第3章 代数式（单元自测）数学新教材苏科版七年级上册

第3章 代数式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子：中，代数式的个数是（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示： 输入 … 1 2 3 4 5 6 … 输出 … 4 16 36 … 那么当输入数据为9和10时，输出的数据分别为a和b，则的值为（ ） A． B．19 C．181 D． 4．下列说法正确的是（ ） A．系数是，次数是2 B．多项式是二次三项式 C．一定是一个正数 D．一定是一个正数 5．下列选项中，能用表示的是（ ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个长方形的面积： 6．下列说法正确的是（ ） A．是六次多项式 B．不是单项式 C．的系数是，次数是2次 D．是多项式 7．下列说法中正确的是（ ） A．是单项式 B．的系数是 C．是二次二项式 D．与是同类项 8．观察这列单项式：，，，，…，按此规律排列，第n个单项式是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．请写出一个系数为且只含有字母、的三次单项式________． 10．若整式 的值与字母x的取值无关，则的值为________． 11．若与是同类项，则________． 12．已知，则________． 13．已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 14．，，三点在数轴上所表示的数为，，，一根长为个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点与点重合），当木棒以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点、分别从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，、运动后对应的位置为、，若为常数，则 ________． 15．若关于x的多项式是三次三项式，则n的值为________． 16．观察下列单项式：，，，，，…按此规律，第n个单项式是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6分）已知，，当时，求的值． 18．（6分）在做一道数学题：“已知多项式，，试求的值”时，某同学误将看成，结果答案为（其他计算过程正确）． （1）试求的正确结果； （2）若，求的值． 19．（6分）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． （1）求m、n的值； （2）将这个多项式按x的降幂排列． （3）若 ，求该多项式的值． 20．（6分）港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和．请根据这些数据回答下列问题： 港珠澳大桥主体工程示意图 （1）直接写出汽车在主桥上行驶的路程为________；（用含t的代数式表示） （2）如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的倍，请用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长； （3）如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，请用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度差． 21．（7分）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： （1）用“>”、“<”、“=”填空： 0， 0， 0； （2）化简：； （3）若，，求（2）中的值． 22．（7分）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）请用含的代数式表示下面的问题： 大长方形的长________； 阴影的周长________． （2）请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 23．（7分）化简、求值 （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 24．（7分）【知识回顾】 数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： （1）表示数x和　　所对应的两点之间的距离； （2）代数式的最小值为　　； 【继续推理】 （3）若，则x的值为　　； 【问题解决】 （4）已知代数式（m是常数）．根据m的不同取值，写出对应的x的值（用含m的代数式表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据符合代数式书写规范，对四个式子逐一分析，再作判断． 【解析】，数字写成分数形式，乘号省略，故A符合规范； ，有乘号且数字未写在字母前，应写成，故B不符合规范； ，使用带分数，应写成，故C不符合规范； ，使用除法符号，应写成，故D不符合规范． 故选A． 2．下列式子：中，代数式的个数是（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，数与字母经过加减、乘除、乘方、开方运算是代数式． 代数式是指用把数或表示数的字母连接起来的式子． 【解析】在中， 代数式有，共有5个； 故选B． 3．小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示： 输入 … 1 2 3 4 5 6 … 输出 … 4 16 36 … 那么当输入数据为9和10时，输出的数据分别为a和b，则的值为（ ） A． B．19 C．181 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律的探究，解题的关键是找出输入数据与输出数据的对应关系． 通过观察可知，输出数据的规律为：当输入数据为时，输出数据为；据此，当时，；当时，，则． 【解析】由输入与输出数据的规律，得： 当输入为时，； 当输入为10时，； 则． 故选B． 4．下列说法正确的是（ ） A．系数是，次数是2 B．多项式是二次三项式 C．一定是一个正数 D．一定是一个正数 【答案】B 【分析】通过单项式和多项式的相关定义判断A、B选项，取特殊值排除C、D选项． 【解析】A选项，的系数是，次数是，故A错误，不符合题意； B选项，多项式共有3项，最高次项次数为2，是二次三项式，故B正确，符合题意； C、D选项，当时，不是正数，也不是正数，故C、D错误，不符合题意．故选B． 5．下列选项中，能用表示的是（ ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个长方形的面积： 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键．根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式进行解答即可． 【解析】A. 该项图中整条线段的长度为，故不符合题意； B. 该项图中整条线段的长度为，故不符合题意； C. 该项图中长方形的周长为，故符合题意； D. 该项图中长方形的面积为，故不符合题意． 故选C． 6．下列说法正确的是（ ） A．是六次多项式 B．不是单项式 C．的系数是，次数是2次 D．是多项式 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式、多项式的相关概念，正确把握相关概念是解题关键． 直接利用单项式的次数与系数的概念、多项式的相关概念分别判断得出即可． 【解析】∵ 对于A：的次数为3，的次数为4， ∴ 最高次项次数为4，不是六次多项式，故本选项不符合题意； 对于B：x是数字与字母的积，是单项式，故本选项不符合题意； 对于C：的系数为，次数为a和b的指数之和2，故本选项符合题意； 对于D：含有分母a，不是整式，故本选项不符合题意． 故选C． 7．下列说法中正确的是（ ） A．是单项式 B．的系数是 C．是二次二项式 D．与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式、同类项的定义．根据单项式和多项式、同类项的定义进行判断． 【解析】A．是多项式，原说法错误，不符合题意； B．的系数是，原说法错误，不符合题意； C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D．与是同类项，原说法正确，符合题意． 故选D． 8．观察这列单项式：，，，，…，按此规律排列，第n个单项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律探究，解题的关键是分别分析系数和字母部分的变化规律，再综合得出第个单项式的表达式． 先观察系数依次为，可得系数为；再观察字母部分的指数依次为，可得字母部分为；将系数与字母部分结合即可得到第个单项式． 【解析】观察这列单项式的系数：，，，，…， 则第项的系数为； 观察字母部分：，，，，…， 则第项的字母部分为； 因此，第个单项式为． 故选A． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．请写出一个系数为且只含有字母、的三次单项式________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的定义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【解析】依题意，一个系数为，且只含有字母，的三次单项式为：， 故答案为（答案不唯一） 10．若整式 的值与字母x的取值无关，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，令含项的系数为0，列式计算即可． 【解析】 ； ∵整式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 11．若与是同类项，则________． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，乘方，掌握相关知识点是解题的关键． 根据同类项所含字母相同且相同字母的指数也相同，列出方程求解m和n的值，再代入计算，即可求解． 【解析】与是同类项， ， ， ． 故答案为． 12．已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算与代数式的化简，掌握整体代入思想是解题关键． 将表达式化简后，利用已知条件整体代入计算． 【解析】已知可得， 则． 故答案为． 13．已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解． 先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出、、的值；最后代入计算的值． 【解析】 ∵ 该多项式与恒等 ∴ ，解得 ∴ ，解得 ∴ ，即， ． 故答案为． 14．，，三点在数轴上所表示的数为，，，一根长为个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点与点重合），当木棒以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点、分别从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，、运动后对应的位置为、，若为常数，则 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，数轴及列代数式，能根据题意分别表示出点，点及点运动后的点所表示的数是解题的关键．根据题意，设运动时间为秒，用分别表示出和的长度，再由为常数，得出含有的代数式，根据代数式的取值与无关，得出的系数为，即可解决问题． 【解析】由题知，点表示的数为，且， ∴点表示的数为， 设运动时间为秒， 则表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 则， ∵为常数， ∴， 解得． 故答案为． 15．若关于x的多项式是三次三项式，则n的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数的定义，解题的关键是根据三次三项式的定义确定次数和项数的条件． 根据“三次三项式”的定义，先由次数为3得求的可能值，再由项数为3得，最终确定的值． 【解析】由题意，多项式为三次三项式，则最高次项指数满足， 解得 ，即 或 ． 当 时，系数 ，第一项为零， 多项式变为 ，是二项式，不符合题意； 当 时，系数 ，指数 ， 多项式为 ，是三次三项式，符合题意． 故 ． 故答案为． 16．观察下列单项式：，，，，，…按此规律，第n个单项式是________． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的变化规律．观察单项式的系数符号、数值和的指数变化规律，系数的绝对值是项数，符号交替变化；的指数比项数大，据此进行解答即可． 【解析】由给定单项式序列可知，第个单项式的系数符号由决定，系数的绝对值为，的指数为，因此第个单项式为． 故答案为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6分）已知，，当时，求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减与化简求值，把，，代入，然后利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把代入化简后的式子进行计算即可． 【解析】∵，， ∴ ， 当时， ． 18．（6分）在做一道数学题：“已知多项式，，试求的值”时，某同学误将看成，结果答案为（其他计算过程正确）． （1）试求的正确结果； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【分析】本题考查了整式的加减计算，准确的计算是解决本题的关键． （1）由题意得，即可求解； （2）由（1）得，并将代入求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，且， ∴ （5） ； （2）解：将代入得， ． 19．（6分）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． （1）求m、n的值； （2）将这个多项式按x的降幂排列． （3）若 ，求该多项式的值． 【答案】（1）  ， （2） （3） 【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． （3）根据非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【解析】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． （3）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ； 【点睛】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，非负数的性质．掌握基础概念是解本题的关键． 20．（6分）港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和．请根据这些数据回答下列问题： 港珠澳大桥主体工程示意图 （1）直接写出汽车在主桥上行驶的路程为________；（用含t的代数式表示） （2）如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的倍，请用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长； （3）如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，请用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度差． 【答案】（1） （2）香港口岸到西人工岛的全长为 （3）主桥与海底隧道的长度差为 【分析】本题考查了整式的加减的应用． （1）依据题意，利用路程=速度×时间进而可以列式计算得解； （2）利用路程=速度×时间，计算即可得到答案； （3）利用路程=速度×时间，列式求出主桥与海底隧道的长度相差，进而计算可以得解． 【解析】（1）解：∵汽车在主桥上行驶的平均速度为， ∴汽车在主桥上行驶的路程为， 故答案为； （2）解：∵汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的倍， ∴从香港口岸到东人工岛的时间是， ∴香港口岸到西人工岛的全长为：； （3）解：∵汽车通过主桥需要， ∴在主桥上行驶路程是， ∵通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少， ∴汽车在海底隧道行驶的时间是， ∴在海底隧道行驶路程为， ∴主桥与海底隧道的长度差为． 21．（7分）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： （1）用“>”、“<”、“=”填空： 0， 0， 0； （2）化简：； （3）若，，求（2）中的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【分析】本题考查了有理数大小比较，整式的加减，数轴，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据有理数大小比较的方法即可得到结论； （2）根据绝对值的意义即可得到结论； （3）把b的值代入代数式即可得到结论． 【解析】（1）解：观察数轴可知：，且， ∴， 故答案为>；<；>； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，且， ∴， ∴当，时，， ∴（2）中的值为2． 22．（7分）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）请用含的代数式表示下面的问题： 大长方形的长________； 阴影的周长________． （2）请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】（1）①，② （2） 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为： ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【解析】（1）解：大长方形的长可表示为：； 故答案为； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为； 故答案为； （2）略 23．（7分）化简、求值 （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） (2)，2 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值． （1）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【解析】（1）解：原式 （2）解：原式， 当，时，原式． 24．（7分）【知识回顾】 数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： （1）表示数x和　　所对应的两点之间的距离； （2）代数式的最小值为　　； 【继续推理】 （3）若，则x的值为　　； 【问题解决】 （4）已知代数式（m是常数）．根据m的不同取值，写出对应的x的值（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）﹣3 （2）8 （3）3和 （4）当时，x不存在； 当时，或； 当时，或 【分析】（1）根据题干给出的数轴上两点之间的距离可得结果； （2）根据两点之间的距离的定义可知的最小值就是； （3）在（2）的基础上，可以看出，此时x在﹣3及右侧和5的左侧或5的右侧，再进行解答； （4）在（2）的基础上，可知，m有三种取值：，，，分别求解即可． 【解析】（1）解：表示数x和﹣3所对应的两点之间的距离． 故答案为﹣3； （2）当时，代数式的最小值为． 故答案为8； （3）当x在﹣3及右侧和5的左侧时， 解得； 当x在5的右侧时， 解得． 故x的值为3和． 故答案为3和； （4）当时，x不存在； 当时，或； 当时，或． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解绝对值的意义，利用分类讨论思想解题是关键 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $