第五章 一元一次方程（单元自测）数学新教材人教版七年级上册

第五章 一元一次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各式是方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．、C．均不含“=”号，不是等式，故不是方程． B．不含未知数，故不是方程． D．是含未知数的等式，故是方程．故选D． 2．周末，小丽从家出发前往图书馆借书，她以的速度出发，后，妈妈发现她忘了带借阅证，于是，妈妈立即以的速度去追小丽，并且在途中追上了她．设妈妈追上小丽用了，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 核心等量关系是妈妈追上小丽时两人路程相等，根据“路程速度时间”分别表示两人路程，进而列出方程． 【解析】设妈妈追上小丽用了， 根据题意，可列方程为． 故选A． 3．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程： 嘉嘉：；淇淇：． 下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉设总银两数为两 B．淇淇设这群人共有人 C．嘉嘉所列方程左右两边代数式表示的都是每人分到的银两数 D．淇淇所列方程左右两边代数式表示的都是这群人的人数 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题目中不变的量作为等量关系列方程是解题关键． 明确两个方程中未知数的含义及方程两边代数式的意义，进而判断选项正误。 【解析】∵嘉嘉的方程中，表示这群人的人数，左右两边代数式均表示总银两数， ∴、选项错误； ∵淇淇的方程中，表示总银两数，左右两边代数式均表示这群人的人数， ∴选项错误，选项正确． 故选． 4．将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，现在用如图2所示的方框在图1中框出5个数字，分别为、、、、，若，则的值为（ ） A．1001 B．1000 C．999 D．998 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先根据图形得出，，，，再求出，，根据列出关于a的方程，解方程即可． 【解析】根据题意得：，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． 故选D． 5．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们．若每人送3本，则还剩余8本；若每人送5本，则还缺少2本，求该校的获奖人数．小兰在解此题时，设该校的获奖人数为，列出方程为．小兰列此方程的等量关系的依据是（ ） A．获奖的学生人数不变 B．课外读物的总本数不变 C．每个人得到的课外读物的本数不变 D．剩余的课外读物的本数不变 【答案】B 【分析】从方程两边代数式的实际意义入手，寻找不变量． 【解析】设获奖人数为， 方程中，表示每人送3本时课外读物的总本数，表示每人送5本时课外读物的总本数， 二者相等的依据是课外读物的总本数不变．故选B． 6．某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴，已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．要使每天生产的书签和冰箱贴刚好配套，且每位工人只生产书签和冰箱贴中的一种，则厂家安排生产书签的工人人数是（ ） A．35 人 B．40人 C．45人 D．50人 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 设生产书签的工人人数为x，则生产冰箱贴的工人人数为，根据书签与冰箱贴的配套比例列出方程求解． 【解析】设安排生产书签的工人人数为x人，则生产冰箱贴的工人人数为人，根据题意，得 解得， ∴安排生产书签的工人人数是40人． 故选B． 7．在某市“智慧交通”项目建设中，一支工程队负责安装新型路侧通信单元．如果每天安装30台设备，会比原计划提前1天完成安装任务；如果每天安装20台设备，会比原计划推迟1天完成安装任务．若设原计划安装天完成任务，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据“总工作量不变”建立等量关系是解题的关键．抓住“总设备数不变”这一核心，分别表示出两种安装速度下的总设备数，再根据相等关系列出方程． 【解析】设原计划安装天完成任务，则根据题意可列方程为 （1）， 故选A． 8．某商品进价为元，标价为元，打折后利润率为，则该商品打了（ ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，利用利润率公式先求出实际售价，再通过售价与标价、折扣的关系列方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】∵商品进价为元，利润率为， ∴利润（元）， ∴实际售价进价利润（元）， 设该商品打了折， 根据题意得：， 解得， ∴该商品打了折， 故选． 9．如图，某数学小组在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字．若设“□”内的数字为，则列出的方程正确的是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把竖式中含方框的多位数用表示，依据被乘数乘乘数等于积列等式，匹配选项． 【解析】根据乘法竖式的数量关系“被乘数×乘数=积”来列方程： 被乘数：，即； 乘数：； 积：，即 由此可得方程：．故选C． 10．某核心素养测试由道题组成，答对一道得分，答错一道扣分，今有一考生虽然全部做完了道题，但所得分数为分，则他答对的题有（ ） A．12道 B．10道 C．8道 D．6道 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据得分规则建立方程是解题关键．设答对的题数为道，则答错的题数为道，根据得分规则列出方程求解． 【解析】设答对的题有道，则答错的题有道． 根据题意，得： 化简： 合并得： 移项得： 解得： 他答对的题有道． 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若是关于的方程的解，则________． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入方程中，得到关于a的方程，解方程即可． 【解析】∵是方程的解， ∴， 即， 移项得， 即， ∴， 故答案为2． 12．如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为________；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与日历有关的应用题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设十字方框的正中间的数字为，则其他四个数分别为，得出这五个数字的和为，结合当正中间的数字是9时，算出这五个数字的和；然后根据被圈住的五个数字之和为105，进行列方程，再解方程，即可作答． 【解析】设十字方框的正中间的数字为， 则其他四个数分别为， ∴， 则这五个数字的和为， ∵正中间的数字是9， ∴这五个数字的和为， ∵被圈住的五个数字之和为， ∴， ∴， ∴被圈住的五个数字正中间的一个为， 故答案为， 13．王芳同学做到这样一道题：如果，那么□表示的数是________． 【答案】2或8 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程．设□表示的数是a，则，根据绝对值的性质化简即可． 【解析】设□表示的数是a， 则， ， 所以或， 即□表示的数是2或8， 故答案为2或8． 14．请写出一个以为解的一元一次方程：________．（写出一个符合条件的方程即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义．一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，据此进行分析，即可作答． 【解析】依题意，是符合以为解的一元一次方程， 故答案为（答案不唯一） 15．下表是两种移动电话的计费方式： 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间 主叫超时费/（元） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 当小东某月的移动电话的主叫时间（超过，但不足）是________时，选择方式一与方式二的费用相同． 【答案】270 【分析】设当小东某月的移动电话的主叫时间是时，选择方式一与方式二的费用相同，根据方式一与方式二的费用相同的等量关系列出方程计算即可求解． 【解析】设当小东某月的移动电话的主叫时间是时，选择方式一与方式二的费用相同． 依题意，得， 解得． 故当小东某月的移动电话的主叫时间是时，选择方式一与方式二的费用相同．故答案为270． 16．已知：，则的值是________． 【答案】 【分析】已知，根据绝对值的定义可直接求解． 【解析】绝对值表示数轴上某数对应点到原点的距离， 到原点距离为的点有两个，分别为和， ，， ， ．故答案为$\pm 5$． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． （1）若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； （2）若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； （3）若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1） （2）的值为2或4或6 （3） 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据解是正整数，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求解． 【解析】（1）解：（1）解方程，得， 解方程，得． 因为方程与方程互为“唯美方程”， 所以，解得． （2）解：解方程，得． 因为两个一元一次方程互为“唯美方程”， 所以关于的一元一次方程的解为． 因为一元一次方程的解是正整数，也是正整数， 所以是正整数， 所以或或，即或或， 所以正整数的值为2或4或6． （3）解：解方程，得， 所以关于的一元一次方程的解是． 将整理，得， 所以，解得． 18．（6分）小琳在解关于x的方程时，把“”抄成了“”，求得方程的解为，求a的值和原方程的解． 【答案】，原方程的解为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，通过错误方程的解求出a的值，再代入原方程求解． 【解析】小琳抄错的方程为， ∵错误方程的解为， ∴代入得， 解得：， ∴原方程为， 整理得， 两边同乘6得， 展开得， 即， 移项得， 即， ∴． 19．（6分）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到．例如图： 线段；线段；线段 （1）数轴上点、代表的数分别为和，则线段________； （2）数轴上点、代表的数分别为和，则线段________； （3）数轴上的两个点之间的距离为，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数为，求． 【答案】（1）10 （2）4 （3）值为7或． 【分析】本题考查数轴上两点之间线段长度的求法，数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，熟记运算公式是解决问题的关键． （1）根据点代表的数分别为和，可得线段； （2）根据点代表的数分别为和，可得线段； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，即可得到． 【解析】（1）解：∵点代表的数分别为和， ∴线段， 故答案为10； （2）解：∵点代表的数分别为和， ∴线段； 故答案为4； （3）解：由题可得，则或， 解得或， ∴值为7或． 20．（6分）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【解析】设容器内水将升高，由题意，得： （2） 解得， 答：容器内水将升高． 21．（8分）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P为的中点，则点P对应的数是________． （2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． （3）现在点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，请求出点P对应的数． 【答案】（1）1 （2）x的值是5 （3）点P对应的数是或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据点P为的中点列式计算即可； （2）分两种情况，当P在线段上时，由，可知这种情况不存在；当P在B右侧时，则，求解即可； （3）设运动的时间是t秒，表示出t秒后点A，B，P表示的数，然后根据点A与点B之间的距离为2个单位长度列绝对值方程，求出t的值，进而可计算点P对应的数． 【解析】（1）解：∵A，B对应的数分别为，3，点P为的中点， ∴点P对应的数是， 故答案为1； （2）解：当P在线段上时，， ∴这种情况不存在； 当P在B右侧时，则， 解得， 答：x的值是5； （3）解：设运动的时间是t秒，则t秒后点A表示的数是，点B表示的数是，点P表示的数是， 根据题意得：， 解得或， 当时，点P表示的数是， 当时，点P表示的数是， 综上，点P对应的数是或． 22．（8分）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段AB的长度．对于线段AB和线段AB上的点C，给出如下定义：，此时，我们称是点C相对线段AB的“幸福值”． 例如：数轴上A，B两点表示的数分别为-2，3，点O是原点，此时因为，，且，所以． 如图，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足， （1）当点C对应的数是1时，求的值； （2）当时，点C对应的数是________． （3）点M，N分别从点A、B同时出发，相向运动，点N到达点A时，M，N都停止运动．若点M和点N的运动速度分别为3个单位长度/s和4个单位长度/s，运动t秒后，是否存在，若存在，求出t的值；不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）10或2 （3）存在，或 【分析】本题考查了数轴上的距离计算、绝对值的非负性及分类讨论思想，解题的关键是根据“幸福值”的定义分情况计算． （1） 先由绝对值非负性得、，计算；再求点对应的、，根据“幸福值”定义计算． （2） 分和两种情况，结合“幸福值”公式列方程，求解点对应的数． （3） 先表示运动秒后、的位置，再根据“幸福值”的分段定义分区间讨论，列方程求解 【解析】（1）解：由，得，，故． 当点对应时，，， 因，故． （2）解： ①当时，，得， 点对应； ②当时，，得， 点对应； 故答案为或． （3）解： 运动秒后，点位置为，点位置为，且． 对：，，当时，； 当时，． 对：，，当时，； 当时，． 分区间列方程： ①当时：， 化简得，解得（符合区间）． ②当时：， 化简得，解得（不在区间，舍去）． ③当时：， 化简得，解得（符合区间）． 答：存在满足条件的，其值为或． 23．（8分）【问题情境】如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b．已知关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b． 【问题探究】（1）________，________． 【拓展提升】（2）现有一辆长度不可伸缩的玩具小火车放置在数轴上（不移动时，左端点为C，右端点为D），将小火车沿数轴左右水平移动，当左端点移动到点D时，右端点所对应的数为b，当右端点移动到点C时，左端点所对应的数为a． ①求玩具小火车的长度； ②设移动过程中某一时刻左端点到点A的距离为m，右端点到点B的距离为n，当时，求左端点所表示的数． 【答案】（1）；9；（2）①4；②左端点C所表示的数是3或9 【分析】题目主要考查多项式的相关定义，数轴上两点间距离公式，解一元一次方程，理解题意是解题的关键． （1）根据多项式的次数和常数项定义求出a、b的值即可； （2）①根据题意得出，结合题意求解即可； ②设左端点所表示的数为，则右端点表示的数为，得出，然后结合题意，得出方程求解即可． 【解析】（1）∵关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b， ∴， 解得：； （2）①由（1）可知， 表示的数是表示的数是9， ， 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为， ， ， ， 玩具小火车的长度为4． ②设左端点所表示的数为，则右端点表示的数为， ，， 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧， ∴， 当时，， 或 解得：或， 左端点C所表示的数是3或9． 24．（12分）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）利用上述表示方法，“表示的点与表示4的点之间的距离”表示为________． （2）结合上面的理解，若，求的值． （3）若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴一直运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】（1） （2）或 （3）2秒或秒或4秒或6秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）求出点表示的数为，设运动时间为,分两种情况讨论：当时，当时，根据两点间距离公式列出方程，求出结果即可． 【解析】（1）解：“表示的点与表示4的点之间的距离”表示为：； （2）解：， 则或， 解得或； （3）解：点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右侧， 点表示的数为， 点从出发运动至点需用时秒， 设运动时间为． ①当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； ②当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动2秒或秒或4秒或6秒后，点与点相距1个单位长度． 25．（12分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度． （1）从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 个单位长度； （2）从如图的位置开始，若完成了8次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m． ①用含n的代数式表示m； ②求该位置距离原点O最近时n的值； （3）从如图的位置开始，当甲乙相遇时游戏结束，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值． 【答案】（1）6 （2）①；②该位置距离原点O最近时n的值是4 （3）k的值为3或4或5 【分析】（1）利用规则：若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，即可得结论； （2）根据题意乙赢次，则乙输了次，利用平移规则即可推算出结果； （3）由题意可得刚开始两人的距离为8，根据三种情况下计算出缩小的距离． 【解析】（1）解：完成了1次移动游戏，结果为平局，则甲向东移动1个单位长度到，乙向西移动1个单位长度到4， 移动后甲、乙两人相距个单位， 故答案为6； （2）解：①乙赢了次， 乙输了次． 乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度， 乙赢了次后，乙停留的数字为：． 若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； 乙输了次后，乙停留的数字为：， 根据题意得：， ． ②为正整数， 当时，该位置距离原点最近； （3）解：由题意可得刚开始两人的距离为8， 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小2个单位． 若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位． 若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度． 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位． 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位或1个单位． 甲与乙的位置相距3个单位，共需缩小个5单位． 当没有平局的情况，需要移5次，即； 当有一次平局的情况，还需要移3次，即； 当有两次平局的情况，还需要移1次，即； 的值为3或4或5． 【点睛】本题主要考查了列代数式，数轴的知识，解题的关键是掌握移动后甲乙距离变化的规律． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各式是方程的是（ ） A． B． C． D． 2．周末，小丽从家出发前往图书馆借书，她以的速度出发，后，妈妈发现她忘了带借阅证，于是，妈妈立即以的速度去追小丽，并且在途中追上了她．设妈妈追上小丽用了，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程： 嘉嘉：；淇淇：． 下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉设总银两数为两 B．淇淇设这群人共有人 C．嘉嘉所列方程左右两边代数式表示的都是每人分到的银两数 D．淇淇所列方程左右两边代数式表示的都是这群人的人数 4．将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，现在用如图2所示的方框在图1中框出5个数字，分别为、、、、，若，则的值为（ ） A．1001 B．1000 C．999 D．998 5．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们．若每人送3本，则还剩余8本；若每人送5本，则还缺少2本，求该校的获奖人数．小兰在解此题时，设该校的获奖人数为，列出方程为．小兰列此方程的等量关系的依据是（ ） A．获奖的学生人数不变 B．课外读物的总本数不变 C．每个人得到的课外读物的本数不变 D．剩余的课外读物的本数不变 6．某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴，已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．要使每天生产的书签和冰箱贴刚好配套，且每位工人只生产书签和冰箱贴中的一种，则厂家安排生产书签的工人人数是（ ） A．35 人 B．40人 C．45人 D．50人 7．在某市“智慧交通”项目建设中，一支工程队负责安装新型路侧通信单元．如果每天安装30台设备，会比原计划提前1天完成安装任务；如果每天安装20台设备，会比原计划推迟1天完成安装任务．若设原计划安装天完成任务，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．某商品进价为元，标价为元，打折后利润率为，则该商品打了（ ） A．折 B．折 C．折 D．折 9．如图，某数学小组在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字．若设“□”内的数字为，则列出的方程正确的是（ ）    A． B． C． D． 10．某核心素养测试由道题组成，答对一道得分，答错一道扣分，今有一考生虽然全部做完了道题，但所得分数为分，则他答对的题有（ ） A．12道 B．10道 C．8道 D．6道 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若是关于的方程的解，则________． 12．如图，是2026年1月的日历，用如图所示的十字方框去圈住图中的五个数字，当正中间的数字是9时，这五个数字的和为________；移动十字方框，若被圈住的五个数字之和为105，则被圈住的五个数字正中间的一个为________． 13．王芳同学做到这样一道题：如果，那么□表示的数是________． 14．请写出一个以为解的一元一次方程：________．（写出一个符合条件的方程即可） 15．下表是两种移动电话的计费方式： 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间 主叫超时费/（元） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 当小东某月的移动电话的主叫时间（超过，但不足）是________时，选择方式一与方式二的费用相同． 16．已知：，则的值是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． （1）若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； （2）若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； （3）若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 18．（6分）小琳在解关于x的方程时，把“”抄成了“”，求得方程的解为，求a的值和原方程的解． 19．（6分）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到．例如图： 线段；线段；线段 （1）数轴上点、代表的数分别为和，则线段________； （2）数轴上点、代表的数分别为和，则线段________； （3）数轴上的两个点之间的距离为，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数为，求． 20．（6分）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 21．（8分）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P为的中点，则点P对应的数是________． （2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． （3）现在点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，请求出点P对应的数． 22．（8分）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段AB的长度．对于线段AB和线段AB上的点C，给出如下定义：，此时，我们称是点C相对线段AB的“幸福值”． 例如：数轴上A，B两点表示的数分别为-2，3，点O是原点，此时因为，，且，所以． 如图，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足， （1）当点C对应的数是1时，求的值； （2）当时，点C对应的数是________． （3）点M，N分别从点A、B同时出发，相向运动，点N到达点A时，M，N都停止运动．若点M和点N的运动速度分别为3个单位长度/s和4个单位长度/s，运动t秒后，是否存在，若存在，求出t的值；不存在，请说明理由． 23．（8分）【问题情境】如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b．已知关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b． 【问题探究】（1）________，________． 【拓展提升】（2）现有一辆长度不可伸缩的玩具小火车放置在数轴上（不移动时，左端点为C，右端点为D），将小火车沿数轴左右水平移动，当左端点移动到点D时，右端点所对应的数为b，当右端点移动到点C时，左端点所对应的数为a． ①求玩具小火车的长度； ②设移动过程中某一时刻左端点到点A的距离为m，右端点到点B的距离为n，当时，求左端点所表示的数． 24．（12分）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）利用上述表示方法，“表示的点与表示4的点之间的距离”表示为________． （2）结合上面的理解，若，求的值． （3）若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴一直运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 25．（12分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度． （1）从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 个单位长度； （2）从如图的位置开始，若完成了8次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m． ①用含n的代数式表示m； ②求该位置距离原点O最近时n的值； （3）从如图的位置开始，当甲乙相遇时游戏结束，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $