：六；300cm²；120cm。 解析： 1. 确定棱柱类型：n棱柱总棱数为3n条，由3n=18得n=6，故为六棱柱；2. 侧面积计算：六棱柱侧面有6个长方形，每个面积=侧棱长×底面边长=10×5=50cm²，侧面积=6×50=300cm²；3. 所有棱长和：底面棱共2×6=12条，总长12×5=60cm，侧棱6条总长6×10=60cm，总和60+60=120cm。 13.游戏币在桌面上快速旋转时，看上去像球，用数学知识解释为（ 面动成体 ）。 答案：面动成体。 解析：把游戏币看作一个平面图形圆，绕直径旋转得到一个球。所以答案是面动成体。 14. 将三边长分别为a、b、c的直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的形状是（ ）。 答案：第一种情况：以a为底面半径，b为高的圆锥；第二种情况：以b为底面半径，a为高的圆锥；第三种情况：以为底面半径，a为高的圆锥和以为底面半径，b为高的圆锥组合图形； 解析：‌我们分三类讨论旋转轴的选择： （1）‌绕长度为a的直角边旋转，此时旋转轴为直角边a，另一条直角边b垂直于旋转轴，旋转后形成圆锥的底面半径，旋转轴长度a为圆锥的高，因此得到‌以a为底面半径，b为高的圆锥‌。 （2）‌绕长度为b的直角边旋转‌，此时旋转轴为直角边b，另一条直角边a垂直于旋转轴，旋转后形成圆锥的底面半径，旋转轴长度b为圆锥的高，因此得到‌以b为底面半径，a为高的圆锥‌。 （3）‌绕长度为c的斜边旋转，‌首先计算直角顶点到斜边的距离（即斜边上的高）：由直角三角形面积公式 ab = ch = c × r 可得底面半径r = 。旋转后，原三角形被斜边上的高分为两个小直角三角形，分别绕斜边旋转后，得到两个同底的圆锥：一个圆锥的高为原直角边a在斜边上的投影，高为a方向的分段；另一个圆锥的高为原直角边b在斜边上的投影，高为b方向的分段，二者底面半径均为 ，因此整体是‌以为底面半径，高分别对应a、b分段的两个圆锥组成的组合图形‌。 三、解答题（15、16每小题7分，17、18每小题8分，共30分） 15.将下列几何体进行分类：（在横线上填写序号即可） （6） 有顶点的几何体是（ ①②④⑥⑦ ）。 （7） 截面可能为四边形的是（ ①②③⑥⑦ ）。 （8） 能由平的面旋转形成的是（ ③④⑤ ）。 （9） 截面不可能是圆形的是（ ①②⑥⑦ ）。 （10） 有顶点和有曲的面的是（ ④ ）。 解析：（1）因为正方体、长方体、圆锥、四棱柱、三棱柱都有顶点，所以有顶点的几何体是①②④⑥⑦ ；（2）因为正方体、长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱截面都可能是四边形，所以截面可能为四边形的是①②③⑥⑦ ；（3）因为圆柱是由矩形旋转形成的立体图形，圆锥是由三角形旋转形成的立体图形，球是由圆形旋转形成的立体图形，所以能由平的面旋转形成的是③④⑤，（4）因为正方体、长方体、四棱柱、三棱柱都没有圆形截面，所以截面不可能是圆形的是①②⑥⑦；（5）因为圆锥是由一个顶点、一个扇形、一个圆组成的，所以有顶点和曲的面的是圆锥。 16.下图中的大长方形的长为8cm，宽为6cm，小长方形的长为4cm，宽为3cm，以大长方形的长边中点所在直线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为多少平方厘米。（结果保留π） 解析： 大长方形和小长方形绕轴旋转后分别形成大圆柱和空心的小圆柱，所求几何体的表面积由大圆柱的侧面积、大圆柱上下两底面的面积、小圆柱的侧面积三部分组成，小圆柱的上下底面属于几何体内部，不计入表面积。 大圆柱侧面积：π×8×6=48π 小圆柱侧面积：π×4×3=12π 大圆柱上下两底面的面积和：2×π×42=32π 总表面积为三部分之和：48π+12π+32π=92π 答：将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积92平方厘米。 17. 由一些棱长为1cm的小正方体组成的几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如图所示。 (2) 该几何体是由多少个小正方体组成的。 （2）求出该几何体的体积。 （3）求出该几何体的表面积（包含底面）。 解析：（1）如图，小正方形中的数字表示在该位置 小正方体的个数，所以该几何体是由2+1+3+1+1+2=10个小正方体组成的。 （2）该几何体的体积为10。 (3）该几何体的表面积=2x(6+6+6)+2x(1+1)=40。 18.在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形。其中，小明同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分。根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明总共剪开了几条棱？ （2）现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请画出粘贴后的图形； （3）已知图③是小明剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积。 答案： （1） 小明总共剪开了8条棱。 （2） 共有4种粘贴方法，粘贴示例如下： （3） 这个长方体纸盒的体积为12。 解析： （1） 长方体一共有12条棱，剪成图①、图②两部分后，剩余未被剪开的连接棱共有4条，因此剪开的棱数为12−4=8条。 （2） 依据长方体展开图的邻接规则，图②可以粘贴在图①的4个符合拼接逻辑的空缺边处，粘贴后均可折叠还原为完整长方体，一共有四种情况。 （3） 设长方体的高为Xcm，结合图③标注的尺寸推导长宽： 宽长=(4−x)cm=7−(4−x)=(3+x)cm 根据底部总长度标注可列方程：4+(3+x)=8，解得x=1。 代入得长为4cm，宽为3cm，高为1cm，体积计算如下： V=长×宽×高=4×3×1=12 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $