第四章 代数式（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版七年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章代数式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.B 9.A 10.B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.9803 1 .55a13b42155b42a13 1351 13.是 215 14.-8a2+a+4 15.1518 16.-4 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解1解0)2a+ab-3号c-b+1 =2a2+2ab-2a2+3ab+1 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5ab+1. 当a=2,b=-1时，原式=5ab+1=5×2×-1+1=-9. 4分 (2)3x-2y+5x+2y-1-2 =3x-6y+5x+10y-5-2 =8x+4y-7. 2x+y=3, ∴.原式=42x+y-7=4×3-7=5. 8分 18.(8分) 【详解】(1)证明：由题意可得：AB=CD,AD=BC, C,=2AD+2CD-b=2AD+2CD-2b' C2=2AB+2AD-b=2AD+2CD-2b' .C1=C2. 3分 (2)解：S,=AB-al×a+CD-bAD-a=AB-a×a+AB-b×AD-a S,=AB AD-a+a-bAB-a ∴.S2-S=ABAD-a+a-blAB-a-AB-a×a-AB-b×AD-a =AD-aAB-AB+b+AB-aa-b-a) =b×AD-ab-b×AB+ab =bAD-AB) =2b, .AD-AB=2, .AD=8, .AB=6. 8分 19.(8分) 【详解】解：(1)①f1,4=1+2+3+4=10: 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②f2,5=1+3+5+7+9=25: 观察，得f2,n=1+3+5+…+2n-5+2n-3+2n-1, 则f2,n=2n-1+2n-3+2n-5+…+5+3+1, .2f2,n=1+2n-1+3+2n-3+5+2n-5+…+2n-5+5+2n-3+3+2n-1+1 =2n+2n+2n+.+2n+2n+2n=n2n=2n2 .∴f2,n=n2 2分 (2)由D知，f1,n=nmn+,f2,n=, 2 a=2df1,-mn-号号=-空 2 2 aa空 2 由an+1+an=36得n=36,解得n=6(负值不合题意，已舍去)： 所以n的值为6： 5分 (3)观察，得f3,n=1+4+7+.+3n-8+3n-5+3n-2, f3,n=3n-2+3n-5+3n-8+…+7+4+1, 2f3,n=n3n-1, .∴f3,n=n3n-1 2 f1,n=ahn-a2-山，f2,=-2n+2-2f3.n-a3n1-a3n2-g 2 2 根据规律知fm,n-nmn+2-m_mm-m-2n 8分 2 20.(8分) 【详解】(1)解：2×15+2×1.5×20-15+2×2×23-20=30+15+12 =57(元) 答：该用户这个月应缴纳57元水费： 2分 (2)解：当15<x≤20时， 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该用户应缴纳的水费为15a+1.5ax-15 =15a+1.5ax-22.5a =1.5ax-7.5a(元)： 故答案为：1.5ax-7.5a; 4分 (3)解：.甲用户缴纳的水费超过了30元， .∴.x>15 ①15<x≤20，则20≤40-x≤25， 甲：2×15+3×(x-15)=3x-15, 乙：15×2+5×3+4×(40-x-20)=125-4x, 共计：3x-15+125-4x=110-x: 5分 ②20<x≤25，则15≤40-x≤20， 甲：2×15+3×5+4(x-20)=4x-35, 乙：2×15+3×(40-x-15)=105-3x, 共计：4x-35+105-3x=x+70: ③25<x≤40，则0≤40-x≤15， 甲：2×15+3×5+4(x-20)=4x-35, 乙：2×(40-x)=80-2x, 共计：4x-35+80-2x=2x+45, 7分 答：甲、乙两用户共缴纳的水费：当15<x≤20时，共缴纳水费110-x元；当20<x≤25时，共缴纳 水费x+70元；当25<x≤40时，共缴纳水费2x+45元. 8分 21.(10分) 【详解】解：(1)根据题意，幻方和是中心数的3倍，即幻方和为-1×3=-3， .3+-1+a=-3, ∴.a=-5, 故答案为：-3，-5： 2分 (2)幻方和为A+B+C=-5+t-1+2t+6=3t, .中心数为3t÷3=t, 如图所示，设右下角的数为E, 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D E ∴.A+E+t=3t,即-5+E+t=3t .∴.E=2t+5, ∴.'C+D+E=2t+6+D+2t+5=3t .∴.D=-t-11: 5分 （3)设幻方和为S,则中心数为号 如图所示，设M、N, C N B S M .A=a,B=a+3, 根据题意，M=S-A-B=S-a-a+3=S-a-a-3=S-2a-3, .A=a,C=-ka+2, 根据题意，N=S-A-C=S-a--ka+2=S-a+ka-2=S+k-1a-2, 又：M+N+S=S, M+N-=2空即s-20-3+s+lk-1a-2 3 4s=3-ka+5, .幻方和与a的取值无关， .k=3: 9-3-ka+5=5, 解得S=15 4 则k的值为3，该幻方和S=15 10分 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分) 【详解】(1)解：①1324的千位数字a=1,个位数字d=4,则a+d=1+4=5;百位数字b=3,十 位数字c=2,则b+c=3+2=5,因为1+4=3+2，所以①是“平衡四位数”. ②2424千位数字a=2,个位数字d=4,a+d=2+4=6;百位数字b=4,十位数字c=2, b+c=4+2=6.因为2+4=4+2，所以②是“平衡四位数”. ③5698千位数字a=5,个位数字d=8,a+d=5+8=13;百位数字b=6,十位数字c=9, b+c=6+9=15.因为13≠15，所以③不是“平衡四位数”. ④7632千位数字a=7,个位数字d=2,a+d=7+2=9;百位数字b=6,十位数字c=3, b+c=6+3=9.因为7+2=6+3，所以④是“平衡四位数”. 综上，是“平衡四位数”的是①②④. 3分 (2)解：①解：M=abcd a≠0，d≠0是一个平衡四位数， ∴a+d=b+c, 将M的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N=dcba. .M=abcd=1000a+100b+10c+d,N=dcba=1000d+100c+10b+a. ∴.M+N=1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a =1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a =1001a+110b+110c+1001d =1001a+d+110b+c. .a+d=b+c. ∴.M+N=1001a+d+110a+d=1111a+d=101×11a+d, ∴.M与N的和能被11整除： 7分 ②.M+N能被5整除，M+N=101×11a+d, ∴.a+d能被5整除， 0<a≤9,0<d≤9， :.a+d=5或a+d=10或a+d=15, a、d最小时，M最小， .a=1,d=4,b=0,c=5时，满足条件的k阶平衡四位数M的最小， .满足条件的k阶平衡四位数M的最小值为1054. 10分 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 23.(10分) 【详解】(1)解：设S=1+3+32+33+34+…+310①， ①×3，得：3S=3+32+33+34+.+31②， ②-①，得：2S=31-1, 则5=3”-1 2 即1+3+32+3+3+…+30=3"1 2； 4分 (2)解：①由图形可知， 5好 … S2= 4202 1 故答案为：420 7分 ②设5=S,+5,+…+S=是++ 442 4 +…+1 420220 1 42023② ①-②得：】 - 11 442023 s非高 即S=S,+S2+…+S02= 10分 24.(10分) 【详解】解：(1)a1=1-1-1--2 331 7/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 0,=1-1=1-1=3 a2 1 3分 (2)a4=1-1-1-1=2 a3 33 a=1-1-1-1-1 22, 3 0=1-1-1-1-3 1 2-1+3=19 .a4+a+a。=32 6分 3》①数组1ab,e定为-1，号-3 ∴第-次变换后a1=1-日1-=2， b,=1-=1-1=-1 b 1 2 61-合1-3专变换后得到K致组2.-1，引 故答案为： 2,-13 : ②第2次变换后0，=1-1=1--1 a 22 611--2 c=1-1=1-1-1 C144,即变换后得到的数组为 2 3 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3次变换后0，=1-1=1-1 =-1 a21 2 11 22 =1-1-1-1 =- C2 1 3,即变换后得到的数组为-1，之-3 4 同理可得：0，=2b=-1、c4专 a7b,=2.c, 1 1 a=-1,b=2cg=-3 a+a+a,=a+a;+ag=a,+ag+a,=2+号-1=3 b,+b,tb,=b,+b,+bc=b,+b+b,=-1+2+号号 C+c+c3=c.+c+cg=c,+cg+co+-3=-1 12 ∴.a1+b1+C1+a2+b2+C2+…+ag+bg+Cg, =3a1+a2+a3+3b1+b2+b3+3C1+c2+c3' =3×*3*4 =1817 241 9 4 10分 9/9 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 代数式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴，进而求出摆条小鱼需要火柴棒的根数． 【详解】解：观察图形可知：第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴， ∴摆条小鱼需要火柴棒的根数为根． 2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 3．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项． 合并后结果为常数，说明含x、y的项的系数均为0，据此求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后的结果是3， ∴含x的项系数为0，含y的项系数为0， 即，， 解得，， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（　　） A．代数式的值恒大于零 B．当时，越大，的值就越大 C．当a取互为相反数的值时，的值相等 D．当a取互为倒数的值时，的值相等 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 利用非负数的性质、相反数与倒数的性质，通过推导或举例验证各选项的正误即可． 【详解】对于A，代数式有意义时，， 则，即，故A正确，不符合题意； 对于B，可举例判断，由得，取，，， ，故B错误，符合题意； 对于C，当a取互为相反数的值时，可取和， 当a取时，① ， 当a取时，② ，，故C正确，不符合题意； 当a取互为倒数的值时，可取和， 当a取时，①， 当a取时，②，，故D正确，不符合题意． 故选：B． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，进而得出，，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究．可通过设初始位置表示的数，根据每次移动的方向和单位长度推导移动后的位置规律，再结合落在原点的条件求解初始位置的数． 【详解】解：设在数轴上表示的数为． ∵第一次移动后位置为 第二次移动后位置为 第三次移动后位置为 第四次移动后位置为 …… 观察规律可知，完成第次移动后，位置为． 又∵第次移动后落在原点处，即位置为 ∴ 解得 所以初始位置表示的数为． 故选：B． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段的中点性质．根据已知得出，，结合图形得出 ，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，点B、C、F在同一直线上，为正方形与正方形的公共边，点G是边上的动点（不与点C、F重合）．若，，记阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，阴影部分③的面积为，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用代数式表示结合图形的面积，熟练掌握题意及图形中的面积计算是解题的关键．通过设未知数表示出各个正方形的边长，进而分别求出阴影部分①、②、③的面积，最后找出它们之间的数量关系． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ， ，正方形与正方形的边长为， 阴影部分①中，， 阴影部分②中，， 阴影部分③中，， ， 故选A． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例． 【详解】解：∵ 原多项式为， ① 选择d，e进行“加括号操作”，，故说法正确； ② 选择 进行“加括号操作”，，与原式相等，故说法正确； ③ 因为无论哪轮操作，的符号始终不变，所以操作结果与原式之和不可能为，故说法正确； ④ 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于4种，故说法错误； ∴ 错误说法为④，共 个． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 12．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 【答案】 / 1351 【分析】根据所给输出的结果，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… 因为输出结果的系数依次为1，2，3，5，8，13，…，输出结果的次数依次为1，2，3，5，8，…， 所以从第2个输出的结果开始，系数与次数按偶数，奇数，奇数循环， 则， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1351个． 13．（25-26七年级上·四川成都·期末）正整数都是两位数，将数放在数的左边组成一个四位数，交换两数的位置，又得到一个四位数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数，是“理想数对”．例如：，则，所以46和35是“理想数对”．请判断21和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理想数对”一共有__________对． 【答案】 是 215 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，有理数的乘方运算，对于第一空，求出对应的两个四位数，再表示出它们的差，进而根据定义可得结论；对于第二空，设两位数c和d是“理想数对”，且，根据定义可推出可得需为完全平方数，设（为非负整数），讨论k的值，从而确定c的值，进而可得答案． 【详解】解：将21放在10左侧组成的四位数为2110，将10放在21左侧组成的四位数为1021， ， ∴21和10是“理想数对”； 设两位数c和d是“理想数对”，且， 则组成的两个四位数分别为，， ， 根据题意可得需为完全平方数， ∵， ∴必须为完全平方数． ∵11是质数， ∴需为与某个完全平方数的乘积， 设（为非负整数） 又∵是两位数，即， ∴， 当时，，即，此时可取10到99的所有两位数，共对； 当时，，此时可取到的所有的两位数，共对； 当时，，此时可取到的所有的两位数，共对； 当时，，不符合题意，舍去． ∴所有符合题意的“理想数对”有对， 故答案为：． 14．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 【答案】 【分析】根据题意，列出等式，再利用整式的加减和去括号法则计算即可. 【详解】设这个式子为A， 由题意得： 所以 故答案为 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 【答案】 1518 【分析】本题考查代数式求值，通过赋值法，利用二项式展开式的性质，计算特定系数和． 【详解】由二项式定理，设 ． 计算 ， ， ． 由 ， 得 ． 又 ， 且 ， 所以 ． 于是 ． 因此 ． 故答案为 ：1518． 16．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零． 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·浙江·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值、代数式求值等知识点，灵活运用整体代入思想是解题的关键． （1）先通过去括号、合并同类项化简原式，再将、代入求值即可； （2）先通过去括号，合并同类项化简原式，再将整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ． 当，时，原式． 4分 （2） ． ∵， ∴原式． 8分 18．（8分）（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． 3分 （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 8分 19．（8分）（25-26七年级上·江苏苏州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写：①________； 通过观察归纳得：； ②________； 归纳得________（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数n，有 设（且n为正整数）， 若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：________（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）①10；②25；③；（2）6；（3） 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求和计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）①； ②； 观察，得， 则， ∴ ， ； 2分 （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得，解得（负值不合题意，已舍去）； 所以的值为6； 5分 （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 8分 20．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1.5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费______元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)该用户这个月应缴纳57元水费； (2) (3)当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元 【分析】本题主要考查了用代数式表示，整式的加减， （1）根据用水量的费用包括三部分，即的费用，和之间的部分费用，超过的部分的费用，再相加即可； （2）根据题意，用含有a，x的代数式表示即可； （3）分三种情况：，，，分别用代数式表示即可． 【详解】（1）解： （元）     答：该用户这个月应缴纳57元水费； 2分 （2）解：当时， 该用户应缴纳的水费为 （元）； 故答案为：； 4分 （3）解：甲用户缴纳的水费超过了30元， ①，则， 甲：， 乙：， 共计：； 5分 ②，则， 甲：， 乙：， 共计：； ③，则， 甲：， 乙：， 共计：． 7分 答：甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元． 8分 21．（10分）（25-26七年级上·江苏南京·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1），；（2）；（3），幻方和为 【分析】本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的特点，找到等式． （1）根据幻方和是中心数的3倍，即可求解； （2）根据，，，先求出幻方和，再利用幻方和是中心数的3倍，求出中心数，从而求出右下角的数，最后通过最后一行即可求解； （3）设幻方和为，则中心数为，如图所示，设、，由，，表示出，由，，表示出，又利用，可得 ，由题意，幻方和与a的取值无关，即可求出k的值及幻方和． 【详解】解：（1）根据题意，幻方和是中心数的3倍，即幻方和为， ， ， 故答案为：，； 2分 （2）幻方和为， 中心数为， 如图所示，设右下角的数为， ，即 ， ； 5分 （3）设幻方和为，则中心数为， 如图所示，设、， ，， 根据题意，， ，， 根据题意，， 又 ， ，即， ， 幻方和与a的取值无关， ； ， 解得， 则k的值为，该幻方和． 10分 22．（10分）（25-26七年级上·浙江台州·期末）若一个四位数满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和（即，则称这个四位数为“阶平衡四位数”．例如：四位数2334，因为，所以四位数2334是6阶平衡四位数． (1)下列四位数中，是“平衡四位数”的有_______（填写所有符合条件的序号）； ①1324；②2424；③5698；④7632． (2)若是一个阶平衡四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数， ①试说明：能被11整除； ②若又能被5整除，请直接写出满足条件的阶平衡四位数的最小值． 【答案】(1)①②④ (2) ①见后解析 ②1054 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握“平衡四位数”的定义是解答本题的关键． （1）根据“平衡四位数”的定义，即千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，对每个选项进行分析即可； （2）①根据“平衡四位数”的定义得出新的平衡四位数，再计算出，从而可与的和能被11整除； ②根据能被5整除，，得出能被5整除，从而求出或或，最后得出M的最小值即可． 【详解】（1）解：①1324的千位数字，个位数字，则；百位数字，十位数字，则，因为，所以①是“平衡四位数”． ②2424千位数字，个位数字，；百位数字，十位数字，．因为，所以②是“平衡四位数”． ③5698千位数字，个位数字，；百位数字，十位数字，．因为，所以③不是“平衡四位数”． ④7632千位数字，个位数字，；百位数字，十位数字，．因为，所以④是“平衡四位数”． 综上，是“平衡四位数”的是①②④． 3分 （2）解：①解：∵是一个平衡四位数， ∴， 将M的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数． ∵，． ∴ ． ∵， ∴， ∴与的和能被11整除； 7分 ②∵能被5整除，， ∴能被5整除， ∵，， ∴或或， ∵a、d最小时，M最小， ∴，，，时，满足条件的阶平衡四位数的最小， ∴满足条件的阶平衡四位数的最小值为1054． 10分 23．（10分）（25-26七年级上·浙江湖州·期中）【阅读】求值． 解：设①， 将等式①的两边同时乘以2得：②， 由②－①得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、、、，完成下列问题： ①小正方形的面积等于_____； ②求正方形、、、、的面积和． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查图形类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是： （1）令，则：，两式相减进行求解即可； （2）①，，，……，可得答案； ②仿照题干给定的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ，得：， ，得：， 则，即； 4分 （2）解：①由图形可知， ， ， ， ……， ∴ 故答案为：； 7分 ②设 ① 得：② 得： ∴ 即． 10分 24．（10分）【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1），，；  （2）   （3）     【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律等知识，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律是解答本题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）根据“倒数差”的定义列式计算即可； 先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：（1）， ， ； 3分 （2）， ， ， ； 6分 （3） 数组确定为， 第一次变换后， ， ，即变换后得到的数组为， 故答案为：； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 同理可得：，，， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 代数式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 3．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（　　） A．代数式的值恒大于零 B．当时，越大，的值就越大 C．当a取互为相反数的值时，的值相等 D．当a取互为倒数的值时，的值相等 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，点B、C、F在同一直线上，为正方形与正方形的公共边，点G是边上的动点（不与点C、F重合）．若，，记阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，阴影部分③的面积为，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 12．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 13．（25-26七年级上·四川成都·期末）正整数都是两位数，将数放在数的左边组成一个四位数，交换两数的位置，又得到一个四位数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数，是“理想数对”．例如：，则，所以46和35是“理想数对”．请判断21和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理想数对”一共有__________对． 14．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 16．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·浙江·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 18．（8分）（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．（8分）（25-26七年级上·江苏苏州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写：①________； 通过观察归纳得：； ②________； 归纳得________（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数n，有 设（且n为正整数）， 若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：________（用含m、n的式子表示）． 20．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1.5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费______元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 21．（10分）（25-26七年级上·江苏南京·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 22．（10分）（25-26七年级上·浙江台州·期末）若一个四位数满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和（即，则称这个四位数为“阶平衡四位数”．例如：四位数2334，因为，所以四位数2334是6阶平衡四位数． (1)下列四位数中，是“平衡四位数”的有_______（填写所有符合条件的序号）； ①1324；②2424；③5698；④7632． (2)若是一个阶平衡四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数， ①试说明：能被11整除； ②若又能被5整除，请直接写出满足条件的阶平衡四位数的最小值． 23．（10分）（25-26七年级上·浙江湖州·期中）【阅读】求值． 解：设①， 将等式①的两边同时乘以2得：②， 由②－①得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、、、，完成下列问题： ①小正方形的面积等于_____； ②求正方形、、、、的面积和． 24．（10分）【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 代数式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 3．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（　　） A．代数式的值恒大于零 B．当时，越大，的值就越大 C．当a取互为相反数的值时，的值相等 D．当a取互为倒数的值时，的值相等 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，点B、C、F在同一直线上，为正方形与正方形的公共边，点G是边上的动点（不与点C、F重合）．若，，记阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，阴影部分③的面积为，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 12．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 13．（25-26七年级上·四川成都·期末）正整数都是两位数，将数放在数的左边组成一个四位数，交换两数的位置，又得到一个四位数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数，是“理想数对”．例如：，则，所以46和35是“理想数对”．请判断21和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理想数对”一共有__________对． 14．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 16．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·浙江·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 18．（8分）（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．（8分）（25-26七年级上·江苏苏州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写：①________； 通过观察归纳得：； ②________； 归纳得________（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数n，有 设（且n为正整数）， 若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：________（用含m、n的式子表示）． 20．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）我市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1.5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为x立方米，当时，则该用户应缴纳的水费______元（用含a，x的代数式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了30元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的代数式表示）． 21．（10分）（25-26七年级上·江苏南京·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 22．（10分）（25-26七年级上·浙江台州·期末）若一个四位数满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和（即，则称这个四位数为“阶平衡四位数”．例如：四位数2334，因为，所以四位数2334是6阶平衡四位数． (1)下列四位数中，是“平衡四位数”的有_______（填写所有符合条件的序号）； ①1324；②2424；③5698；④7632． (2)若是一个阶平衡四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数， ①试说明：能被11整除； ②若又能被5整除，请直接写出满足条件的阶平衡四位数的最小值． 23．（10分）（25-26七年级上·浙江湖州·期中）【阅读】求值． 解：设①， 将等式①的两边同时乘以2得：②， 由②－①得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、、、，完成下列问题： ①小正方形的面积等于_____； ②求正方形、、、、的面积和． 24．（10分）【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $