第4章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版七年级上册

第4章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B的方程含两个未知数， 选项C的方程是分式方程， 选项D的方程中未知数最高次数为2，均不符合一元一次方程的要求； 只有选项A的符合要求． 2．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 3．根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 4．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 5．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 7．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 8．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 10．若a与互为相反数，则a的值是______． 【答案】 【分析】先根据a与互为相反数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵a与互为相反数， ∴， 解得：． 11．若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的次数为、未知数系数不为，求参数的值，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 系数满足：，即， ∴， 将代入原方程：， 化简得， 解得． 12．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【答案】 【分析】将错误求得的解代入错误方程，先求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入错误的方程得，， ， 整理得， 解得， 将代入原方程得，， ， ， ， 解得． 13．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上数的和为14，则这个三位数是________． 【答案】 【分析】设百位上的数字为，则十位上的数字为，再根据各数位数字和表示出个位数字，根据题目给出的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到各数位数字，进而得到三位数． 【详解】解：设百位上的数字为，则十位上的数字为， 各数位上的数的和为， 个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， 百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， 这个三位数为． 14．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可． 【详解】解：根据新运算可得 即如果，那么． 15．如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【答案】6 【分析】将题干图补全为一个大长方形，由于是这个长方形的对角线，这条对角线把长方形分成了两个相同的直角三角形，不难看出，左下角补的两个长方形的面积等于右上角补的长方形的面积，设小长方形的长为x，进而列方程求解即可. 【详解】解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 16．关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为___________． 【答案】 0 6 8 【详解】先解方程，得到一个含有字母k的解，再根据“解是自然数”作答即可. 【解答】解：解得， ∵关于x的方程的解是自然数， ∴k的值可以为：0、6、8． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算步骤法则是解本题的关键． 将方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】解： ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项：， 系数化为1：． 18．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求有理数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵， ∴， 解得：． 19．下面是小明解方程的过程．请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，                第二步 移项，得，                第三步 合并同类项，得，                    第四步 系数化为1，得．                    第五步 (1)小明的解答过程在第一步开始出现错误，出现错误的原因是违背了 （填字母）． A．等式的性质1                B．等式的性质2 (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解题步骤是解题的关键， （1）根据等式的性质2：去分母时，方程两边同时乘以6，解答即可； （2）按照解方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：去分母，， 方程两边同时乘以6，这是等式的性质2， 故选：B． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示5，输入数为，求计算结果； (2)若计算结果为7，且输入的数字是3，则表示的数是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设为，根据题意列方程计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2） 解：设为， 由题意得：， ， ， ， ， 即表示的数是． 21．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． (2) 【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 22．某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【答案】(1)用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； (2)B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 23．如图，已知数轴上有A、B两点，分别代表、20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A、B两点同时出发，甲沿线段以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点B时运动停止；乙沿线段以4个单位长度/秒的速度向左运动． (1)A、B两点间的距离为______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒． (2)甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？ 【答案】(1)60；15 (2)甲、乙在数轴上表示数的点相遇 (3)10秒或14秒 【分析】（1）求出A、B两点的距离即可得到第一空的答案，根据时间等于路程除以速度可得第二空的答案； （2）设甲、乙在数轴上相遇时，运动的时间为t秒，根据相遇时甲、乙表示的数相同建立方程求解即可； （3）设出运动时间，表示出甲、乙表示的数，再根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴A、B两点间的距离为60个单位长度， ∴乙到达A点时共运动了秒； （2）解：设甲、乙在数轴上相遇时，运动的时间为t秒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲、乙在数轴上表示数的点相遇； （3）解：设甲、乙的运动时间为x秒，则甲表示的数为，乙表示的数为， ∵甲、乙相距10个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度． 24．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴的值为； （3）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 25．如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)10，16，22 (3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下： 设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为， 当时， 解得，不是整数， ∴这4个数的和不可能是68． 【分析】（1）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为60建立方程求解即可； （2）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为48建立方程求解即可； （3）设出左上角的数，表示出其他三个数，再根据四个数的和为68建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴中间的数为20； （2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴ ∴这三个数分别为10，16，22； （3）略 26．学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 27．【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． (1)如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） (2)【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． (3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 【答案】(1)P，E (2)0或或5或25 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D A C B D 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9． 10． 11． 12． 13． 14．1 15．6 16．0、6、8 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17． 【详解】解： ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项：， 系数化为1：．..........3分 18． 【详解】（1）解：∵， ∴ ．..........2分 （2）解：∵， ∴， 解得：．..........5分 19． 【详解】（1）解：去分母，， 方程两边同时乘以6，这是等式的性质2， 故选：B．..........2分 （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得．..........5分 20． 【详解】（1）解：由题意得： ；..........2分 （2） 解：设为， 由题意得：， ， ， ， ， 即表示的数是．..........5分 21． (1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”．..........2分 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ．..........5分 22． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套；..........3分 （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单．..........6分 23． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴A、B两点间的距离为60个单位长度， ∴乙到达A点时共运动了秒；..........2分 （2）解：设甲、乙在数轴上相遇时，运动的时间为t秒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲、乙在数轴上表示数的点相遇；..........4分 （3）解：设甲、乙的运动时间为x秒，则甲表示的数为，乙表示的数为， ∵甲、乙相距10个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度．..........6分 24． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴；..........2分 （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴的值为；..........4分 （3）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为．..........6分 25． 【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴中间的数为20；..........2分 （2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴ ∴这三个数分别为10，16，22；..........4分 (3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下： 设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为， 当时， 解得，不是整数， ∴这4个数的和不可能是68．..........6分 26． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个．..........3分 （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ；..........6分 ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个．..10分 27． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”；..........3分 （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25．..........7分 （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或．..........11分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $null