精品解析：云南昆明市官渡区第一中学2025-2026学年度九年级数学中考模拟考试卷（一）

2025—2026学年度九年级数学中考模拟考试卷 （本卷满分100分，考试时间120分钟）． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示( ) A. 支出45元 B. 收入45元 C. 支出55元 D. 收入55元 【答案】C 【解析】 【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解． 【详解】解：收入100元记作元，则元表示支出55元， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体中心体育场占地面积430亩，共有80800个座位，其中数80800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是掌握从上面看到的图形是俯视图． 【详解】解：根据题意可得： 这个几何体可能是 “”， 故选：A． 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，列出不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题的关键． 6. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示，如果要选择一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，方差的意义作决策，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴选乙、丁， ∵， ∴乙的更稳定， ∴选乙， 故选：． 【点睛】本题主要考查根据平均数，方差的意义作决策，理解并掌握平均数，方差是解题的关键． 7. 如图，P是的平分线上一点，，垂足分别为D，E，若，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：是的平分线上一点，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 8. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，列出方程为， 故选A． 9. 若，则“？”表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，解题的关键是掌握：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．据此可得答案． 【详解】解：， ∴“？”表示的是． 故选：D． 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析的系数与次数的变化规律，写出第个单项式的表达式． 【详解】解：； ； ； 第个单项式是． 故选：D． 11. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 12. “中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和的计算公式：（且n为整数），根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：正五边形的内角和为：， 故选：C． 13. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．依题意，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可． 【详解】解：在中，， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 故选：D． 14. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键． 15. 如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长,最后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴该圆锥的侧面积． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 二、填空题（共8分） 16. 写出一个在反比例函数的图象上的点的坐标：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的性质，取一个不等于0的x的值，求出函数值，即得到答案． 【详解】解：当时，， ∴一个在反比例函数的图象上的点的坐标为， 故答案为：（答案不唯一） 17. 如图，已知与相交于点，，，，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有______人． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了样本估计总体．用800乘以喜爱“篮球”项目所占的百分比，即可． 【详解】解：人， 即该年级喜爱“篮球”项目的学生有240人． 故答案为：240 19. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且##k≠-2且k≥-3 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：Δ=4+4（k+2）≥0， ∴解得：k≥-3， ∵k+2≠0， ∴k≥-3且k≠-2， 故答案为：且． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 三、解答题（共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知负指数幂、特殊角的三角函数值．根据实数的性质化简即可求解． 【详解】解： ． 21. 已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】略 22. 今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： （1）甲选择看A电影的概率是_______________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲选择看A电影的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 由表知共有16等可能出现的结果，其中甲乙两同学选择同一部电影的有4种； ． 23. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH． （1）猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？ （2）对你的猜想给予证明． 【答案】（1）菱形 （2） 证明：如图，连接AC，BD， ∵E，F分别是AD，AB中点，∴EF是的中位线， ∴且， 同理，且， ∴且EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵E，H分别是AD，CD的中点，∴EH是的中位线， ∴且，而四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 【解析】 【分析】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形； （2）连接AC，BD，根据中位线的性质得出且EF＝GH，从而四边形EFGH是平行四边形，再根据EF＝EH得出四边形EFGH是菱形． 【小问1详解】 四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形， ∴猜想四边形EFGH是菱形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查中位线和矩形的性质以及平行四边形、菱形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形的性质和判定是解题的关键． 24. 某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成． （1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数； （2）若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？ 【答案】（1）25天 （2）单独找甲工程队更实惠 【解析】 【分析】（1）设乙队单独完成要x天，则每天完成，根据两队合作4天后又16天完工列方程求解； （2）由题意知工期为20天，分别计算每队单独完成的费用比较哪个更少； 【小问1详解】 解：设乙队单独完成要x天，则每天完成， 根据题意得： ， ， 解得x=25， 经检验x=25是原方程的解， 故乙队单独完成要25天； 【小问2详解】 解：∵两队合作4天，乙队又用了16天如期完工， ∴工期为20天， 甲队单独完成费用为：1.5×20=30（万元）； 乙队单独完成费用为：1.1×25+0.6×（25-20）=30.5（万元）； 故甲队更实惠； 【点睛】本题考查分式方程的运用，做题的关键是要分清等量关系，分式分式方程的根最后要检验． 25. 某文具店准备购进两款精美笔记本，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别 价格 款笔记本 款笔记本 进货价（元/本） 销售价（元/本） （1）文具店第一次用元购进两款笔记本共本，求两款笔记本分别购进的本数； （2）第一次购进的精美笔记本售完后，该文具店计划再次购进两款精美笔记本共本（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）购进款笔记本本，款笔记本本 （2）当购进本款笔记本，本款笔记本时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元 【解析】 【分析】（1）设购进款笔记本本，款笔记本本，根据数量关系二元一次方程组求解即可； （2）设购进本款笔记本，则购进本款笔记本，根据数量关系列一元一次不等式可求出购买笔记本的取值范围，设再次购进的两款精美笔记本全部售出后获得的总利润为元，根据题意列一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设购进款笔记本本，款笔记本本， 依题意得：， 解得：， ∴购进款笔记本本，款笔记本本． 【小问2详解】 解：设购进本款笔记本，则购进本款笔记本， 依题意得：，解得：， 设再次购进的两款精美笔记本全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值， ∴， ∴当购进本款笔记本，本款笔记本时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数知识的综合运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式，一次函数的性质是解题的关键． 26. 已知二次函数的解析式为（b，c为常数）． （1）若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）若图象经过点，对称轴为，t是抛物线与x轴交点横坐标，求的值． 【答案】（1） 证明：二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， 方程有两个相等的实数解， ， ， ， ， 当时，取最大值， ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，可以推出，进而得到以b为自变量的新的二次函数，进而求最大值即可； （2）先求出二次函数的解析式，可以得到，变形可得利用完全平方的变形可得，，对要求的代数式进行变形，再整体代入求值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 图象经过点， ， 对称轴为， ， ， 二次函数的解析式为， t是抛物线与x轴交点横坐标， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的最值应用，二次函数的性质，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识，合理的变形求值，整体思想的应用； 27. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：如图所示， ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证； （3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，,证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级数学中考模拟考试卷 （本卷满分100分，考试时间120分钟）． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示( ) A. 支出45元 B. 收入45元 C. 支出55元 D. 收入55元 2. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体中心体育场占地面积430亩，共有80800个座位，其中数80800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示，如果要选择一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，P是的平分线上一点，，垂足分别为D，E，若，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 8. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 若，则“？”表示的是（ ） A. B. C. D. 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. “中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 14. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8分） 16. 写出一个在反比例函数的图象上的点的坐标：______． 17. 如图，已知与相交于点，，，，，那么_________． 18. 某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有______人． 19. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 三、解答题（共62分） 20. 计算：． 21. 已知：如图，，．求证：． 22. 今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： （1）甲选择看A电影的概率是_______________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 23. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH． （1）猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？ （2）对你的猜想给予证明． 24. 某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成． （1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数； （2）若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？ 25. 某文具店准备购进两款精美笔记本，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别 价格 款笔记本 款笔记本 进货价（元/本） 销售价（元/本） （1）文具店第一次用元购进两款笔记本共本，求两款笔记本分别购进的本数； （2）第一次购进的精美笔记本售完后，该文具店计划再次购进两款精美笔记本共本（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 26. 已知二次函数的解析式为（b，c为常数）． （1）若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）若图象经过点，对称轴为，t是抛物线与x轴交点横坐标，求的值． 27. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $