第二章有理数单元复习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

2026-2027学年新教材苏科版数学七年级上册单元复习与检测 第二章有理数 目录 一、明确学习目标… 理清章节脉络 三、梳理考点知识… 知识点1：正数与负数 知识点2：有理数的概念及分类 .4 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系.4 知识点4：有理数的大小比较… 5 知识点5：绝对值. .6 知识点6：相反数 6 知识点7：有理数的加法7 知识点8：有理数的减法. 知识点9：有理数的乘法， 知识点10：有理数的除法. 7 知识点11：乘方… 8 知识点12：科学记数法」 知识点13：有理数的混合运算 ..8 知识点14有理数的混合运算顺序」 .9 四 典型例题+变式训练.9 题型1用正负数表示具有相反意义的量.9 第1页，共67页 题型2有理数的分类 .10 题型3用数轴上的点表示有理数.11 题型4绝对值.… .12 题型5相反数.… .14 题型6多重符号化简… .15 题型7有理数的乘方… 16 题型8科学记数法.… .17 题型9有理数的混合运算 .18 题型10有理数的加减法简便运算， .21 题型11有理数乘除法简便运算 23 题型12流程图问题， 25 题型13有理数的运算实际应用 28 题型14数轴上的动点问题.30 题型15 新定义运算问题.35 五限时单元检测（建议时间60分钟）38 一、明确学习目标 1.认识正数、负数；会用正、负数表示相反意义的量；理解有理数概念，能 对有理数进行合理分类，知道0的意义； 2.认识数轴，掌握数轴三要素；能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴比 较有理数大小，建立数形结合认识： 第2页，共67页 3.借助数轴理解相反数、绝对值的意义；会求一个有理数的相反数、绝对值； 知道|a的含义(a为有理数)，掌握绝对值的非负性； 4.经历有理数加、减、乘、除、乘方运算法则的探索过程；熟练进行有理数 的四则运算、乘方运算以及三步以内的混合运算；理解加法、乘法运算律，会利用 运算律简便运算； 5.理解乘方、底数、指数、幂的概念；会用科学记数法表示较大的数； 6.能用有理数运算解决简单的实际问题。 重点：有理数的相关概念；数轴、相反数、绝对值；有理数运算（本章核心)、运算 律、科学记数法。 难点：绝对值意义的理解：有理数运算法则（尤其是符号）；混合运算符号与顺序： 利用有理数解决实际问题。 第3页，共67页 二、理清章节脉络 正数与负数 —表示相反意义 lal 绝对值 表示一个数的点到原点的距离 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 重要概念 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 原点 三要素 正方向 单位长度 数轴 ①有理数可以用数轴上一个点表示 与有理数关系 ②比较有理数的大小 日数形结合的重要工具 正整数■。 自然数 整数 有理数分类 负整数 有理数 分数 加法法则 有理数加法 加法运算律■。●。 有理数减法 简便运算 乘法法则 基本运算 有理数乘法 乘法运算律 有理数除法 概念— 幂 底数一 指数 有理数乘方 符号规律 科学记数法 实际应用 第4页，共67页 三、梳理考点知识 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量： (1) 表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面 的用负数表示： (2) 表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数 表示： (3) 表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般 表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、1等大于0的数，叫做正数： 4负数：像1、2、-12一方-x等小正0的数，叫做负数。 知识点2：有理数的概念及分类 1.有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2.有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不 是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一 定是有理数：如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3.有理数的分类方法： 第5页，共67页 (1)按概念分类： (2)按正负分类： (正整数 「正有理数正整数 整数{0 1正分数 有理数 负整数 有理数{0 正分数 分数负分数 儿负有莲数贫器 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 (1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数：反过来也对，即正数用数轴上 原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示 负数 正数 -3-2-1 123产 (2)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还 可以表示其他数（无理数），比如π等 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a,b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小 关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 a<b 第6页，共67页 a=b B a>b 2.有理数的大小比较方法： (1)在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左 手形象记忆)： (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 向右越来越大 -3-2-10123 4 向左越来越小 3.对于有理数a,b,下列三种关系有且只有一种成立： a<b a=b a>b 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 a>b,说明a,b画在数轴上对应的点的位置关系是a在b的右边， b>c,说明b,c画在数轴上对应的点的位置关系是b在C的右边， 所以，a一定在c的右边，即a>c。 同理，我们可以得到如果a<b,b<c,那么就有a<c。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： (1)如果a>b,b>c,那么就有a>c。 (2)如果a<b,b<c,那么就有a<c。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作al. 3.绝对值的代数意义： 第7页，共67页 (1)一个正数的绝对值是它本身： (2)一个负数的绝对值是它的相反数： (3)0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有： a,当a>0 0,当a=0 a,当a<0 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大： 离原点的距离越近，绝对值越小 a的几何意义：数轴上表示数“的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即l≥0 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 同为正号：绝对值大的数大 两数同号 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 正数与0：正数大于0 一数为0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数：0的相反数是Q,即：符号不同， 绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：a的相反数为-a。 第8页，共67页 3.相反数的性质： (1)和的关系：若a,b两数互为相反数，则a+b=0；反之，若a+6=0,则a,b两数互 为相反数。 (2)位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{[-(1)]}=1； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1· 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值 减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0： (3)一个数同0相加，仍得这个数. 2.加法运算律： (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 第9页，共67页 知识点8：有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a-b=a+(b) 知识点9：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘： (2)任何数同0相乘，都得0. 2.有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则测） (1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正： (2)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0. 3.有理数的乘法运算律： (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：a×b=b×a」 (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：(aXb)×c=aX(bxc) (3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 即：aX(6+c)=aXb+aXc 4.倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数. 知识点10：有理数的除法 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的数，即÷6=a0+0, 第10页，共67页 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等 于0的数，都得0. 知识点11：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 a·a…·a=a" 即有： 个 底数 指数 底数：在a”中，a叫做底数， 指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方：当指数n=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： (1)正数的任何次幂都是正数： (2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数： (3)0的任何正整数次幂都是0： (4)任何一个数的偶次幂都是非负数，即a2≥0」 知识点12：科学记数法 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成ax10“ 的形式（其中1≤|0<10，”是正整数），这 种记数法叫做科学记数法， 第11页，共67页 知识点13：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减： (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.乘方运算的结果及符号的规律 正数： 正数的任何次幂都是正数 负数： 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 0:0的任何正整数次幂都是0 知识点14有理数的混合运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减： 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算.运 算顺序是先算高级，再算低级：同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号 的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的. 第12页，共67页 四典型例题+变式训练 题型1用正负数表示具有相反意义的量 【例题1】(26-27七年级上江苏无锡阶段检测)中国古代数学著作《九章算术》的 “方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果支出100元记作-100元，那 么+80元表示() A.支出80元 B.收入80元 C.支出20元 D.收入20元 【答案】B 【分析】题干明确支出100元记作-100元，说明负号对应支出的含义，那么与之意义相反的正号 就对应收入，因此+80元就表示收入80元。 【详解】解：，支出100元记作-100元， ∴正数表示收入， ∴.+80元表示收入80元， 【练基础】(26-27七年级上·江苏扬州期中)海平面以下800米记为“-800米”，海 平面以上2026米应记为() A.-2026米 B.+2026米 C 2026米 D. 2026米 【答案】B 【详解】解：海平面以下800米记为“-800米”，海平面以上2026米应记为+2026米 【练能力】(26-27七年级上江苏徐州阶段检测)我国古代数学名著《九章算术》中 第13页，共67页 已经用正负数来表示相反意义的量，若将向南行走5步记作“+5”，则向北行走6步记 作 【答案】-6 【分析】已知正负数表示相反意义的量，向南行走记为正，可得向北行走应记为负. 【详解】解：，题目规定向南行走5步记作+5， 又，向南与向北是一对相反意义的方向， .向北行走6步记作-6。 题型2有理数的分类 21 【例题2】(26-27七年级上江苏南京阶段检测)在-5,2.3,0，π，3五个数中， 负有理数共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 〖详解】解：在52230：2 23五个数中， 5 是负整数，属于负有理数， 2.3 0 为正有理数，既不是正数也不是负数，均不属于负有理数， π 不属于负有理数， 2是负分数，属于负有理数， 综上，负有理数共2个 第14页，共67页 1 【练基础】(26-27七年级上江苏南通阶段检测)在-2.5,3,0，-3这四个数中，属 于正有理数的是() 1 A.-2.5 B.3 C.0 D.-3 【答案】B 【分析】根据有理数的分类判断即可. 【详解】解：-2.5和-3是负有理数，3是正有理数，0既不是正有理数，也不是负有理数， 故选项B符合题意. 【练能力】(25-26七年级上·广东珠海阶段检测)下列说法中，正确的是() A.正有理数、负有理数统称为有理数 B.非负数就是正数 C.正有理数、负有理数和零统称为有理数 D.有理数包括小数和分数 【答案】C 【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于 零的数，据此逐一判断即可. 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意： B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意 C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意： 第15页，共67页 D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意： 题型3用数轴上的点表示有理数 【例题3】(26-27七年级上江苏苏州阶段检测)已知点A、B是数轴上的两个点，若 点A表示的数为-4，点B表示的数为6，则AB的中点C表示的数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为6，C是AB的中点， 4+6_2=1 ∴中点C表示的数为2=21. 【练基础】(26-27七年级上·江苏徐州阶段检测)在数轴上点A表示-2，将点A向右 移动5个单位长度得到点B,则点B表示的数是() A.-7 B.-3 C.3 D.7 【答案】C 【详解】解：在数轴上点A表示-2，将点A向右移动5个单位长度得到点B, ∴点B表示的数为-2+5=3 【练能力】(25-26七年级上·江苏扬州阶段检测)如图，数轴上点A、B所表示的数分 别为-2、4.有P、两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴 上同向运动，M、N分别是AP与B的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的 第16页，共67页 距离是 【答案】6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨 论思想解题是关键， 分点P,Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解， 【详解】解：①当点P,Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为-2+2×4=6，点9表示的数为4+2×4=12， ,M、N分别是AP与BQ的中点， ∴.点M表示的数为2 12=8 2+6=2,点N表示的数为2 ∴.M、N两点之间的距离是8-2=6； ②当点P,Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为-2-2×4=-10，点9表示的数为4-2×4=-4， :M、N分别是AP与BQ的中点， ,210=-6,点N表示的数为 点M表示的数为2 44=0, :M、N两点之间的距离是 0-(6)=6 故答案为：6. 题型4绝对值 【例题4】(2026贵州黔西南模拟预测)数轴上不同的两点M、N到原点距离相等， 已知点M表示-5，则点N表示的数是() 第17页，共67页 A.5 B.-5 C.0 D.无法确定 【答案】A 【分析】根据数轴的性质，到原点距离相等的两个不同点表示的数互为相反数，利用该性质即可求 解 【详解】解：数轴上不同的两点M、N到原点距离相等， .点M和点N表示的数互为相反数， :点M表示的数为-5，-5的相反数是5， 点N表示的数是5 【练基础】(26-27七年级上江苏南通阶段检测)若5， 则x等于() A.5 B.-5 C.5 D.0或5 【答案】C 【分析】根据国，卜=5，可得=5 ,即可根据绝对值的意义求解， 【详解】解： =到 x=5 .x=±5 【练能力】(26-27七年级上·贵州遵义阶段检测)定义：‖x表示有理数x到最近整数 的距离，如-2=0,1.7=0.3，-3.2=0.2.下列说法错误的是（ A.-3.5l=0.5 B.I5.9=0.1 第18页，共67页 C.l0.9=0.1 D.-1.3=0.7 【答案】D 【分析】‖x表示有理数x到最近整数的距离，据此逐项判断即可. 【详解】解：A.-3.5到-3和-4的距离均为0.5，故-3.5引=0.5，正确，不符合题意： B.5.9最近的整数是6，距离为6-5.9=0.1，故5.9=0.1，正确，不符合题意： C.0.9最近的整数是1，距离为1-0.9=0.1，故0.9=0.1，正确，不符合题意： D.-13最近的整数是1，距离为13-(=03，故-13=0.3≠07，错误，符合腰意。 题型5相反数 【例题5】(26-27七年级上江苏扬州阶段检测)下列各数中，与-2互为相反数的是 A 1 B.-2 C.2 D.-2 【答案】C 【详解】解：-2的相反数是2， 【练基础】(26-27七年级上·江苏盐城阶段检测)下列各组数中，互为相反数的一组 是() A.-2)与+-2)B.+2)与（2）c.（-2)与2 D.2与2 第19页，共67页 【答案】C 【分析】先分别求出结果，再根据相反数定义判断即可. 【详解】解：A选项：-(+2)=-2+(-2)=-2 两数相等，不是相反数： +(+2)=2-(-2)=2 B选项： ,两数相等，不是相反数： C选项： -（-2)=2.十2=-2，两数互为相反数： -2=2 D选项： ,与2相等，不是相反数. 【练能力】(25-26七年级上·河南郑州·阶段检测) 若Bx+与少+互为相反数，则 x-y= 2 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握相关性质是问题求解的 关键。 根据相反数的定义，两个绝对值互为相反数则它们的和为零，再根据绝对值的非负性，可得每个绝 对值都为零，从而求出x和的值，最后代入x一y计算，完成求解. 【详解)解：Bx+与少+ 互为相反数， 3x+1+y+1=0 ,绝对值具有非负性， ∴.3x+1=0且y+1=0」 1 x=3,y=1 2 故答案为： 第20页，共67页 题型6多重符号化简 【例题6】(24-25七年级上河南驻马店期中)下列各数：+()，-[+-5，（引 . 中 定是正数的() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的 结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案. 【1解，少=1，（到5，网m (訓 宽是E最的有(5，（引。 由于加的符号未知，故一(m)的符号未知， 故选：B 【练基础】(26-27七年级上·福建泉州阶段检测)下列各数中，与「-(-3刃的值相等的是 () A.3 B.-3 C.3 D 【答案】B 第21页，共67页 【详解】解：：-(3)=3 [-(3]=-3 【练能力】(26-27七年级上广东汕头阶段检测)计算：-[-(5刃 【答案】-5 【详解】解： -[-(-5]=-(+5)=5 题型7有理数的乘方 【例题7】(26-27七年级上江苏盐城：阶段检测)下列各组算式中，运算结果相等的 是() A.-42和(-2)1 B.-5和(-5)月 C.-126和（←1） ·.) 【答案】B 【详解】解：A、-4=-16(←2)4=1 ,结果不相等： 8、-5°=-125（←5y=-125 结果相等： C、-16=-1(←)225=1 结果不相等： 4,结果不相等。 【练基础】(26-27七年级上·江苏无锡阶段检测)下列说法正确的是() 第22页，共67页 A.-3的底数是-3 B.2表示3个2相加 c.2与2八意义相同 D.-3表示6个3相乘的积的相反数 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，进行判断即可. 【详解】解：-3°的底数是3，负号不属于底数部分，故A错误： 2 32 表示个相乘，不是相加，故B错误； 2表示3个2相乘，（-2少表示3个-2相乘，二者意义不同，放C错误 -36 36 36 63 -3663 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确. 【练能力】我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法.一位母亲在从右到左依 次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数.若从右起第1位打结 数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为天. 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重再求和 即可得到总天数 【详解】解根据满五进一的计数规则，从右起第n位的权重为5”-1因此总天数为： 1×53-1+2×52-1+3×51-1=25+10+3=38天 第23页，共67页 题型8科学记数法 【例题8】(25-26七年级上江苏淮安·阶段检测)随着科技的不断进步，生成式人工 智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎.截至2025年12月，我国生 成式人工智能用户达602000000人，数据602000000用科学记数法表示为， 【答案】6.02×108 【分析】科学记数法要求形式为a×10“,其中l≤a<10,n为正整数，据此解答即可. 【详解】解：602000000=6.02×100000000=6.02×108， 【练基础】(26-27七年级上江苏无锡阶段检测)2025年无锡共接待国内游客约1.63 亿人次，即163000000人次.用科学记数法表示为， 人次. 【答案】1.63×108 【分析】科学记数法的表示形式为4x10,其中 1≤a<10 n为整数， 据此求解即可. 163000000=1.63×108 【详解】解： 【练能力】(26-27七年级上·江苏盐城阶段检测)“智能科技，绿色农业”，根据农 业农村部2026年4月发布的最新统计，我国农用无人机保有量已超过300000架，数量 位居全球首位.数据300000用科学记数法表示为. 【答案】3×10 第24页，共67页 【分析】科学记数法的标准形式为a×I0°，其中l≤a<l0,n为整数，确定a和n的值即 可得到结果， 【详解】解：将300000写成a×10°的形式，要求a满足1≤a<10,可得a=3, .300000是6位整数， .n=6-1=5, ∴.300000=3×105 题型9有理数的混合运算 【例题9】(26-27七年级上·海南阶段检测)计算： (1)12-（-18)+(-7)-15； 26-（引(-2-1 a-G+8品： 4162-(←3](-7列 【答案】(1)8 (2)-6 (3)-17 【详解】(1)解： 12-(-18)+(-7)-15 =12+18-7-15 =30-22 =8 第25页，共67页 )解.6-（引(2列-14 (2)解： =-6+号2*号 7 37 =-6-2+二+ 55 =-6-2+2 =-6 =8-2+*12+12 =-8-(4+3+2) =-8-9 =-17 4解-名[2-(3门(-7) =-1-2x(2-9)*(-7) 6 =-1-6×(-7)*(-7) =-1- 6 16 1 第26页，共67页 【练基础】(26-27七年级上·江苏无锡阶段检测)计算： m品 2w4; 30-s0-*号(-9 ④--0-5列×写×[2-(-3] 【答案】a片 32 1 (2)-10 4)3 【详解】(1)解： 》 “423 354 =2+22 (2)解： =(30-(←3o0×g+(-3wx7 =(-9)-(-20)+(-21) =(-9)+20+(-21) =-10 )解（←0=号(-） -(号 441 =81× 998 第27页，共67页 =2 ④解：---5列*2-（←3门 =1-(-4xx2-列 =-1-(4)x3x(-7) 128 ÷、31 3· 【练能力】(26-27七年级上广东东莞期中)计算 (1)6-(-4)+(-8)+7: 225x(-60(-0*a; 4r+月--16(2*5. 【答案】(1)9 (2)-10 (3)-48 (4)5 【详解】(1)解： 6-(-4)+(-8)+7 =6+4-8+7 =10-8+7 =2+7 =9 (2 23x-)-(6a 第28页，共67页 -23×(-0)-(←-6) *-6) 5 =-10 (3) =-36× 891 12+1212 =69 =-48 (4)-+3-到-16÷(-2× =-12-(刘 =1+4 =5 题型10有理数的加减法简便运算 【例题10】(26-27七年级上·湖南长沙阶段检测)计算： (1)-9)-（-17)+(-1)-(+7) 2引副 第29页，共67页 【答案】(1)0 (2)4 【分析】(1)有理数的加减混合运算法则计算即可. (2)有理数的加减混合运算法则计算即可. 【详解】(1解：（-9)-17)+(-)-(+7) =-9+17-1-7 =0 4+引++到 12,313 45445, 日居到 1 二4 【练*瑞】(2527士年经上全饵后作业)对人》》17 可以按如 下方法计算. 解： 原武([(+引[( 第30页，共67页 -[列+(9-7+（明-》引+ =0( 上面这种方法叫作拆项法.仿照上面的方法，请你计算： 20o引2027号引-引409 【答案】-7 【分析】利用拆项法进行运算即可. 【详解】解： (202s副207号引-404w [(2s-([(2w7r(r-[-(4 [-202o)+(-2027)-(1+409]-[8(引r2】 -5+[〔（别 =(-5)+(-2) -7 【练能力】(26-27七年级上山西太原阶段检测)阅读下面的解题过程并解决问题： 第31页，共67页 计算，3-)1副 解：原式3+)1+》 (第一步) =(3416rt到 (第二步 [30+1-[}+引第三步) (1)计算过程中，第一步变形的依据是 (填运算法则)，从第」 步开始出 现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了 (填运算律)： (③)请直接写出运算结果，并就有理数运算给出一条建议. 【答案】(1)减法法则，二 (2)加法交换律、加法结合律 (3)-5:在有理数的运算中，注意符号的变化（答案不唯一） 【详解】(1)计算过程中，第一步变形的依据是减法法则： 从第二步开始出现错误： (2)第二步和第三步分别应用了加法交换律、加法结合律； 第32页，共67页 (3)解原武(34)r(-16)+ (34+(16引+到 [34-(1o]-[〔引别 =-5+0 =-5 在有理数的运算中，注意符号的变化（答案不唯一）· 题型11有理数乘除法简便运算 【例题11】(26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测)用适当的方法计算： 国 (236)x9g21 972 7199 【答案】()-8 23593(或712”) 【详解】1)解：原式(48)-名×(48)+×(48) =-12+8-4 =-8 (2)解：原式 (-36r0- =(←36x10+(←36x(2 第33页，共67页 =-3600+} =-359 2 【练基础】(26-27七年级上·江苏南京阶段检测)简便计算： -1918x19 (2) 19 【答案】(1)-12 (2)-379 7× 7× 3 【分析】(1)先把 变形为 1, 逆用乘法分配律提取公因数7，把剩余系数合并计算 后再相乘，实现简便运算； 19.18 -20+ (2)先把带分数19拆成 19, 再用乘法分配律展开分别乘19，化简求和. 287 【详解1（解：原式-3×(-7 3 =(13-7-8)×7 3 =(-28)×7, =-12 /-20+x19 (2)解：原式 19 =(-20)×19+ 1 ×19 19 =(-380)+1 =-379 第34页，共67页 【练能力】(26-27七年级上·湖南株洲阶段检测)请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 居0+6引0-目0*名引(-30-203-5+2=-10 故后引 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算： 【答案】2 【分析】仿照材料中的倒数法，先计算原式的倒数，利用乘法分配律简化运算，再取倒数得到原式 结果。 【详解】解：先求原式的倒数， 为层引 g+》(so 8x(-564x(-50)+x(-56)-号x(-56) =-21+12-28+16 =-21 11 .原式=-2121· 第35页，共67页 题型12流程图问题 【例题12】(26-27七年级上广西南宁·期中)如图是一个计算程序，若输入的值为 1,则输出的值为（) 否 输入 平方 是 乘2 减4 <结果>0> 输出 A.6 B.4 C.-6 -4 【答案】B 【详解】解：12×2-4=-2<0， (-2)}2×2-4=4>0 即输出的值为4 【练基础】(26-27七年级上·福建龙岩阶段检测)如图，小明设计了一个计算程序框 图，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为-7，则最后输出的数是() 输 +7 +(-8) +2 +(-12) 输出 A.18 B.-25 C.-18 D.25 【答案】C -7+7+(-8)+2+(-12)=(-7+7)+(-8-12)+2 【详解】依据题意，输出的数是： =0-20+2 第36页，共67页 =-18 【练能力】(26-27七年级上·湖南长沙阶段检测)如图，是一个“有理数转换器” (箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器) 否 输入 数大于2 、相反数 非正 绝对值 是 为 Y正 加上-5 倒数 输出 (1)当小明输入3、5、-2027这三个数时，这三次输出的结果分别是一 (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出（正数、0、负数）？ (3)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ 91 【答案】(1号，5,2027 (2)负数 (3)输入5n(n为非负整数) 【分析】(1)根据“有理数转换器”分别计算即可得出结果： (2)观察流程图的输出端，输出前的最后一步运算只有两种情况，分别分析即可得出结果； (3)要使输出结果是0，根据(2)的分析，最后一步必须是“绝对值”运算，其绝对值的结果为 0,故进入“绝对值”框之前的数必须是0，分两种情况：当这个0是由“相反数”框产生的：当这 第37页，共67页 个0是由“输入”或者“加上-5”产生的，分别计算即可得出结果 【详解】(1)解：输入3时，3>2，条件成立， 执行运 3+(-5)=-2-2<2 卜2=2 是正数， .输出的结果为2； 9 9 输入5时，5<2， 9 <0, 99 ∴.输出的结果为55； 输入-2027时，-2027<2， :-(-2027)）=2027>0 1 ∴.输出的结果为2027； (2)解：观察流程图的输出端，输出前的最后一步运算只有两种情况： 当中间结果为正数时，输出其倒数，因为正数的倒数仍然是正数，所以此时输出的是正数： 当中间结果为非正数（负数或O)时，输出其绝对值，因为任何有理数的绝对值都是非负数（即正数或 0),所以此时输出的是正数或0： 综上所述，输出结果只能是正数或0，绝对不可能是负数： (3)解：要使输出结果是0，根据(2)的分析，最后一步必须是“绝对值”运算，其绝对值的结 果为0，故进入“绝对值”框之前的数必须是0， 第38页，共67页 当这个0是由“相反数”框产生的，根据0的相反数是0，可得进入“相反数”框之前的数也必须 是0， 当这个0是由“输入”或者“加上-5”产生的， 当直接输入0时，0<2，走“否”的路径，相反数是0，绝对值是0，输出是0： 当输入一个数，经过一次或多次“加上-5”后变为0， 若经过一次“加上-5”后变为0，则输入的数为5， 若经过两次“加上-5”后变为0，则输入的数为10， …y 故输入的数可以是5的任意正整数倍， 综上所述，输入的数可以是0，也可以是5的倍数，即输入5n(n为非负整数) 题型13有理数的运算实际应用 【例题13】(26-27七年级上河北承德阶段检测)下表列出了国外几个城市与北京的 时差. 纽 城市 巴黎 东京 芝加哥 约 -13 -7 +1 -14 时差h (1)如果现在的北京时间是7：00，那么现在的东京时间是几点？ (2)小丽想在北京时间7：00给在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ (3)李伯伯从北京乘坐早晨8：00的航班经过约20h到达纽约，那么李伯伯到达纽约时当地 第39页，共67页 时间大约是几点？ 【答案】(1)8：00 (2)不合适. ,巴黎与北京的时差为-h, .北京时间7：00时，巴黎时间为 7+(-7)=0 (时)，即凌晨0：00，不适宜打电话. (3)15:00 【分析】(1)根据时差列式计算即可： (2)巴黎与北京的时差为~7h,据此求出巴黎时间，即可得到结论； (3)计算出李伯伯到达纽约北京时间为凌晨4：00，根据北京与纽约的时差为13即可求出答案， 【详解】(1)解：根据题意可得，7+1=8， 即如果现在的北京时间是7：00，那么现在的东京时间是8：00： (2)略 (3)解：李伯伯从北京乘坐早晨8：00的航班经过约20h到达纽约，此时北京时间为凌晨4：00， 北京与纽约的时差为-13， 4-13=-9. 24-9=15 ∴李伯伯到达纽约时当地时间大约是15：00， 【练基础】(26-27七年级上·全国周测)某纪念馆在某周每天的客流量（单位：人） 与上一周同期相比，变化情况如下表所示.（增加为正，减少为负） 第40页，共67页 星期 三 四 五 六 日 +10 -6 +8 -4 +9 +15 -5 变化量 (①)请计算这一周该纪念馆客流量的总变化量： (2)计算这一周客流量变化最大的一天与客流量变化最小（指与上周同期最接近）的一 天客流量的变化量相差多少人？ 【答案】(1)这一周该纪念馆客流量的总变化量是增加27人 (2这一周容流量变化最大的一天与客流量变化最小的一天客流量的变化量相差19人 【分析】(1)将所有变化量相加即可： (2)这一周客流量变化最大的一天为周六，客流量变化最小的一天是星期四，用周六的变化量减 去周四的变化量即可. 【详解】(1)解：由题意得， 10+(-6)+8+(-4)+9+15+(-5) =10-6+8-4+9+15-5 =(10+8+9+15)-(6+4+5) =42-15 =27 (人). 答：这一周该纪念馆客流量的总变化量是增加27人 15-（-4)=15+4=19 (2)由题意得： (人). 第41页，共67页 答：这一周客流量变化最大的一天与客流量变化最小的一天客流量的变化量相差19人， 【练能力】(26-27七年级上·河北邯郸阶段检测)比优特超市最近进了一批新品牌的 牛奶，每箱进价25元，为了合理定价，在星期一至星期五试行机动价格，卖出时每箱 以35元为标准，超出35元的部分记为正，不足35元的部分记为负，超市记录这五天的 牛奶的售价情况： 星期 三 四 五 每箱价格相对于标 +5 +3 -2 +2 -1 准价格（元） 5 10 20 15 50 售出箱数 (1)这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期 最高单价是 (2)这五天超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)-一，40： (2)这五天超市出售此种牛奶盈利995元. (1) 【分析】 根据题意及正数和负数的实际意义即可求解： (2) 根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解： 【详解】()解：由表格可知，这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是 第42页，共67页 35+5=40 (元)， 故答案为：一，40： (2)解：这五天售出的总箱数：5+10+20+15+50=100（箱）， 相对标准价格的变化金额是：5×5+3×10-2×20+2×15-1×50=-5（元）， 实际售价：35×100-5=3495（元）， 利润为：3495-25×100=995（元）， 答：这五天超市出售此种牛奶盈利995元. 题型14数轴上的动点问题 【例题14】(26-27七年级上·安徽蚌埠阶段检测)已知M、N在数轴上，M对应的 数是-3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)点N所对应的数为； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度， 先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、 对应的数各是多少？ 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是-3.5或1.5 3)点P在点的左边：点P对应的数是-37，点对应的数是-35；点P在点的右边：点P对应 第43页，共67页 的数是-45，点Q对应的数是-47 【分析】(1)根据向右就做加法，列式求解： (2)分两种情况根据数轴上两点间的距离列式求解： (3)分两种情况：点P在点Q的左边时，点P在点的右边时，分别列出算式进行求解即可. 【详解】(1)解：，点M对应的数是-3，点N在M右边4个单位， .-3+4=1 即点N所对应的数为1： (2)解：点P到点M、N的距离之和是5个单位，点N在M的右边，MN=4, ①点P在点M的左边时：PM+PN=2PM+MN=5, M N 0 .PM=0.5, .点P所对应的数是-3-0.5=-3.5， ②点P在点N的右边时：PM+PN=2PN+MN=5, M N P 0 .PN=0.5, ∴点P所对应的数是1+0.5=1.5. 故点P所对应的数是-3.5或1.5. (3)解：①点P在点Q的左边时： 点Q的运动时间为： (4+2×5-2)(6-2)=121=12(秒)， 点P对应的数是-3-5×2-12×2=-37，点Q对应的数是-37+2=-35： 第44页，共67页 P←-M 0 ②点P在点Q的右边时： 点Q的运动时间为： 4+2x5+2)(3-2)=161=16(秒)： 点P对应的数是-3-5×2-16×2=-45，点对应的数是-45-2=-47. 【练基础】(25-26七年级上·广东清远·期中)【教材呈现】2024年北师大版七年级上 册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A,B表示的数分别是a,b. (1)当a,b分别取下列值时，求A,B两点间的距 离. a=3b=6a=-3b=6a=-3b=-6 (2)用a,b表示A,B两点间的距离. 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 (1)数轴上表示数3与6的两点之间的距离是 数轴上表示数-3与6的两点之 间的距离是 (2)用a,b表示A,B两点之间的距离是 第45页，共67页 【解决问题】 3)x-3引的含义是数轴上表示数x与 的两点之间的距离，x+4的含义是数轴 上表示数x与的两点之间的距离： (4)请你在以下的数轴上表示-4和3两数的位置，当表示数x的点在-4与3之间移动 时，可以发现x+4+x-3引的值总是一个固定的值，这个值是 -5-4-3-2-1012345 (5)若动点P,Q分别从4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒 1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒(t>0)·点P表示 的数为 点Q表示的数为. 【答案】(1)3,9： (2)a- (3)3,-4: (4)如图， 5432012方45 7 (5)①-4-t:3-2t 【分析】(1)根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答： 第46页，共67页 (2)根据绝对值的意义，即可求解： (3)根据绝对值的意义，即可求解： (4)根据x+4+x-3表示x到4与3的距离和，即可求解： (5)根据题意列出代数式即可求解. 【详解】解：(1)数轴上表示数3与6的两点之间的距离是6-3=3，数轴上表示数-3与6的两 点之间的距离是 6-（-3)=9 故答案为：3,9 (2)用，b表示4，B两点之间的距离是口-b, a-b 故答案为： (3)|x-3引的含义是数轴上表示数x与3的两点之间的距离，|x+4的含义是数轴上表示数x与4 的两点之间的距离； 故答案为：3，-4. (4)1x+4+x-3引表示x到4与3的距离和，数x的点在-4与3之间移动时， 1x+4|+|x-3|=x+4+3-x=4+3=7 故答案为：7. (5)依题意，t秒时，点P表示的数为4-1；点Q表示的数为3-21 故答案为：-4-t；3-2t 【练能力】(25-26七年级上·辽宁锦州期中)已知：数轴上点A、C对应的数分别为 ac,且满足a+7+(c-1)=0 点B对应的数为3， 第47页，共67页 B 765421012345 B 7654321012345 (1)求数a=-,c= (2)若动点P、O分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒：点Q 的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P,Q两点的距离为3： (3)在(2)的条件下，若点Q运动到点C立刻原速返回，到达点B后停止运动，点P运 动至点C处又以原速返回，到达点A后又折返向C运动，当点Q停止运动点P随之停止 运动.直接写出在整个运动过程中，两点，O同时到达的点在数轴上表示的数， 【答案】(1)-7,1 48 (2)经过3秒或3秒p’Q两点的距离为3 3)-1,0,-2 【分析】本题综合考查了绝对值和偶次方的非负性、有理数的乘方运算，利用方程来解决数轴上的 动点问题与行程问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键. (1)由绝对值和偶次方的非负性列方程组可解： 4 (2)设经过t秒两点的距离为3，根据题意列绝对值方程求解即可； (3)分类讨论：点P未运动到点C时；点P运动到点C返回时；当点P返回到点A时.分别求出 不同阶段的运动时间，进而求出相关点所表示的数即可： 【详解】(1)解：：+7+(c-=0,a+720.(c-1≥0 第48页，共67页 :a+=0.(e-1)2=0 a+7=0 .c-1=0, ∴.a=-7,c=1, 故答案为：-7,1； 4 (2)设经过秒两点的距离为3， t秒后点P表示的数为31-7，点9表示的数为t-3 由题意得：3-7--3明，即2-4号 48 解得1=3或3 4 8 4 ∴经过3秒或3秒P,Q两点的距离为3： (3)①当点P未运动到点C时，设经过x秒P,Q相遇， 由题意得：3x-7=x-3, .x=2, ∴两点P,0同时到达的点在数轴上表示的数为：3×2-7=-1， ②当点P运动到点C返回时，设经过y秒P,Q相遇， 1-（-7) 1-3y =y-3 由题意得： 3 y=3 ∴两点P,同时到达的点在数轴上表示的数为：3-3=0， 2×[1-(-7)】_16 ③当点P返回到点A时，用时3 秒，此时点Q所在位置表示的数是 小 设再经过z秒相遇， 第49页，共67页 由题意得： 3z+z= 3(7), 5 2= 3 两点卫，Q同时到达的点在数轴上表示的数为：-7+×3=-2。 3 答：在整个运动过程中，两点P,同时到达的点在数轴上表示的数分别是-1,0，-2. 题型15新定义运算问题 【例题15】(26-27七年级上·浙江杭州阶段检测)在学习完《有理数》后，小奇对运 算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下： a⊕b=a×b+2×a 2⊕(-1) (1)求 的值； 2计算-3)©4,4®(-3) 并由此判断新运算“⊕”的交换律即a⊕b=b⊕a是否成立？ 【答案】(1)2 23)e4=-18,4©(3)=-4，新运算®~的交换律不成立. 【分析】(1)根据所给定义列式计算即可： (2)根据所给定义列式求出(-3)©4,4Θ(-3) 的结果，看是否相等即可得到结论 【详解】(1)解：.a⊕b=a×b+2×a, ,2Θ(-1)=2×(-1)+2×2=-2+4=2 第50页，共67页 (2)解.（-3)©4=-3×4+2x(-3)=-12-6=-18 4⊕(-3)=4×(-3)+2×4=-12+8=-4 :（3)84≠4©(-3) ∴新运算“⊕”的交换律不成立 【练基础】(26-27七年级上山东枣庄阶段检测)定义一种新运算，规则如下： a★b=ab-a-b+1 (1)计算：（3列*4 2比较大小，43)（2)★5（填“<”“=”“>”，直接写出结果）； (3)试探究这种运算“★”是否满足交换律，说明理由. 【分析】(1)根据所给定义列式计算即可； (2)计算出两个式子的结果即可得到答案： (3)计算出b★a的结果，看是否与a★b相等即可得到结论. 【详解】(1)解：，a★b=ab-a-b+1, :（3)★4=-3x4-(-3)-4+1=-12+3-4+1=-12 (2)解：：a★b=ab-a-b+1, 4★(-3)=4×(-3)-4-(-3)+1=-12-4+3+1=-12 第51页，共67页 (-2)★5=-2×5-(-2)-5+1=-10+2-5+1=-12 .4★(-3)=(-2)★5 (3)解：这种运算“★”满足交换律，理由如下： .a★b=ab-a-b+l, ∴.b★a=ba-b-a+l, ∴.a★b=b★a, ∴这种运算“★”满足交换律。 【练能力】(26-27七年级上江苏南京阶段检测)对于有理数a、b,定义运算： a⑧b=-a+b 1计算3)8(4的值； 2计算5®(-6)和知（-0)95 值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律。 【答案】(1)-7 25®(-6)=-11(6)85=-1 ,这种新定义不满足交换律。 【分析】(1)根据所给定义列式计算： (2)根据所给定义列式计算出两个式子的结果即可得到结论. 【详解】(1)解：·a⑧6=-4+b （3)8(4)=-十3+(4)=-3-4=-7 (2)解：.a⑧b=-d+b .58(-6)=-5+(-6)=-5-6=-11 第52页，共67页 （-6)⑧5=--6+5=-6+5=-1 58(-6)≠(-6)85 ∴这种新定义不满足交换律。 五限时单元检测（建议时间60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分) 1.(26-27七年级上广西南宁期中)下列各数中，负数是() 1 A.10 B.3.5 C.0 D.-2 【答案】D 【分析】根据负数的概念得出结论即可. 【详解】解：A、10>0,为正数，不符合题意： B、3.5>0,为正数，不符合题意； C、0既不是正数也不是负数，不符合题意； 1 D、2<0,是负数，符合题意. 2.(26-27七年级上·湖北襄阳阶段检测)我国计划于2026年前后发射的嫦娥七号，将 搭载7个国家、国际组织的6台载荷，共同飞赴月球，勘察月球南极月表环境、月壤水 冰和挥发分等，开展月球形貌、成分和构造的高精度探测与研究.若嫦娥七号向上飞 行4千米记作+4千米，则向下飞行5千米应记作（) 第53页，共67页 A.+5千米 B.-5千米 C.+5000千米 D.-5000千米 【答案】B 【详解】解：向上飞行4千米记作+4千米，向下飞行与向上飞行是具有相反意义的量， .向下飞行5千米应记作-5千米 3.(26-27七年级上天津蓟州阶段检测)在数2,0，π，3.14，+2，-0.3中，负分 数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】根据负分数的意义，可得答案. 【详解】解：负分数需同时满足为负数且是分数（含有限小数、无限循环小数）， 1 2是负分数，符合要求， -0.3 是负的无限循环小数，属于负分数，符合要求， 0 既不是正数也不是负数， π 是正无理数， 3.14 是正分数， +2 是正整数， 均不符合要求综上，负分数共2个. 4.(26-27七年级上·黑龙江大庆阶段检测)数轴上点A表示的数是-2，将点A先向右 移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度得到点B,则点B表示的数是() 第54页，共67页 A.4 B.2 C.0 D.-4 【答案】C 【详解】解：点A表示的数是-2， 向右移动5个单位长度后对应的数为-2+5=3， 再向左移动3个单位长度得到点B, 则点B表示的数为3-3=0 5.(26-27七年级上广西钦州阶段检测)实数a,b在数轴上所表示的点的位置如图 所示，则下列结论正确的是() a 0 A.-b<-a<a<b B.-b<a<-a<b C.-a<-b<a<b D.a<-b<-a<b 【答案】B 【详解】解：由数销可知a<0<6,且a< ∴.-b<a<0<-a<b 6.(26-27七年级上陕西汉中阶段检测)如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其 中所对应的数的绝对值最大的点是() ABD -4-3-2-101234 A.点A B.点B C.点C D.点D 第55页，共67页 【答案】D 【详解】解：由数轴得，点D距离原点最远， 所对应的数的绝对值最大的点是D 7.(26-27七年级上江苏苏州阶段检测)下列等式成立的是() A.2-(-4)+(-5)=2-4+5 B.2+(-4)+(-5)=2-4+5 C.2+(-4)-(-5)=2-4+5 D.2-(-4)-(-5)=2-4+5 【答案】C 【分析】将各选项左边式子去括号化简，与右边式子对比判断： 【详解1解：A2-()+(-5)=2+4-5,与等式右边不相等，错误： 82+(4)+(-5)=2-4-5 与等式右边不相等，错误； c2+(4)(5)=2-4+5 与等式右边相等，正确： D2-(4)-(-5)=2+4+5 与等式右边不相等，错误。 日.（26-27七年级上全国课后作业）对-2027)*(-2027)(2027)(-2027)的记法正确的 是() A.-20274 B.（-2027) C.-（-2027) D.-(+2027) 【答案】B 【详解】解：4个（←-2027 相乘，记作(-2027) 9.(26-27七年级上江苏扬州阶段检测) DeepSeek--V3是由深度求索公司研发的一款 第56页，共67页 混合专家(MoE)架构的大语言模型，其总参数量达到671000000000个，数据 671000000000用科学记数法表示为() A.671×10% B.67.1×100 C.6.71×10 D.0.671×102 【答案】C 【详解】解：671000000000=6.71×10 10.(26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测)如图所示是计算机程序流程图，若开始输 入x=-4,则最后输出的结果是() 输入x ×(-3) -(-2) >+10 是 输出 否 A.-4 B.-8 C.12 D.14 【答案】D 【分析】将x=一4代入图中，然后按照有理数的混合运算法则计算即可. 【详解】解：x=一4， 观察图可知， -4×(-3)-(-2) =12+2 =14 .14>10 第57页，共67页 最后输出的结果是14. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 6 1.(26-27七年级上山西晋中阶段检测)比较大小：7 、7 6:(填“>"<”或 “=”) 【答案】> 【分析】根据有理数的大小比较法则进行判断即可· 663677_493649 【详解】解：：厂7742，厂6642,4242， 6 、7 ∴.-71 6 2.(26-27七年级上·全国课后作业)将长为2026个单位长度的木条放在数轴上，最多 能覆盖 个整数点. 【答案】2027 【分析】木条端点对准整数点放置时，覆盖的整数点最多，最多覆盖的整数点个数比木条长度多1 【详解】解：当木条左端从整数点开始放置，长为2026个单位长度时，右端点刚好落在整数点位 置， 从左端整数点到右端整数点，一共包含的整数点数量为： 2026+1=2027 故最多能覆盖2027个整数点. 3.(26-27七年级上·福建龙岩阶段检测)4的相反数是 5的绝对值是 3 【答案】 第58页，共67页 【分析】根据相反数和绝对值的定义，分别计算即可得到结果 3_3 【详解】解：4的相反数是-4,55 4.(26-27七年级上·江苏泰州阶段检测)甲地海拔高度为65米，乙地海拔高度为 -56 米，那么甲地比乙地 (填高或低)· 【答案】低 【分析】已知甲乙两地的海拔，比较两个负数的大小即可判断海拔高低. 【详解】解：负数比较大小，绝对值更大的数更小. ·6时=65卜56=56 .65>56 .-65<-56 ∴.甲地比乙地低。 5.(26-27七年级上浙江杭州阶段检测)已知a3,1b7,且a<b,则a+b的值为 【答案】4或10 【分析】根据绝对值的性质求出a和b的可能值，再结合条件a<b筛选出满足条件的组合，最后计 算a+b的值. 【详解】解：a=3 .a=t3, 例7 .b=±7 又.a<b .a=-3,b=7或a=3,b=7, 当a=-3,b=7时， 第59页，共67页 此时a+b=-3+7=4: 当a=3,b=7时， 此时a+b=3+7=10 故a+b的值为4或10 6.(26-27七年级上·全国周测)如图，A,B,C,D四张卡片分别代表一种运算，例 如，5经过4→B→C→D的顺序进行运算，可列式为5×2-3+4：8经过 B→D→A→ 的顺序进行运算，可列式为8-3+x2,则3经过C→D→4→8的顺 序进行运算的结果为 B C D 乘2 减3 平方 加4 【答案】23 【详解】解：由题意， 得-3+4x2-3=9+4x2-3=13×2-3=26-3=23 所以-3经过C→D→A→B的顺序进行运算的结果为23. 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 1.(26-27七年级上天津蓟州阶段检测)计算： (1)(8)+10+3+(1): a 44-+引(-（引 【答案】(1)4 (2)6 (3)-5 (4)-5 第60页，共67页 【详解】(1)解：（-8)+10+3+（←） =[(-8)+(-1)]+(10+3) =（-9)+13 4 四解〔动)月 2(别+8+〔到4 、1 6 3解.（025+(-)到 =（-0.25)+（-3)-1.75 =（-0.25)+（-1.75)+（-3) =(-2)+(-3) =-5 4解.44到-引(06-(》 =(44+-写引+(-06)+ 第61页，共67页 [44-(o[〔- =(-5)+0 =-5 2.(26-27七年级上·湖南长沙阶段检测)计算（能用简便运算，则用简便运算）： a33-( 2(-25+(2 【答案】()3 (2)-23 (3)-176 (4)-892 【分析】()乘除混合运算题，利用乘法的交换律和结合律计算即可，注意符号的变化. (2)先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加法 (3)利用乘法分配律提取公因数来简便计算，注意各项的符号， ()除以个数等于乘以它的倒数，同时利用拆分法：9)99+) 【详解】(1)解： [-3(3》别 =到 第62页，共67页 (2)解： -(2j×5+(2y =-9÷4×号×5+(-8)， 3 -94 y×4x5-8」 43 =-3×5-8 =-15-8 =-23 m-( =5x79g7-10x75 3 =73(-5-9-10。 =-176 架动 =99x(-9+g×(-), =-891-1 =-892 第63页，共67页 3.(26-27七年级上·全国课后作业)某校想了解该校学生每天使用电子产品的时长情 况，特制作了调查表进行调查，该校某学生某周每天使用电子产品的时长情况如下表 所示（标准使用时长为每天2h,超过记为正，不足记为负，单位：h): 星期 二 三 四 五 六 日 +3 -2 -1 -0.5 -1.5 +5 +6 增减/h (1)该生周三使用电子产品h: (2)该生使用电子产品的时长最长的一天比时长最少的一天多h: (3)该生这一周共用了h电子产品. 【答案】(1)1 (2)8 (3)23 【详解】(1)解： 2+(-1)=1(h) (2)解：-2<-1.5<-1<0.5<+3<+5<+6 该生使用电子产品的时长最长的一天是周日，时长最少的一天是周二， 该生使用电子产品的时长最长的一天比时长最少的一天多 6-(-2)=8(h) 2×7+(3-2-1-0.5-1.5+5+6)=14+9=23(h) (3)解： 4.(26-27七年级上广西南宁期中)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均 不等于0)的除法运算叫做除方.如2+2÷2(3)(3)(3)(3)等.类比有理数的乘方， 第64页，共67页 我们把2*2÷2记作2°，读作“2的圈3次方”，（3)(-3)(-3)(3列记作(-3)°，读作 “-3的圈4次方”. (1)【概念理解】直接写出计算结果：2®= (2)【初步探究】例如： (-3)=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) =(》( 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式. (6)= 3)【深入思考】想-想：将一个非零有理数”的图a>2》次方写成幂的形式即= 闭【斜应用】第一：32-（兮灯 【答案】（四片 (4)125 【分析】(1)利用已知定义求解即可： (2)仿照例子求解即可； (3)根据(2)中的例子进行求解即可； 第65页，共67页 (4)将得到的规律代入到式子进行计算即可. 【详解】(1)解：根据除方的定义得，2-2÷2÷2= 2 、④ 1 1.1,1.1 (2)解：根据题意得 2 2222 =-×2×2×2 2 =22 (-6)°=(6)÷(6)÷(6)÷(6)÷(6) =(-x888 (3)解：由题意得，a-a÷a÷a÷÷a(总共有n个a) -a×2行c地共有a-个 1 aa 1 1 1 ××a(总共有u-2)个a) a e 4:( -(j [32×6(列 第66页，共67页 =(2+3) =5 第67页，共67页 2026-2027学年新教材苏科版数学七年级上册单元复习与检测 第二章 有理数 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 3 三、梳理考点知识 4 知识点1：正数与负数 4 知识点2：有理数的概念及分类 4 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 4 知识点4：有理数的大小比较 5 知识点5：绝对值 6 知识点6：相反数 6 知识点7：有理数的加法 7 知识点8：有理数的减法 7 知识点9：有理数的乘法 7 知识点10：有理数的除法 7 知识点11：乘方 8 知识点12：科学记数法 8 知识点13：有理数的混合运算 8 知识点14 有理数的混合运算顺序 9 四 典型例题+变式训练 9 题型1 用正负数表示具有相反意义的量 9 题型2 有理数的分类 9 题型3 用数轴上的点表示有理数 10 题型4 绝对值 11 题型5 相反数 11 题型6 多重符号化简 12 题型7 有理数的乘方 12 题型8 科学记数法 13 题型9 有理数的混合运算 13 题型10 有理数的加减法简便运算 15 题型11 有理数乘除法简便运算 16 题型12 流程图问题 18 题型13 有理数的运算实际应用 19 题型14 数轴上的动点问题 20 题型15 新定义运算问题 22 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 24 一、明确学习目标 1. 认识正数、负数；会用正、负数表示相反意义的量；理解有理数概念，能对有理数进行合理分类，知道 0 的意义； 2. 认识数轴，掌握数轴三要素；能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴比较有理数大小，建立数形结合认识； 3. 借助数轴理解相反数、绝对值的意义；会求一个有理数的相反数、绝对值；知道|a|的含义（a为有理数），掌握绝对值的非负性； 4. 经历有理数加、减、乘、除、乘方运算法则的探索过程；熟练进行有理数的四则运算、乘方运算以及三步以内的混合运算；理解加法、乘法运算律，会利用运算律简便运算； 5. 理解乘方、底数、指数、幂的概念；会用科学记数法表示较大的数； 6. 能用有理数运算解决简单的实际问题。 重点：有理数的相关概念；数轴、相反数、绝对值；有理数运算（本章核心）、运算律、科学记数法。 难点：绝对值意义的理解；有理数运算法则（尤其是符号）；混合运算符号与顺序；利用有理数解决实际问题。 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量： （1） 表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示； （2） 表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示； （3） 表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等大于0的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等小于0的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1.有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2.有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3.有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点8：有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 知识点9：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 知识点10：有理数的除法 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点11：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 知识点12：科学记数法 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 知识点13：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.乘方运算的结果及符号的规律 知识点14 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 四 典型例题+变式训练 题型1 用正负数表示具有相反意义的量 【例题1】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出100元记作元，那么元表示（     ） A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元 【练基础】（26-27七年级上·江苏扬州·期中）海平面以下800米记为“米”，海平面以上2026米应记为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【练能力】（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量，若将向南行走步记作“”，则向北行走步记作_________． 题型2 有理数的分类 【例题2】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）在，2.3，0，，五个数中，负有理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练基础】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）在，，0，这四个数中，属于正有理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【练能力】（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 题型3 用数轴上的点表示有理数 【例题3】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【练基础】（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【练能力】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 题型4 绝对值 【例题4】（2026·贵州黔西南·模拟预测）数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（     ） A．5 B． C．0 D．无法确定 【练基础】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则x等于（     ） A．5 B． C． D．0或5 【练能力】（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：表示有理数到最近整数的距离，如，，．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 题型5 相反数 【例题5】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列各数中，与互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【练基础】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【练能力】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若与互为相反数，则_______． 题型6 多重符号化简 【例题6】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练基础】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）下列各数中，与的值相等的是（     ） A．3 B． C． D． 【练能力】（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）计算：______． 题型7 有理数的乘方 【例题7】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列各组算式中，运算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【练基础】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．表示6个3相乘的积的相反数 【练能力】我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 题型8 科学记数法 【例题8】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人，数据602000000用科学记数法表示为_______． 【练基础】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）年无锡共接待国内游客约亿人次，即人次．用科学记数法表示为________人次． 【练能力】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）“智能科技，绿色农业”，根据农业农村部2026年4月发布的最新统计，我国农用无人机保有量已超过架，数量位居全球首位．数据用科学记数法表示为______． 题型9 有理数的混合运算 【例题9】（26-27七年级上·海南·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【练基础】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【练能力】（26-27七年级上·广东东莞·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10 有理数的加减法简便运算 【例题10】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1) (2) 【练基础】（26-27七年级上·全国·课后作业）对，可以按如下方法计算． 解：原式                            上面这种方法叫作拆项法．仿照上面的方法，请你计算：． 【练能力】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)计算过程中，第一步变形的依据是_________（填运算法则），从第_________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了_________、_________（填运算律）； (3)请直接写出运算结果，并就有理数运算给出一条建议． 题型11 有理数乘除法简便运算 【例题11】（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）用适当的方法计算： (1)； (2)． 【练基础】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）简便计算： (1) (2) 【练能力】（26-27七年级上·湖南株洲·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 题型12 流程图问题 【例题12】（26-27七年级上·广西南宁·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值为（     ） A．6 B．4 C． D． 【练基础】（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，小明设计了一个计算程序框图，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为，则最后输出的数是（     ） A．18 B． C． D．25 【练能力】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是______；______；______． (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______（正数、0、负数）？ (3)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ 题型13 有理数的运算实际应用 【例题13】（26-27七年级上·河北承德·阶段检测）下表列出了国外几个城市与北京的时差． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h (1)如果现在的北京时间是，那么现在的东京时间是几点？ (2)小丽想在北京时间给在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ (3)李伯伯从北京乘坐早晨的航班经过约到达纽约，那么李伯伯到达纽约时当地时间大约是几点？ 【练基础】（26-27七年级上·全国·周测）某纪念馆在某周每天的客流量（单位：人）与上一周同期相比，变化情况如下表所示．（增加为正，减少为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)请计算这一周该纪念馆客流量的总变化量； (2)计算这一周客流量变化最大的一天与客流量变化最小（指与上周同期最接近）的一天客流量的变化量相差多少人？ 【练能力】（26-27七年级上·河北邯郸·阶段检测）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在星期一至星期五试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录这五天的牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期_______，最高单价是________元； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 题型14 数轴上的动点问题 【例题14】（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点： (1)点所对应的数为________； (2)当点到点、的距离之和是5个单位时，求点所对应的数； (3)如果、分别从点、出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点、对应的数各是多少？ 【练基础】（25-26七年级上·广东清远·期中）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 【练能力】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）已知：数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且满足| ，点B对应的数为， (1)求数______，________； (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3 个单位长度/秒：点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P，Q两点的距离为 ； (3)在（2）的条件下，若点Q运动到点C立刻原速返回，到达点B后停止运动，点P运动至点C处又以原速返回，到达点A后又折返向C运动，当点Q停止运动点P随之停止运动．直接写出在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 题型15 新定义运算问题 【例题15】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)计算，，并由此判断新运算“⊕”的交换律即是否成立？ 【练基础】（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：； (2)比较大小：______（填“”“”“”，直接写出结果）； (3)试探究这种运算“”是否满足交换律，说明理由． 【练能力】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）对于有理数、，定义运算：， (1)计算的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．（26-27七年级上·广西南宁·期中）下列各数中，负数是（     ） A．10 B．3.5 C．0 D． 2．（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）我国计划于年前后发射的嫦娥七号，将搭载个国家、国际组织的台载荷，共同飞赴月球，勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发分等，开展月球形貌、成分和构造的高精度探测与研究．若嫦娥七号向上飞行千米记作千米，则向下飞行千米应记作（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（26-27七年级上·天津蓟州·阶段检测）在数，，，，，中，负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）数轴上点表示的数是，将点先向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）对的记法正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）是由深度求索公司研发的一款混合专家（MoE）架构的大语言模型，其总参数量达到671000000000个，数据671000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 10．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．（26-27七年级上·山西晋中·阶段检测）比较大小：________.（填“>”“<”或“＝”） 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）将长为个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖______个整数点． 3．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）4的相反数是________， 的绝对值是________． 4．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）甲地海拔高度为米，乙地海拔高度为米，那么甲地比乙地_________（填高或低）． 5．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且，则的值为___________． 6．（26-27七年级上·全国·周测）如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 1．(12分)（26-27七年级上·天津蓟州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．(12分)（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算（能用简便运算，则用简便运算）： (1) (2) (3) (4) 3．(10分)（26-27七年级上·全国·课后作业）某校想了解该校学生每天使用电子产品的时长情况，特制作了调查表进行调查，该校某学生某周每天使用电子产品的时长情况如下表所示（标准使用时长为每天，超过记为正，不足记为负，单位：h）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/h (1)该生周三使用电子产品______h； (2)该生使用电子产品的时长最长的一天比时长最少的一天多______h； (3)该生这一周共用了______h电子产品． 4．(12分)（26-27七年级上·广西南宁·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． (1)【概念理解】直接写出计算结果：___________； (2)【初步探究】例如： 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ___________；___________； (3)【深入思考】想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式，即___________ (4)【理解应用】算一算： 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $