第2章 有理数（单元自测）数学新教材苏科版七年级上册

第2章 有理数 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法：①0既可以表示正数，又可以表示负数；②若是有理数，则与必有一个是负数；③绝对值等于它本身的数是0和1；④与互为相反数；⑤整数包括正整数和负整数．其中正确说法的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在1.2，，，0，中，正数的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法中正确的是（ ） A．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正 B．绝对值大的数反而小 C．0除以任何数都等于0 D．乘以任何数都等于它的相反数 5．下列说法中正确的个数是（ ） ①若是正数，则一定是负数；       ②倒数是本身的数是和； ③两数相加，同号得正；                 ④一个有理数不是整数就是分数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，数轴上、两点分别对应有理数，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．下列说法：①一个有理数，它不是整数就是分数；②带有负号的数一定是负数；③异号两数相加，取较大的加数的符号；④一定是非正数；⑤若，则；⑥绝对值等于它本身的数是0和1．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．我国是世界上最早认识和使用负数的国家，《九章算术》中记载了“正负术”．如果正午时记作时，午后时记作时，那么上午时记作：________． 10．数轴上的点到的距离是2，则点表示的数为________． 11．已知，则的值为________． 12．对于有理数，若，则________．（填“”“”或“”） 13．下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为1；②若a、b互为相反数，则；③12个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当时，的最小值为3；⑤若，，则．其中正确的结论是________．（填正确结论的序号） 14．已知、互为相反数，、互为倒数，且，则的值为________． 15．对一个正整数，若将其各数位上的数字两两作差后取绝对值，再从大到小排列，得到一个新数，则称是的“绝对数”．如，将其各个数位上的数字两两作差，再取绝对值，分别为，那么的“绝对数”就等于．则的“绝对数”为________；若一个三位正整数的“绝对数”为，则满足条件的所有中最大值为________． 16．把下列各数的序号填在相应的横线上． ①-21；②10.5；③32；④；⑤-2.22；⑥；⑦；⑧0；⑨；⑩． （1）非负整数：{________…} （2）正分数：{________…} （3）正有理数：{________…} （4）负数：{________…} 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6分）某出租车司机某天下午的营运全在东西走向的人民大道上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程（单位：千米）如下： （1）将最后一名乘客送到目的地时，司机距离下午出车时的出发点多远？ （2）若汽车的耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 18．（6分）已知四个数． （1）请将这四个数表示在如图所示的数轴上． （2）将这四个数用“”连接起来． 19．（6分）给出下列各数：． （1）在这些数中，分数有________；非负整数有________；互为相反数的是________； （2）将这些数在数轴上表示出来，并把这些数用“”号连接起来． 20．（6分）如图，数轴上A、B、C三个点对应的数分别为，a，b． （1）判断：； （2）用圆规在数轴上作出原点O及表示数的点D．（写出必要的文字说明） 21．（7分）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（ ） （1）这天里路程最多的一天比最少的一天多走________； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按天计算）的行驶费用比原来节省多少元？ 22．（7分）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，0，，，，，， （1）正数集合； （2）分数集合； （3）正有理数集合； （4）非负整数集合； 23．（7分）按要求完成各题 （1）在数轴上把下列各数表示出来：． （2）将上列各数用“”连接起来：________． 24．（7分）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为　 　； ②的意义可理解为数轴上表示数x和　 　这两点的距离； 探索材料2：在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．若1表示的点与表示的点重合， ①则表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上 A、B 两点之间的距离为 9 （A 在 B 的左侧），且 A、B 两点经折叠后重合，求 A、B 两点表示的数是多少？    探索材料3（填空）：如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 才能使P和A的之间的距离与P和B的之间的距离之和最小？    探索材料4：给出如下定义：在数轴上若点M和点P之间的距离小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．若点C表示的数为m，点A表示的数是1，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和数轴，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．由数轴图可知，利用数轴知识和绝对值的定义逐项分析即可解答． 【解析】由数轴图可知， ，，，， 选项、、正确，不符合题意，选项错误，符合题意， 故选． 2．下列说法：①0既可以表示正数，又可以表示负数；②若是有理数，则与必有一个是负数；③绝对值等于它本身的数是0和1；④与互为相反数；⑤整数包括正整数和负整数．其中正确说法的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①0既不是正数也不是负数，故①错误； ②若，则，0不是负数，故②错误； ③绝对值等于它本身的数是正数和0，故③错误； ④的相反数是，与不互为相反数，故④错误； ⑤整数包括正整数、0和负整数，故⑤错误； 综上，正确说法的个数为0个．故选A． 3．在1.2，，，0，中，正数的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了求绝对值，化简多重符号，有理数的乘方，先计算各数的具体值，再依据正数的定义（大于0的数）统计正数的个数即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解析】，，， 故正数有1.2，，，共3个， 故选C． 4．下列说法中正确的是（ ） A．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正 B．绝对值大的数反而小 C．0除以任何数都等于0 D．乘以任何数都等于它的相反数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的基本概念，包含有理数乘法法则、有理数大小比较、除法法则以及相反数． 【解析】 A. 几个非零有理数相乘，积的符号才由负因数个数决定，含因数时积为，故A错误； B. 仅两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，正数绝对值越大数越大，故B错误； C. 除以任何非的数都等于，不能作除数，故C错误； D. 乘以任何数都等于该数的相反数，故D正确．故选D． 5．下列说法中正确的个数是（ ） ①若是正数，则一定是负数；       ②倒数是本身的数是和； ③两数相加，同号得正；                 ④一个有理数不是整数就是分数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①若是正数，则一定是负数，正确； ②倒数是本身的数是，故②错误； ③两数相加，同号得相同的符号，故③错误； ④一个有理数不是整数就是分数，正确． 故选B． 6．如图，数轴上、两点分别对应有理数，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴确定，的正负性、取值范围及绝对值大小关系是解题关键． 【解析】由数轴可知， ，，，，故A、C、D错误，B正确．故选B． 7．下列说法：①一个有理数，它不是整数就是分数；②带有负号的数一定是负数；③异号两数相加，取较大的加数的符号；④一定是非正数；⑤若，则；⑥绝对值等于它本身的数是0和1．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①一个有理数，它不是整数就是分数，正确； ②带有负号的数不一定是负数，例如，故原说法错误； ③异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，故原说法错误； ④，则，故一定是非正数，正确； ⑤若，则，故原说法错误； ⑥绝对值等于它本身的数是0和正数，故原说法错误． 综上所述，正确的有①④，一共2个．故选B． 8．已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数乘法运算，绝对值等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解题的关键．根据已知可得，从而得到，即可得解． 【解析】 ， ，即， 对应在数轴上只有A选项符合． 故选A． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．我国是世界上最早认识和使用负数的国家，《九章算术》中记载了“正负术”．如果正午时记作时，午后时记作时，那么上午时记作：________． 【答案】时 【分析】规定正午时记作时，午后时间记为正，则正午前的时间记为负，计算上午时与正午时的时间差即可得到结果． 【解析】 根据题意，正午时记作时，午后时记作时，说明午后的时间记为正数， 上午时在正午时之前，距离正午时的时间为（小时）， 上午时应记作时．故答案为时． 10．数轴上的点到的距离是2，则点表示的数为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点A在的左侧时，当点A在的右侧时，分别进行求解即可． 【解析】当点A在的左侧时，点表示的数为： ； 当点A在的右侧时，点表示的数为： ； 综上，点表示的数为或．故答案为或． 11．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】根据非负数的和为0，每一个数均为0，求出的值，进而求出的值即可. 【解析】∵， ∴， ∴， ∴．故答案为$-2$． 12．对于有理数，若，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，关键是作差法的应用；通过比较和 的差进行分析． 【解析】∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故答案为． 13．下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为1；②若a、b互为相反数，则；③12个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当时，的最小值为3；⑤若，，则．其中正确的结论是________．（填正确结论的序号） 【答案】①④⑤ 【分析】结合倒数、相反数、有理数乘法法则、绝对值的性质，逐一判断每个说法即可． 【解析】①根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为，①正确； ②若，互为相反数，当时，分母为，无意义，不满足，②错误； ③个有理数相乘，若其中有一个因数为，则积为，不是负数，③错误； ④当时，，， ∴，原式的值恒为，最小值为，④正确； ⑤∵，绝对值为非负数， ∴，即， 又∵，绝对值等于本身的数是非负数， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴，即，⑤正确． 综上，正确的结论是①④⑤．故答案为①④⑤． 14．已知、互为相反数，、互为倒数，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义，得到，，，代入原式计算即可． 【解析】∵、互为相反数， ∴； ∵、互为倒数， ∴； ∵， ∴； 将、、代入原式，得．故答案为$8$． 15．对一个正整数，若将其各数位上的数字两两作差后取绝对值，再从大到小排列，得到一个新数，则称是的“绝对数”．如，将其各个数位上的数字两两作差，再取绝对值，分别为，那么的“绝对数”就等于．则的“绝对数”为________；若一个三位正整数的“绝对数”为，则满足条件的所有中最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，计算出对应的“绝对数”即可． 【解析】∵，，， ∴的“绝对数”为； 欲使最大，则百位数最大，其次十位数，   ∵的“绝对数”为，   ∴不妨取百位数为，十位数为，个位数为，此时的“绝对数”为，是满足条件的所有中最大值．故答案为① $211$ ② $985$． 16．把下列各数的序号填在相应的横线上． ①-21；②10.5；③32；④；⑤-2.22；⑥；⑦；⑧0；⑨；⑩． （1）非负整数：{________…} （2）正分数：{________…} （3）正有理数：{________…} （4）负数：{________…} 【答案】 ③⑧ ②⑥⑩ ②③⑥⑩ ①④⑤⑦⑨ 【分析】先化简所有含绝对值和多重符号的数，再根据有理数的分类标准逐一归类即可. 【解析】先化简各数：，，，； （1）非负整数包含正整数和，因此非负整数为{③⑧…}； （2）正分数是大于的分数，因此正分数为{②⑥⑩…}； （3）正有理数是大于的有理数，包含正整数和正分数，因此正有理数为{②③⑥⑩…}； （4）负数是小于的数，因此负数为{①④⑤⑦⑨…}.故答案为③⑧ ②⑥⑩ ②③⑥⑩ ①④⑤⑦⑨． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6分）某出租车司机某天下午的营运全在东西走向的人民大道上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程（单位：千米）如下： （1）将最后一名乘客送到目的地时，司机距离下午出车时的出发点多远？ （2）若汽车的耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）司机距离下午出车时的出发点0千米 （2）这天下午汽车共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加法应用，有理数的乘法运算，绝对值的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把题干的行车里程的数值相加，再分析结果，即可作答． （2）先计算总行车里程，即各数绝对值之和，再根据耗油量公式计算耗油量，即可作答． 【解析】（1）解：（千米）， 答：司机距离下午出车时的出发点0千米． （2）解：（千米）， ∴（升）， 答：这天下午汽车共耗油升， 18．（6分）已知四个数． （1）请将这四个数表示在如图所示的数轴上． （2）将这四个数用“”连接起来． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）解：， 数轴略； （2）略． 19．（6分）给出下列各数：． （1）在这些数中，分数有________；非负整数有________；互为相反数的是________； （2）将这些数在数轴上表示出来，并把这些数用“”号连接起来． 【答案】(1)，；，，；和 （2） 【分析】（1）明确有理数相关概念，正确判断这些数中的分数、非负整数和互为相反数的数即可； （2）将这些数在数轴上表示出来，按照从小到大的顺序用“”号连接即可. 【解析】（1）解：将能化简的数化简得，，，，，这些数中，属于分数的有，；属于非负整数的有，，；互为相反数的是和． （2）略 20．（6分）如图，数轴上A、B、C三个点对应的数分别为，a，b． （1）判断：； （2）用圆规在数轴上作出原点O及表示数的点D．（写出必要的文字说明） 【答案】（1） （2）①以点B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点B右侧，交点即为原点O； ②用圆规量取线段的长度（即）；以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正方向于点D，该点即为所求． 【分析】（1）利用数轴“左小右大”，由点A在点B左侧得到，解不等式判断a的符号； （2）先由线段长度为，以B为圆心，长为半径向右画弧作出原点O；再量取，以原点O为圆心，长为半径，在数轴正方向画弧得到点D． 【解析】（1）解：数轴上点A在点B左侧， ， （2）略 21．（7分）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（ ） （1）这天里路程最多的一天比最少的一天多走________； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按天计算）的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】（1）； （2）； （3）比原来节省元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （ ）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （ ）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解； （ ）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【解析】（1）解：这天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为； （2）解： ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了； （3）解：用汽油的费用：（元）， 用电的费用：（元）， （元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省元． 22．（7分）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，0，，，，，， （1）正数集合； （2）分数集合； （3）正有理数集合； （4）非负整数集合； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】 先明确各集合的定义，化简、等可化简的数，再逐一判断题干所给数的所属类别． 【解析】（1）解：先化简题中数：，． 大于0的数为正数， ∴正数集合为． （2）解：有理数分为整数和分数，分数包含有限小数、无限循环小数， ∴分数集合为． （3）解：正有理数指大于0的有理数，包含正整数和正分数， ∵是无理数，不属于有理数范畴， ∴正有理数集合为． （4）解：非负整数包含0和正整数， ∴非负整数集合为． 23．（7分）按要求完成各题 （1）在数轴上把下列各数表示出来：． （2）将上列各数用“”连接起来：________． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）解：，，，图略； （2）略 24．（7分）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为　 　； ②的意义可理解为数轴上表示数x和　 　这两点的距离； 探索材料2：在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．若1表示的点与表示的点重合， ①则表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上 A、B 两点之间的距离为 9 （A 在 B 的左侧），且 A、B 两点经折叠后重合，求 A、B 两点表示的数是多少？    探索材料3（填空）：如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 才能使P和A的之间的距离与P和B的之间的距离之和最小？    探索材料4：给出如下定义：在数轴上若点M和点P之间的距离小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．若点C表示的数为m，点A表示的数是1，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ． 【答案】探索材料1①4；②；探索材料2①2；②点A表示的数为，点B表示的数为；探索材料3点A、点B之间（包括A、B）；探索材料4 【分析】探索材料1：直接根据数轴上两点之间的距离的意义回答即可； 探索材料2：①首先求出对称中心，即可得解；②判断出A、B 两点到对称中心的距离相等，结合A，B的距离以及对称中心列式计算即可； 探索材料3：分三种情况求出，比较即可； 探索材料4：根据点C为点A的2可达点得出，解不等式即可． 【解析】探索材料1 ①； ②的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 探索材料2 ①∵1表示的点与表示的点重合， ∴对称中心是原点， ∴表示的点与2表示的点重合， ②∵A、B 两点经折叠后重合， ∴A、B 两点到对称中心的距离相等， ∵A、B 两点之间的距离为 9 （A 在 B 的左侧），对称中心是原点， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； 探索材料3 当点P在点A左边时， ； 当点P在点A和点B之间（包括A、B）时， ； 当点P在点B右边时， ； ∴当点P在点A、点B之间（包括A、B）时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 探索材料4 若点C为点A的2可达点，则 ， 解得：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的性质，解不等式组，关键是掌握数轴上两点之间的距离的意义和表示方法． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $