2026-2027学年沪科版七年级数学上册第2章 整式及其加减单元练习题

沪科版七年级数学上册第2章 整式及其加减单元练习题 一、单选题 1．若，则下列式子的值最大的是（　　） A． B． C． D． 2．下面用字母表示的有理数的运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列整式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 4．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各式中，运算正确的是 (　　) A．5x+3y=8xy B． C． D．5a-3a=2 6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（　　） A．32 B．28 C．24 D．20 7．如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（　　） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 8．某校组织初一年级学生外出旅游，景点电瓶车有8座的和12座的两种．若租用8座的电瓶车x辆，则余下6人无座位；若租用12座的电瓶车则可少租用1辆，且最后一辆电瓶车还没坐满，则乘坐最后一辆12座电瓶车的人数是（　　） A．（30﹣4x）人 B．（6﹣4x）人 C．（18﹣4x）人 D．（18﹣8x）人 9．如果，那么代数式的值是（　　） A．1 B． C． D．2021 10．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为，现要在公路上建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（　　） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．点处 二、填空题 11．请写出的一个同类项：　 　． 12．让我们轻松一下，做一个数字游戏。第一步：取一个自然数n1=5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算n32＋1得a3；…………以此类推，则a2019=　 　. 13．已知代数式：（8-6n）-●（4-2n），化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是　 　. 14．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为　 　． 三、解答题 15．先化简，再求值：，其中，． 16．我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． （1）猜想： （用含n的式子表示）； （2）依规律，直接写出的值为 ； （3）依规律，求的值． 17．设是一个四位数，且能被3整除． （1）求证：能被3整除； （2）若能被7整除，求证：能被21整除． 18．数学课上，老师提出一道思考题，如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是多少？经过独立思考和小组讨论之后，小明代表本组汇报如下的解题思路： 可以先设重叠部分的小长方形的长与宽分别为和，再用含和的式子分别表示阴影部分的各边长，算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长后求两者差即可得到答案 （1）请你结合小明说的思路，表示一下右上角阴影部分的周长为___________，左下角阴影部分的周长为___________； （2）右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是___________（用含b的式子表示）． 19．如图，文山七都古镇计划修建一座花坛，花坛呈长方形，两端四分之一圆铺设草地，中间空白区域铺设鹅卵石． （1）用含、的代数式表示铺设鹅卵石的面积（结果保留）； （2）若米，米，每铺平方米鹅卵石需元，每铺平方米草地需元，求铺这个花坛共需花费多少元？（取） 20．图①是2026年1月份的日历，欢欢在其中画出一个的方框，框出九个数，如图②，计算其中四个数“”的结果，并探究其规律． （1）若，则图②中“”的结果为_______． （2）提出猜想：若将图②的的方框移动到图①中的其他位置，猜想“”的值_______（填“不变”或“改变”）． （3）欢欢认为（2）中的猜想正确，其推理的过程如下，请将其补充完整． 设，则______． （_______） ______ ______． （4）乐乐在日历中用如图③的的方框框出图①中的四个数．直接写出“”的值． 21．如图所示，有一块长为40m，宽为20m的长方形土地，现在将其余三面留出宽分别为，的小路，中间余下的长方形部分挖成水池． （1）水池的长_____m；水池的宽______m；长方形的周长_____m；（用含x、y的式子表示） （2）若M等于长方形的周长，，当时，求的值． 22．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案∶①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装30套，领带x条()． （1）若该客户按方案①购买，需付款多少元？若该客户按方案②购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示） （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若有，请写出你的购买方案和总费用；若无，请说明理由． 23．我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为a1，第2个数记为a2，…，第n个数记为 an。1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：a1=1， a2=1， a3=2， a4=3， a5=5， a6=8， a7=13， a8=21， a9=34，…。从a3开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即 小明在一次课外活动中，作了如下探究： . 小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子…… （1）请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出 与数列中的哪个数，有怎样的数量关系?注：k为正整数，下同)。 （2）小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立。你赞同小明的想法吗?如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法。 （3）①请你借鉴小明的探究思路，直接写出 与该数列中某个数的数量关系（不用证明)。 ②查得该数列中a30=832040， a31=1346269，求 的值。 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴最大的是，故B正确，A、C、D错误. 故答案为：B． 【分析】把代入、、、，分别求出它们的值，再比较大小，即可得最大的是，进而得答案. 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、在5x+3y中，5x的字母是x，3y的字母是y，它们所含字母不同，不是同类项，不能直接合并，所以5x+3y≠8xy，该选项‌错误‌； B、3a与a是同类项，根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。3a+a=(3+1)a=4a，而不4a2，所以该选项‌错误‌； C、3a2b与2a2b是同类项，它们的字母部分都是a2b。按照合并同类项法则，系数相减：3−2=1，所以 3a2b-2a2b=a2b，该选项‌正确‌； D、5a和3a是同类项，合并同类项时，系数相减：5−3=2，结果应为2a，而不是2，所以该选项‌错误‌。 故答案为：C. 【分析】根据同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的几个单项式。逐项判断式子中的各项是否为同类项，若不是同类项则不能合并；若是同类项，再按照合并同类项法则（同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和指数不变）对系数进行相应的运算，从而判断每个选项的正确性。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是（个）， 故答案为：C． 【分析】先观察图形，再找出规律：第个图案中有个黑色圆点，最后计算求解即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为、、、， ∴十字框中五个数的和是． ∵为偶数， ，，，， 故答案为：D． 【分析】设十字框中间的数为x，则左边的数为x-2，右边的数为x+2，上面的数为x-10，下面的数为x+10，根据整式加法法则 求出这五个数的和为5x，结合x为偶数可得5x也是偶数，且这五个数的和能被5整除，即可逐一判断得出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵租用8座的船x艘，则余下6人无座位， ∴一共有（8x+6）人， 租用12座的船（x﹣1）艘， ∵最后一艘还没坐满， 最后一艘船坐：(8x+6)﹣12(x﹣2)＝(﹣4x+30)（人）， 故答案为：A． 【分析】由租用的8座船可求总人数，再根据租用12座的电瓶车则可少租用1辆，且最后一辆电瓶车还没坐满，列式化简即可. 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】（答案不唯一） 12．【答案】122 . 13．【答案】2或3 【解析】【解答】解：设被污染的数字为k，则代数式为(8-6n)+k(4-2n)． 展开并整理，得(8-6n)+k(4-2n)=8-6n+4k-2kn=(8+4k)+(-6-2k)n ∵化简结果是单项式， ∴分以下情况： ①常数项为0：8+4k=0，解得k=?2（不是数字，舍去）； ②一次项系数为0：-6-2k=0，解得k=-3（不是数字，舍去）； ③或原式为同类项合并： 8-6n与k(4-2n)是同类项，即8-6n=k(4-2n)对任意n成立 ∴8-6n=4k-2kn对应系数相等， ，解得k=3； 或其中一项抵消： 若8-6n=0，则，此时k任意，不符合“无论n为何值”； 若4-2n=0，则n=2，此时k任意，不符合； 若8-6n与k(4-2n)合并后只剩一项，即-6-2k=0或8+4k=0，结合k为正数字，得k=2或k=3． 综上，被污染的数字是2或3． 故答案为：2或3. 【分析】先设被污染数字为k，展开代数式得到关于n的一次二项式；根据“单项式”定义（只有一项，故要么常数项为0，要么一次项系数为0，要么两项为同类项可合并），结合k为正数字，解得k=2或k=3． 14．【答案】 【解析】【解答】解：由图形可得：小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长，即4个的长， 即：， ， 长方形的长为，宽为， ， ∵， ， 长方形的周长为， 故答案为：. 【分析】列式求出的长，即可求出和的长解答即可． 15．【答案】， 16．【答案】（1） （2）3025 （3）24200 17．【答案】（1）证明： 依题意， 能被3整除， 能被3整除， 能被3整除． （2）证明：依题意，． 能被7整除， ∴能被7整除， 能被7整除． 能被7整除． 由（1）知，能被3整除， 能被21整除． 18．【答案】（1）， （2） 19．【答案】（1）； （2）元． 20．【答案】（1）21 （2）不变 （3） （4）28 21．【答案】（1），， （2）解：已知，， 所以 当时，原式． 【解析】【解答】（1）解：由题意得，， 长方形的周长． 故答案为：，，． 【分析】（1）用代数式表示水池的长和宽解题． （2）将代入去括号、合并同类项化简，然后代入数值计算即可． （1）解：由题意得，， 长方形的周长． 故答案为：，，． （2）解：已知，， 所以 当时，原式． 22．【答案】（1）按方案①需付款元，按方案②需付款元 （2）按方案①购买较为合算 （3）先按照方案①购买30套西装，可以送30条领带；然后按照方案②购买20条领带，更省钱的方案费用为元 23．【答案】（1）解：举例：a2+a4+a6+a8+a10=33+55=88. 猜想：a2+a4+··+a2k=a2k+1-1(k为正整数) （2）解：不赞同. 理由：仅通过举例验证猜想，不能保证猜想在所有情况下都成立；因为例子的数量是有限的，而数列的项数是无限的，可能存在未被举例涵盖的情况使得猜想不成立. 证明方法：用数学归纳法， ①当k=1时，a2=1，a2k+1=a3=2， a2=a3=1，猜想成立 ②假设当k=n(n为正整数)时，猜想成立，即a2+a4+···+a2n=a2n+1-1. ③当k=n+1时， a2+a4+···+a2n+a2(n+1)=a2n+1-1+a2n+2 ∵从a3开始，每个数都等于它前面两数之和，即an=an-1+an-2(n≥3)， ∴a2n+1-1+a2n+2=a2n+3-1，即当k=n+1时，猜想也成立 由①②③可知，对于任意正整数k. a2+a4+···+a2k=a2k+1-1都成立 （3）解：①a1+a3+··+a2k-1=a2k(k为正整数) ②∵a1+a3+···+a2k-1=a2k， ∴a1-a3+···+a29=a30. 又∵a2+a4+···+a2k=a2k+1-1， ∴a2+a4+···+a30=a31-1 则a1+a2+a3+···+a30=(a1+a3+···+ a29)+(a2+a4+···+a30)=a30+a31-1 已知a30=832040，a31=1346269， ∴a1+a2+a3+···+a30=832040+1346269-1=2178308 【解析】【分析】(1)通过观察已知的求和结果与数列中数的关系，找出规律并举例验证； (2)分析仅通过举例验证猜想的局限性，提出更严谨的证明方法； (3)借鉴小明的探究思路，找出新的求和式与数列中数的关系，并利用该关系计算指定数列的和. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $