第6章 第4节 线段的和差（听课本）-【牵手名师】2026-2027学年七年级上册数学课件（浙教版·新教材）

精 听课 手名师 准学讲练 数学 本 七年级上册 浙教版 第 4 听课本 节线段的和 差 牵手名师精准学讲练数学 知识点 一、线段的和差★★★ 1.一般地，如果一条线段的长度是另 两条线段的长度的和，那么这条线段就叫 作另两条线段的和；如果一条线段的长 度是另两条线段的长度的差，那么这条线 段就叫作另两条线段的差。 2.两条线段的和或差仍是一条线段。 ☆☆拓展：尺规作图，作已知线段α，b 的和（差）的步骤。 听课本 (1)在适当的位置作一条射线。 (2)用圆规量取线段a的长度，并在射 线上截取一段。 (3)用圆规量取线段b的长度，并以第 (2)步所画圆孤与射线的交点为端点，沿射 线方向（作差时为反方向）再截取一段。 (4)标上字母，第(3)步中所画圆孤与 射线的交点和射线的端点所构成 的线段即为所求线段。 牵手名师精准学讲练数学 二、中点★★★ 1.把线段分成相等的两条线段的点， 叫作线段的中点 2.如图，C是线段AB的中点，那么会有 AC-BC-2AB.AB-2AC-2BC. C A B 听课本 ☆☆☆注意： (1)点和线段的位置关系包括两种，点 在线段上（含端，点）或点在线段外。 (2)当一个点到线段两端点距离相等 时，这个点不一定是线段的中点，还需要满 足点在线段上才行。 牵手名师精准学讲练数学 例题解读》 【例1】如图，A,B,C为直线1上从左到右的 三个点，AB=2BC,动点M,N分别从 A,B两点同时出发，向右运动，点M的 速度是点N的速度的3倍。在运动过 程中，若要知道MN的长，则只要知道 下列哪条线段的长？该线段是(D)。 -1 A B C (例1) A.AM B.BN C.BM D.CM 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【变式1.1】在直线1上顺次取三点A,B,C, 使线段AB=8cm,BC=3cm,则线段 AC的长为(D)。 A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.11 cm 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式1.2】如图，点A,B,C在同一直线上， H为AC的中点，M为AB的中点，N 为BC的中点，有下列说法：①MN= HC:②MN=号(AC+HB):③MH= (AH-HB):①HN=(HC+HB. 其中正确的是(D)。 A M H B N (变式1.2) A.①③ B.②④ C.①④ D.①③④ 听课困 牵手名师精准学讲练数学 【例2】如图，C是线段AB上的一点，M,N 分别是AC,BC的中点，若MN=5cm, 则线段AB的长度是(D)。 A M N B (例2) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式2.1】如图，已知点C在线段AB上， 点D,E分别在线段AC,BC上。 A D C E B (变式2.1) (1)观察发现：若D,E分别是线段 AC,BC的中点，且AB=12,则DE= 6 听课本 (2)拓展探究：若AD=2DC,BE=2CE, 且AB=10,求线段DE的长。DE= 10 3 (3)数学思考：若AD=kDC,BE=kCE (k为正数)，则线段DE与AB的数量 关系是(k+1)DE=AB 牵手名师精准学讲练数学 (2)因为AD=2DC,BE=2CE, AB=AD+DC+CE+BE, 所以AB=2DC+DC+CE+2CE=3(DC+CE)。 因为AB=10,DE=DC+CE, 所以3DE=AB, 所以3DE=10, 所以DE=10 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 (3)因为AD=kDC,BE=kCE, AB=AD+DC+CE+BE,DE=DC-CE. 所以AB=kDC十DC十CE十kCE=(k十1)(DC+CE) 所以(k+1)DE=AB。 故答案为(k+1)DE=AB。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【变式2.2】如图，线段CD在射线AB上运 动，线段AB=m,线段CD=n,且m一 2n=-(6-n)2。 C D B (变式2.2) 解：( (1)求线段AB,CD的长。 (2)若M,N分别为线段AC,BD的中 点，BC=2,求MN的长。 听课本 (3)当CD运动到某一时刻时，点D与 点B重合，P是线段AB延长线上任意 一点，求证：PA十PB=2PC。 1)因为m-2n=-(6-n)2, 所以m-2n+(6一n)2=0, 所以m-2n=0,6-n=0, 所以n=6,m=12, 所以AB=12,CD=6。 牵手名师精准学讲练数学 ②点C在点B左边时，如图2所示， A M C B N D 图2 因为M,N分别为线段AC,BD的中点， 所以AM=号AC-=号(AB-BC)=号×12-2)=5， DN=2BD-2(CD-BC)=×(6-2)=2. 所以MN=AD-AM-DN=12+6-2-5-2=9。 综上所述，MN=9。 听课困 牵手名师精准学讲练数学 (2)①点C在点B右边时，如图1示， A M B C N D 图1 因为M,N分别为线段AC,BD的中点， 所以AM=2AC=号(AB+5C)=分X(12+2)=7, 2 DN=2BD-=合(CD+BC)-号X(6+2)=4. 2 2 所以MN=AD-AM-DN=12+2+6-7-4=9。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 (3)证明：当点B与点D重合时，如图3所示， A C B(D P 图3 因为AB=12,CD=6, 所以AC=12一6=6， 所以AC=BC, 所以PA+PB=PC+AC+PC-BC=2PC, 即PA+PB=2PC。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【例3】在直线L上有A,B,C,D四点，其中 B是线段AD的三等分点，C是线段 AD的中点，E是线段AD延长线上一 点，且AE十BE=2AD,则 带 的值为 5 或 5 。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式3.1】已知线段AB=12cm,延长线段 AB到点C,M是线段AC的中点，如果 BM-A,那么A(:-16或 cm。 48 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式3.2】(1)如图1，点C在线段AB上， M,N分别是AC,BC的中点。若AB= 12,AC=8,求MN的长。 (2)设AB=a,C是线段AB上任意一点 (不与点A,B重合)。 ①如图2，M,N分别是AC,BC的三等 分点，即AM-专AC,BN- BC,求 MN的长。 听课本 ②若M,N分别是AC,BC的n等分点， 即AM=1AC,BN=1BC,直接写出 n n MN的值。 A M CN B A M C NB ☒1 图2 (变式3.2) 牵手名师精准学讲练数学 【变式3.2】解：(1)因为M,N分别是AC,BC的中点， 所以MC=2AC.CN=2BC. 因为AB=12, 所以MN=MC+CN=2AC+2BC=号AB=号X 12=6。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 (2)①因为AM-3AC,BN-3BC, 所以MC-号AC,CN=号BC。 因为AB=a, 所以MN=MC+CV-号AC+号C-子AB 2 3 ao ②因为AM=1AC,BN=1BC, n 所以CM=”-1AC,CN="-BC, 所以MN=CM+CN="二1AC+I-BC="二AB。 12 因为AB=a,所以MN=n-1a 听课困 n 牵手名师精准学讲练数学 【例4】在一条可以折叠的数轴上，点A,B表 示的数分别是一10,3。如图1，以C为 折点，将此数轴向右对折成图2，若点A 在点B的右边，且AB=1,则点C表示 的数是(B)。 A A.-4 B.-3 C B 图1 C.-1 BA D.0 图2 (例4) 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式4.1】如图，数轴上A,B两点所表示 的数分别是一4和2，C是线段AB的中 点，则点C所表示的数是-1 A C B -4 0 2 (变式4.1) 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式4.2】如图，点A,B在数轴上，点O为 原点，O是AB的中点。按如图方法用圆 规在数轴上截取BC=AB,若点C表示 的数是12，则点A表示的数是(C)。 A.-2 B.-3 C.-4 A B C D.-6 (变式4.2) 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【例5】如图，C是线段AB上一点，M是线段 AC的中点，N是线段BC的中点。 B N C M A (例5) (1)如果AB=12cm,AM=5cm,求BC 的长。 (2)如果MN=8cm,求AB的长。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【例5】解：(1)因为M是线段AC的中点， 所以AC=2AM。 因为AM=5cm, 所以AC=10cm。 因为AB=12cm, 所以BC=AB-AC=2(cm)。 (2)因为M是线段AC的中点，N是线段BC的中点， 所以BC=2NC,AC=2MC。 因为MN=NC+MC=8cm, 所以AB=BC+AC=2MN=2×8=16(cm)。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式5.1】已知点B在直线AP上，M,N 分别是线段AB,BP的中点。 A M BN P (1)如图1，点B在线段AP上，AP= 图1 15,求MN的长。 A MPN B 图2 (2)如图2，点B在线段AP的延长线 (变式5.1) 上，AM-PN=3.5,C为直线AB上一 点，CA+CP=13,求CP的长。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【变式5.】解：(D由题意，得BM-AB,BN-BD, 所以MN=BM+BN=号AB+合BD-名(AB+BP) 因为AP=15, 15 所以MN= 2 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 (2)由题意，得AM=号AB,PN=号BP, 所以AM-PN=号AB-2BP=2(AB-BP)= 2AP=3.5, 所以AP=7。 当点C在点P的右侧时，CA+CP=(CP+AP)+ CP=13,即(CP+7)+CP=13,解得CP=3; 当点C在点A,P之间时，CA+CP=AP=7≠13，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，CA十CP=CA+(CA+ AP)=13,即CA+(CA+7)=13,解得CA=3, 所以CP=CA+AP=3+7=10。 综上所述，CP的长为3或10。 听课困 牵手名师精准学讲练数学 【变式5.2】如图，A,B,C,D是直线1上的 四个点，M,N分别是线段AB,CD的 中点。 M N A B D (变式5.2) (1)如果MB=2cm,NC=1.8cm, BC=5cm,那么AD的长为12.6cm。 (2)如果MN=10cm,BC=6cm,那么 AD的长为14 cm。 (3)如果MN=a,BC=b,求AD的长。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 (3)因为MN=a,BC=b, 所以BM十CN=a-b。 因为M,N分别是AB,CD的中点， 所以AB=2BM,CD=2CN, 所以AB+CD=2BM+2CN=2(BM+CN), 所以AB+CD=2(a-b)。 因为AD=AB+CD+BC, 所以AD=2(a-b)+b=2a-2b+b=2a-b。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【例6】如图，已知线段AB=24,C是线段AB 的中点，M在线段AB上，且AM=4。 A (1)求线段MC的长。 (2)若点N在线段CB上，且MN：VB= 3：1,求线段CV的长 【例6】解：(1)因为AB=24,C是线段AB 所以AC=2AB=12。 因为AM=4, 所以MC=AC-AM=12一4=8。 听课本 M C N B (例6) 的中点， 牵手名师精准学讲练数学 (2)因为AB=24,AM=4, 所以MB=AB一AM=24-4=20。 因为MN:NB=3:1, 所以MN=3MB=15. 4 因为MC=8, 所以CN=MN-MC=15-8=7。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【变式6.1】如图，已知线段AB,CD。 C M A B N D (变式6.1) (1)线段AB在线段CD上（点C,A在 点B的左侧，点D在点C的右侧)。 ①若线段AB=6,CD=14,M,N分别 为AC,BD的中点，求MN的长。 ②M,N分别为AC,BD的中点，求证： MN-7(AB+CD). 听课本 (2)若线段CD在射线AB上，M,N分 别为AC,BD的中点，②中的结论是否 成立？请画出图形，直接写出结论。 牵手名师精准学讲练数学 【变式6.1】解：(1)①因为AB=6,CD=14, 所以AC+BD=CD一AB=8。 因为M,N分别为AC,BD的中点， 所以AM=2AC,BN=合BD, MN=AM+ABFBN=AC+BD)AR 含X8+6=10. 听课本 牵手名师精准学讲练数学 ②证明：因为M,N分别为AC,BD的中点， 所以AM=2AC,BN=2BD. 因为AC十BD=CD一AB, 所以AM+BN=(AC+BD)=2(CD-AB, 所以MN=AM+AB+BN=号(CD-AB)+AB= 2 2(AB+CD). 听课本 牵手名师精准学讲练数学 (2)不成立。 因为M,N分别为AC,BD的中点， 所以AM=MC-=AC.BN=ND=专BD. ①当点C在点D的左侧，点V在点C的右侧时，如图1 所示， A M B CN D或ABM C N D 图1 MN-MC+CN =MC+BN-BC =合(AB+BCO)+号(BC+CD)-BC =AC+BD-BC (AB+CD). 听课本 牵手名师精准学讲练数学 ②当点C在点D的左侧，点N在点C的左侧时，如图2 所示， A B M NC D或A MB NC 图2 MN-=AD-AM-DN -AD- 号AC-BD =AD-1 (AD-CD)(AD-AR) (AB+CD)。 2 听课本 牵手名师精准学讲练数学 ③当点D在点C的左侧时，如图3所示， A BMN D C或A MBNDC 图3 MN-CM-CN 2 AC-(CD+DN) =(AB+BD-CD)-(CD+号BD） =(AB-CD). 综上所述，MN=号(AB十CD)或MN=令(AB-CD),故结论不成立。 听课困 牵手名师精准学讲练数学 【例7】如图，在直线1上顺次取A,B,C三 点，已知AB=20,BC=80,点M,V分 别从A,B两点同时出发向点C运动。 当其中一动点到达点C时，M,N同时 停止运动。已知点M的速度为每秒2 个单位长度，点N的速度为每秒1个单 位长度，设运动时间为t秒。 A B (例7) 听课本 (1)用含t的式子表示线段AM的长度 为 2t (2)当t为何值时，M,N两点重合？ (3)若P为AM的中点，Q为BN的中 点，是否存在时间t,使PQ的长度为5？ 若存在，请说明理由。 (2)由题意可得AM=2t,AN=20+t, 当M,N两点重合时，AM=AN, 所以2t=20+t, 解得t=20, 所以当t=20时，M,N两点重合。 牵手名师精准学讲练数学 (3)存在时间t,使PQ=5, 由题意，得AM=2t,BN=t。 因为P为AM的中点，Q为BN的中点， 所以PA=4,BQ=之， 所以Q4=20+2, 气P在点Q的左边，PQ=20十号11=5，解得 当点P在点Q的右边时，PQ=t-(20+21)=5,解得1=50。 所以当t=30或t=50时，PQ=5。 听课困 牵手名师精准学讲练数学 【变式7.1】如图，数轴上A,B,C三点对应 的数分别是a,b,c,满足a=2k一2，c= a十9，且k为最大的负整数，点B为线 段AC上一点（不含端点），将射线BA 沿点B对折后落在射线BC上，点A的 对应点为A1,C为BA1的中点。 A B C (变式7.1) 听课本 (1)求b的值。 (2)动点P从点A出发沿数轴以每秒1 个单位长度的速度向点C运动，同时动 点Q从点C出发沿数轴以每秒2个单 位长度的速度向点A运动。设运动的 时间为t秒，当P,Q相遇时，求t的值。 牵手名师精准学讲练数学 【变式7.1】解：(1)因为a=2k一2，c=a十9，且k为最大的 负整数， 所以k=一1，a=-4,c=5, 由题意，得BA1=BA=b+4,BC=5一b。 因为C为BA1的中点， 所以BA1=2BC, 即b十4=2(5一b), 解得b=2。 (2)根据题意，得AP=t,CQ=2t,AC=5一(-4)=9， 当点P,Q相遇时，由AP十CQ=AC, 所以t十2t=9,解得t=3。 所以当点P,Q相遇时，t=3。 听课困 牵手名师精准学讲练数学 【变式7.2】已知数轴上有A,B两点，分别 表示的数为一40和20，点A以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运 动，点B以每秒2个单位长度的速度沿 数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒 (t>0)。 (1)运动开始前，A,B两点的距离为 60 ;线段AB的中点M所表示的 数为 -10。距离AB=一40 线段AB的中点M所表示的数为 听课本 (2)若A,B两点按上述方式运动，则经 过多少秒会相遇？相遇点所表示的数 是什么？ (3)当t为多少时，线段AB的中点M 表示的数为一5？并直接写出在这一运 动过程中点M的运动方向和运动速度。 20=60, 40+20=-10 2 牵手名师精准学讲练数学 (2)根据题意，得3t十2t=60, 合并同类项，得5t=60, 系数化为1，得t=12, 所以3t=36,2t=24, 所以一40+36=一4， 所以相遇点所表示的数是一4。 答：它们按上述方式运动，A,B两点经过12s会相遇， 相遇点所表示的数是一4。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 (3)ts后，数轴上点A,点B表示的数分别为（一40十 3t),(20一2t),则线段AB的中点M表示的数为 (-40+3t)+(20-2t) 2 依据题意，得 (-40+3t)+(20-2t) 2 =-5, 去分母，得（一40+3t)+(20一2t)=一10， 去括号，得-40+3t+20一2t=一10， 移项，得3t-2t=一10十40-20， 合并同类项，得t=10。 因为当t=0时，中点M表示的数为一10， 当t=10时，中点M表示的数为一5， 以中点M的运动方向向右，运动速度为 (-5)-(-10)1 听课本 10-0 2。 牵手名师精准学讲练数学 牵手名师 精准学讲练 数学七年级上册浙教版 感谢您的观看