第二章 整式及其加减 单元优卷 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

第二章　整式及其加减 单元素养培优卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 考查范围 2.1～2.2（全章·培优）　　满分 120 分　　建议用时 120 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础巩固】第 1—4 题，必做，共 16 分 1．若 3x|m|y2 与 −2x3yn 是同类项，且 m＜0，则 m−n 的值是（　　） A．−5　　B．5　　C．−1　　D．1 2．若关于 x、y 的多项式 (a−1)x2y|a|+3xy−2 是五次三项式，则 a 的值是（　　） A．3　　B．−3　　C．3 或 −3　　D．1 3．化简 −{−[−(a−b)]} 的结果是（　　） A．a−b　　B．−a+b　　C．−a−b　　D．a+b 4．把 3a2−2ab+b2 写成两个多项式的差，使被减式不含 ab 项，结果是（　　） A．(3a2+b2)−2ab　　B．(3a2−2ab)+b2 C．3a2−(2ab+b2)　　D．(3a2+b2)−(−2ab) 【B 组 · 能力提升】第 5—8 题，选做，共 16 分 5．把多项式 x3y−2x2y2+3xy3−4 按 x 的降幂排列后，第三项是（　　） A．3xy3　　B．−2x2y2　　C．−4　　D．x3y 6．已知 a−2b=3，则 3(a−2b)2−2(2b−a)+5 的值是（　　） A．38　　B．26　　C．32　　D．20 7．下列计算正确的是（　　） A．3a2−2a2=1　　B．2a+3b=5ab C．−(a−b)=−a+b　　D．5a−2a=3 8．已知 a＜0＜b，且 |a|＜|b|，则 |a−b|−|a+b|+|b| 化简的结果是（　　） A．−2a+b　　B．−2a−b　　C．2a+b　　D．−2a+2b 【C 组 · 素养冲刺】第 9—10 题，挑战，共 8 分 9．观察这组算式：1×2+1=3，2×3+1=7，3×4+1=13，4×5+1=21，…， 则第 n 个算式右边的数是（　　） A．n2+n+1　　B．n2+1　　C．n2+n　　D．2n+1 10．一张长方形桌子可坐 6 人，把桌子按同样方式首尾相接拼起来：2 张 拼起来坐 10 人，3 张拼起来坐 14 人，…，则 n 张桌子拼起来可坐（　　） A．(4n+2) 人　　B．(4n+6) 人　　C．6n 人　　D．(2n+4) 人 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 【A 组 · 基础巩固】第 11—14 题，必做，共 16 分 11．单项式 −6x2y3 的系数是 __________，次数是 __________。 12．多项式 −2x3y+3xy2−x+7 是 __________ 次 __________ 项式， 最高次项的系数是 __________。 13．一个两位数，十位数字比个位数字大 3。若个位数字是 x， 则这个两位数是 __________。 14．化简：(3a2−2a)−(a2−2a+1)=__________。 【B 组 · 能力提升】第 15—17 题，选做，共 12 分 15．当 x=1 时，代数式 ax3+bx+5 的值为 9，则当 x=−1 时， 该代数式的值为 __________。 16．若 (x2+ax−2y+3)−(bx2−2x+5y−1) 的值与字母 x 的取值无关， 则 a+b=__________。 17．一个多项式减去 2x2−3x+1 得 −x2+4x−5，则它是 __________。 【C 组 · 素养冲刺】第 18 题，挑战，共 4 分 18．多项式 3x2y−2xy+1 的各项系数之和是 __________。 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 48 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 【A 组 · 基础巩固】第 19—21 题，必做，共 14 分 19．（4 分）一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b（a≠0）。 （1）把这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，所得的新两位数 与原两位数的和是多少（用含 a、b 的式子表示并化简）？ （2）新两位数与原两位数的差是多少（用含 a、b 的式子表示并化简）？ 20．（5 分）已知 A=2x2+3xy−2x−1，B=x2−xy−1。 （1）化简 3A−6B； （2）当 x=−1，y=2 时，求 3A−6B 的值。 21．（5 分）先化简，再求值：3x2−[2x2−3(2x−x2)]，其中 x=−1。 【B 组 · 能力提升】第 22—25 题，选做，共 22 分 22．（5 分）已知 a−b=3，c+d=2，求 (b+c)−(a−d) 的值。 23．（6 分）小马虎在化简 2(3a2−ab)−3(a2−2ab) 时的过程如下： 第一步：=6a2−2ab−3a2−6ab； 第二步：=3a2−8ab。 （1）他从第几步开始出错？请说明错误原因； （2）写出正确的化简过程与结果。 24．（6 分）已知 |x−2|+(y+1)2=0，求 3(x2−2xy)−2(2x2−3xy)+x 的值。 25．（5 分）某商店出售甲、乙两种商品，甲每件 a 元，乙每件 b 元。 现有两种优惠方案：方案一，买一件甲送一件乙；方案二，全部商品 付款。若购买 5 件甲和 5 件乙： （1）用含 a、b 的式子分别表示两种方案应付的钱数； （2）当 a=100，b=50 时，哪种方案更省钱？请说明理由。 【C 组 · 素养冲刺】第 26—27 题，挑战，共 12 分 26．（5 分）定义一种新运算：a△b=2a−b，例如 3△2=2×3−2=4。 （1）化简 (x+1)△(x−1)； （2）若 (x+1)△(x−1) 的值为 5，求 x 的值。 27．（7 分）观察下列等式： 13+23=9=(1+2)2； 13+23+33=36=(1+2+3)2； 13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2；… （1）13+23+33+43+53=__________=（__________）2； （2）猜想 13+23+…+n3=__________（用含 n 的式子表示）。 （3）利用（2）的猜想计算 13+23+…+103 的值。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　整式及其加减 单元素养培优卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 考查范围 2.1～2.2（全章·培优）　　满分 120 分　　建议用时 120 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础巩固】第 1—4 题，必做，共 16 分 1．若 3x|m|y2 与 −2x3yn 是同类项，且 m＜0，则 m−n 的值是（　　） A．−5　　B．5　　C．−1　　D．1 2．若关于 x、y 的多项式 (a−1)x2y|a|+3xy−2 是五次三项式，则 a 的值是（　　） A．3　　B．−3　　C．3 或 −3　　D．1 3．化简 −{−[−(a−b)]} 的结果是（　　） A．a−b　　B．−a+b　　C．−a−b　　D．a+b 4．把 3a2−2ab+b2 写成两个多项式的差，使被减式不含 ab 项，结果是（　　） A．(3a2+b2)−2ab　　B．(3a2−2ab)+b2 C．3a2−(2ab+b2)　　D．(3a2+b2)−(−2ab) 【B 组 · 能力提升】第 5—8 题，选做，共 16 分 5．把多项式 x3y−2x2y2+3xy3−4 按 x 的降幂排列后，第三项是（　　） A．3xy3　　B．−2x2y2　　C．−4　　D．x3y 6．已知 a−2b=3，则 3(a−2b)2−2(2b−a)+5 的值是（　　） A．38　　B．26　　C．32　　D．20 7．下列计算正确的是（　　） A．3a2−2a2=1　　B．2a+3b=5ab C．−(a−b)=−a+b　　D．5a−2a=3 8．已知 a＜0＜b，且 |a|＜|b|，则 |a−b|−|a+b|+|b| 化简的结果是（　　） A．−2a+b　　B．−2a−b　　C．2a+b　　D．−2a+2b 【C 组 · 素养冲刺】第 9—10 题，挑战，共 8 分 9．观察这组算式：1×2+1=3，2×3+1=7，3×4+1=13，4×5+1=21，…， 则第 n 个算式右边的数是（　　） A．n2+n+1　　B．n2+1　　C．n2+n　　D．2n+1 10．一张长方形桌子可坐 6 人，把桌子按同样方式首尾相接拼起来：2 张 拼起来坐 10 人，3 张拼起来坐 14 人，…，则 n 张桌子拼起来可坐（　　） A．(4n+2) 人　　B．(4n+6) 人　　C．6n 人　　D．(2n+4) 人 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 【A 组 · 基础巩固】第 11—14 题，必做，共 16 分 11．单项式 −6x2y3 的系数是 __________，次数是 __________。 12．多项式 −2x3y+3xy2−x+7 是 __________ 次 __________ 项式， 最高次项的系数是 __________。 13．一个两位数，十位数字比个位数字大 3。若个位数字是 x， 则这个两位数是 __________。 14．化简：(3a2−2a)−(a2−2a+1)=__________。 【B 组 · 能力提升】第 15—17 题，选做，共 12 分 15．当 x=1 时，代数式 ax3+bx+5 的值为 9，则当 x=−1 时， 该代数式的值为 __________。 16．若 (x2+ax−2y+3)−(bx2−2x+5y−1) 的值与字母 x 的取值无关， 则 a+b=__________。 17．一个多项式减去 2x2−3x+1 得 −x2+4x−5，则它是 __________。 【C 组 · 素养冲刺】第 18 题，挑战，共 4 分 18．多项式 3x2y−2xy+1 的各项系数之和是 __________。 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 48 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 【A 组 · 基础巩固】第 19—21 题，必做，共 14 分 19．（4 分）一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b（a≠0）。 （1）把这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，所得的新两位数 与原两位数的和是多少（用含 a、b 的式子表示并化简）？ （2）新两位数与原两位数的差是多少（用含 a、b 的式子表示并化简）？ 20．（5 分）已知 A=2x2+3xy−2x−1，B=x2−xy−1。 （1）化简 3A−6B； （2）当 x=−1，y=2 时，求 3A−6B 的值。 21．（5 分）先化简，再求值：3x2−[2x2−3(2x−x2)]，其中 x=−1。 【B 组 · 能力提升】第 22—25 题，选做，共 22 分 22．（5 分）已知 a−b=3，c+d=2，求 (b+c)−(a−d) 的值。 23．（6 分）小马虎在化简 2(3a2−ab)−3(a2−2ab) 时的过程如下： 第一步：=6a2−2ab−3a2−6ab； 第二步：=3a2−8ab。 （1）他从第几步开始出错？请说明错误原因； （2）写出正确的化简过程与结果。 24．（6 分）已知 |x−2|+(y+1)2=0，求 3(x2−2xy)−2(2x2−3xy)+x 的值。 25．（5 分）某商店出售甲、乙两种商品，甲每件 a 元，乙每件 b 元。 现有两种优惠方案：方案一，买一件甲送一件乙；方案二，全部商品 付款。若购买 5 件甲和 5 件乙： （1）用含 a、b 的式子分别表示两种方案应付的钱数； （2）当 a=100，b=50 时，哪种方案更省钱？请说明理由。 【C 组 · 素养冲刺】第 26—27 题，挑战，共 12 分 26．（5 分）定义一种新运算：a△b=2a−b，例如 3△2=2×3−2=4。 （1）化简 (x+1)△(x−1)； （2）若 (x+1)△(x−1) 的值为 5，求 x 的值。 27．（7 分）观察下列等式： 13+23=9=(1+2)2； 13+23+33=36=(1+2+3)2； 13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2；… （1）13+23+33+43+53=__________=（__________）2； （2）猜想 13+23+…+n3=__________（用含 n 的式子表示）。 （3）利用（2）的猜想计算 13+23+…+103 的值。 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．A 同类项要求相同字母的指数相同：由 x 的指数得 |m|=3，所以 m=3 或 m=−3； 由 y 的指数得 n=2。 又因为 m＜0，所以 m=−3。于是 m−n=−3−2=−5。故选 A。 易错：忽略“m＜0”这个条件，把 m=3 也算进去，误选 B 或 D。 2．C 五次三项式要同时满足两个条件：最高次项的次数是 5，且只有三项。 第一项 (a−1)x2y|a| 的次数是 2+|a|，所以 2+|a|=5，得 |a|=3，a=3 或 a=−3。 还要保证它确实是“三项式”中的项，即系数 a−1≠0，所以 a≠1，两个值都符合。故选 C。 易错：只写 a=3，漏掉 a=−3；或忘了检验 a−1≠0。 3．B 由内向外逐层去括号：−(a−b)=−a+b；−[−a+b]=a−b；−{a−b}=−a+b。 所以原式=−a+b。故选 B。 口诀：负号个数为奇数则各项变号，为偶数则不变号。本题从里到外共 3 个负号， a−b 中两项都要变号，结果为 −a+b。 4．A 要求写成“两个多项式的差”，形式是（被减式）−（减式）。 被减式不含 ab 项，就把不含 ab 的项 3a2+b2 放进被减式， 剩下的 −2ab 作为减式：3a2−2ab+b2=(3a2+b2)−2ab。故选 A。 检验：B 是两个多项式的和；C 中去括号得 3a2−2ab−b2，与原式不符； D 中 −(−2ab)=+2ab，也不符。 5．A 按 x 的降幂排列：x3y（x 的指数 3）、−2x2y2（2）、3xy3（1）、−4（0）。 排列结果为 x3y−2x2y2+3xy3−4，第三项是 3xy3。故选 A。 易错：把“第三项”数成含 x 的最高次项开始数错位；注意 −4 也占一项。 6．A 由 a−2b=3，得 2b−a=−(a−2b)=−3。 原式=3×32−2×(−3)+5=27+6+5=38。故选 A。 易错：把 2b−a 直接当成 3，得到 27−6+5=26（选项 B）。 要点：2b−a 与 a−2b 互为相反数，符号要看清。 7．C 逐项检查：A 中 3a2−2a2=a2，不是 1，错； B 中 2a 与 3b 所含字母不同，不是同类项，不能合并，错； C 中括号前是负号，去括号时括号里各项都要变号：−(a−b)=−a+b，对； D 中 5a−2a=3a，不是 3，错。故选 C。 要点：合并同类项只把系数相加，字母和字母的指数都不变； 8．A 先去绝对值，关键是判断绝对值里式子的符号。 因为 a＜0＜b，所以 a−b＜0，于是 |a−b|=−(a−b)=b−a； 又 |a|＜|b| 且 a＜0，说明 b 比 a 的绝对值大，所以 a+b＞0， 于是 |a+b|=a+b；而 b＞0，|b|=b；a＜0，|a|=−a（本题用不到，留作对照）。 所以原式=(b−a)−(a+b)+b=b−a−a−b+b=−2a+b。故选 A。 易错：不判符号就直接把 |a+b| 写成 −a−b（选项 B），这正是 |a|＜|b| 这个条件的作用。 9．A 观察右边的数：3，7，13，21。相邻两项的差是 4，6，8，不是等差数列， 改看与 n2 的关系：n=1 时 3=1+2；n=2 时 7=4+3；n=3 时 13=9+4；n=4 时 21=16+5。 发现右边的数=n2+n+1，这也正好等于 n(n+1)+1。故选 A。 验证 n=5：25+5+1=31，而 5×6+1=31，一致。 10．A 列表观察：1 张坐 6 人，2 张坐 10 人，3 张坐 14 人。 每多拼一张桌子就多坐 4 人，所以人数=6+4(n−1)=4n+2。故选 A。 也可这样想：两端各坐 1 人（共 2 人），每张桌子长边各坐 2 人（共 4n 人）， 合计 4n+2 人。 验证 n=3：4×3+2=14，与题设一致。 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 11．−6；5 单项式的系数是数字因数，要连同前面的负号一起看：系数是 −6。 次数是所有字母的指数之和：x 的指数 2 加 y 的指数 3，得 2+3=5， 易错：把系数答成 6（丢负号）；把次数答成 2 或 3（只看某一个字母）。 12．四；四；−2 各项次数：−2x3y 是 3+1=4 次，3xy2 是 1+2=3 次，−x 是 1 次，7 是常数项。 最高次是 4 次，共 4 项，所以是四次四项式。 最高次项是 −2x3y，系数是 −2（连同负号）。 易错：把次数答成 3（只看 x 的指数）；把系数答成 2（丢负号）。 13．11x+30 个位数字是 x，十位数字比它大 3，所以十位数字是 x+3。 十位上的数字表示几个十，所以这个两位数是 10(x+3)+x=10x+30+x=11x+30。 易错：写成 (x+3)+x 或 (x+3)x，忘了数位值。 检验：若 x=1，两位数是 41，而 11×1+30=41，一致。 14．2a2−1 括号前是负号，去括号时括号里各项都要变号： (3a2−2a)−(a2−2a+1)=3a2−2a−a2+2a−1。 合并同类项：3a2−a2=2a2，−2a+2a=0，常数项是 −1， 所以结果是 2a2−1。 易错：只给 a2 变号，写成 3a2−2a−a2−2a+1；或把 −1 的符号丢掉。 15．1 当 x=1 时，把 x=1 代入得 a+b+5=9，所以 a+b=4。 当 x=−1 时，把 x=−1 代入得 −a−b+5=−(a+b)+5=−4+5=1。 要点：x 换成相反数时，奇次项 ax3、bx 都变号，常数项不变， 所以整体把 a+b 当作一个式子代入即可，不必分别求出 a、b 的值。 易错：把 x=−1 代入却算成 a+b+5=9，忘了奇次项要变号。 16．−1 先去括号、合并同类项： (x2+ax−2y+3)−(bx2−2x+5y−1) =x2+ax−2y+3−bx2+2x−5y+1 =(1−b)x2+(a+2)x−7y+4。 结果与 x 的取值无关，说明含 x 的项的系数都为 0： 1−b=0，得 b=1；a+2=0，得 a=−2。所以 a+b=−2+1=−1。 易错：只让一次项系数为 0，漏掉二次项；或去括号时 −(−1) 没有变成 +1。 17．x2+x−4 设这个多项式为 A，则 A−(2x2−3x+1)=−x2+4x−5。 所以 A=(−x2+4x−5)+(2x2−3x+1) =−x2+4x−5+2x2−3x+1=x2+x−4。 易错：把“减去”做成“被减”，算成 −3x2+7x−6。 检验：x2+x−4−(2x2−3x+1)=x2+x−4−2x2+3x−1=−x2+4x−5，一致。 18．2 “各项系数”要连同符号一起看： 3x2y 的系数是 3，−2xy 的系数是 −2，常数项 1 也是系数。 所以各项系数之和是 3+(−2)+1=2。 易错：漏掉常数项，得到 3−2=1；或把 −2xy 的系数看成 2，得到 3+2+1=6。 三、解答题（共 48 分） 19．（4 分） 原两位数是 10a+b，交换数位后的新两位数是 10b+a。 （1）和：(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b。 （2）差：(10b+a)−(10a+b)=10b+a−10a−b=9b−9a。 评分：每小题 2 分（列式 1 分、化简 1 分）。 要点：十位数字 a 表示 a 个十，即 10a，不能直接写 ab。 易错：第（2）问写成 9a−9b，这是“原数减新数”，方向反了。 20．（5 分） （1）3A=3(2x2+3xy−2x−1)=6x2+9xy−6x−3， 6B=6(x2−xy−1)=6x2−6xy−6。 所以 3A−6B=(6x2+9xy−6x−3)−(6x2−6xy−6) =6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy+6=15xy−6x+3。 （2）当 x=−1，y=2 时，原式=15×(−1)×2−6×(−1)+3=−30+6+3=−21。 评分：（1）3 分，（2）2 分。代入前必须先化简，否则不容易算对。 易错：减号后面的 6B 三项都要变号，−(−6xy) 要写成 +6xy。 21．（5 分） 先去小括号：原式=3x2−[2x2−6x+3x2]。 合并中括号内的项：原式=3x2−[5x2−6x]。 去中括号：原式=3x2−5x2+6x=−2x2+6x。 当 x=−1 时，原式=−2×(−1)2+6×(−1)=−2−6=−8。 评分：化简 3 分，代入求值 2 分。化简错则代入分不给。 易错：−3(2x−x2) 中两项都要乘 −3，得 −6x+3x2，不要漏乘 −x2。 22．（5 分） 先去括号，再重新分组： (b+c)−(a−d)=b+c−a+d。 把含 a、b 的项放一起，含 c、d 的项放一起： = (b−a)+(c+d)=−(a−b)+(c+d)。 代入 a−b=3，c+d=2：原式=−3+2=−1。 评分：去括号 2 分，分组 2 分，代入 1 分。 要点：直接代入不行，要把式子重新组合，凑出已知的 a−b 与 c+d，这是“整体思想”。 易错：去括号时 −(a−d) 只变 a 的号，写成 −a−d。 23．（6 分） （1）从第一步开始出错。 错在 −3(a2−2ab) 去括号：括号前的系数是 −3，括号里两项都要乘 −3， −3×(−2ab) 应得 +6ab，而小马虎写成了 −6ab，符号错了。 （2）正确过程： 2(3a2−ab)−3(a2−2ab) =6a2−2ab−3a2+6ab =3a2+4ab。 评分：（1）3 分（说出第一步 1 分、说明原因 2 分），（2）3 分。 要点：分配律要“乘遍每一项”，系数带负号时最容易在符号上出错。 检验：取 a=b=1，原式=2×(3−1)−3×(1−2)=4+3=7，而 3+4=7，一致。 24．（6 分） 由 |x−2|+(y+1)2=0 且绝对值、平方都非负，得 x−2=0，y+1=0， 所以 x=2，y=−1。 先化简：3(x2−2xy)−2(2x2−3xy)+x =3x2−6xy−4x2+6xy+x=−x2+x。 当 x=2 时，原式=−4+2=−2。（结果与 y 无关，y 的值不必代入） 评分：求 x、y 2 分，化简 3 分，求值 1 分。 要点：化简后 −6xy 与 +6xy 抵消，式子里不再含 y，所以 y 只用来确定 x。 25．（5 分） （1）方案一：买 5 件甲送 5 件乙，正好得到 5 甲、5 乙，只付甲的钱， 应付 5a 元。 方案二：全部按八折，原价是 5a+5b，折后应付 0.8(5a+5b)=(4a+4b) 元。 （2）当 a=100，b=50 时， 方案一：5×100=500（元）；方案二：4×100+4×50=400+200=600（元）。 因为 500＜600，所以方案一更省钱。 评分：（1）3 分（方案一 1 分、方案二 2 分），（2）2 分（算值 1 分、比较并结论 1 分）。 易错：方案二把 0.8 只乘 a，漏乘 b；比较时只算钱数不说结论。 26．（5 分） （1）按定义，a△b=2a−b，把 a 换成 x+1，b 换成 x−1： (x+1)△(x−1)=2(x+1)−(x−1)=2x+2−x+1=x+3。 （2）由题意 x+3=5，解得 x=2。 评分：（1）3 分，（2）2 分。 易错：第（1）问减去 (x−1) 时忘记加括号，写成 2x+2−x−1； 第（2）问要先把结果化简再列方程，不能直接代 x 的值试。 27．（7 分） （1）13+23+33+43+53=225=152（因为 1+2+3+4+5=15）。 （2）猜想：13+23+…+n3=(1+2+…+n)2。 （3）1+2+…+10=55，所以 13+23+…+103=552=3025。 评分：（1）2 分，（2）2 分，（3）3 分（求 1+2+…+10 得 2 分，平方得 1 分）。 要点：观察三行等式的共同结构——左边是连续整数的立方和， 右边是这些整数之和的平方，底数正好是左边各数的底数之和。 验证：13+23+33+43=1+8+27+64=100，而 (1+2+3+4)2=100，一致。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $