专题11 因式分解 重难点九大题型突破- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题11 因式分解重难点九大题型突破 【题型 01:判断是否是因式分解】 【题型 02:已知因式分解的结果求参数】 【题型 03:公因式】 【题型 04:提公因式法分解因式】， 【题型 05:公式法分解因式】 【题型 06:综合提公因式和公式法分解因式】 【题型 07:十字相乘法】 【题型 08:分组分解法】 【题型 09:因式分解的应用】 【题型 01:判断是否是因式分解】 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【题型 02:已知因式分解的结果求参数】 5．如果因式分解得，则__________． 6．多项式可因式分解为，则为________． 7．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 8．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型 03:公因式】 9．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 10．多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 11．分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 12．运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 13．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C．D． 【题型 04:提公因式法分解因式】 14．分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 15．若，，则为（     ） A．15 B．75 C．57 D．95 16．分解因式：＝__________. 17．因式分解：______． 18．因式分解：______． 【题型 05:公式法分解因式】 19．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 20．因式分解：（     ） A． B． C． D． 21．因式分解：___________． 22．分解因式：=_____． 23．因式分解：＝______． 【题型 06:综合提公因式和公式法分解因式】 24．分解因式：__________． 25．因式分解：_________________． 26．分解因式：的结果是________． 27．分解因式：________ 28．分解因式_____． 【题型 07:十字相乘法】 29．因式分解：_____． 30．因式分解： _________ ． 31．分解因式：________． 32．因式分解：_______． 【题型 08:分组分解法】 33．因式分解：________． 34．分解因式：___________． 35．分解因式：______． 36．因式分解：_____． 【题型 09:因式分解的应用】 37．阅读材料： 上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 38．漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 39．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． 40．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 因式分解重难点九大题型突破 【题型 01:判断是否是因式分解】 【题型 02:已知因式分解的结果求参数】 【题型 03:公因式】 【题型 04:提公因式法分解因式】， 【题型 05:公式法分解因式】 【题型 06:综合提公因式和公式法分解因式】 【题型 07:十字相乘法】 【题型 08:分组分解法】 【题型 09:因式分解的应用】 【题型 01:判断是否是因式分解】 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边为和的形式，不属于因式分解； B、变形是从整式的积得到多项式，属于整式乘法，不属于因式分解； C、，符合因式分解的定义； D、等式右边为和的形式，不属于因式分解． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 3．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是单项式乘以多项式运算，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、是因式分解，故该选项正确，符合题意； 、左右两边不相等，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、不是因式分解，故该选项错误，不符合题意． 4．下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； B、该变形不是恒等变形，且未把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意； D、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意． 【题型 02:已知因式分解的结果求参数】 5．如果因式分解得，则__________． 【答案】 【分析】将因式分解结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：将展开，得： ， ∵， ∴对比对应项系数可得． 6．多项式可因式分解为，则为________． 【答案】 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， 展开得， ∴， 对比等式两边同类项得． 7．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【答案】 【分析】因式分解与整式乘法互为逆运算，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求出的值． 【详解】解：， ， 对比多项式同类项的系数可得． 8．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 【题型 03:公因式】 9．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 10．多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为，相同字母的最低次幂为， ∴ 公因式为． 11．分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察式子的两项，找到具有相关性的因式和，因为，所以可以将两项的公因式统一为相同形式．提取公因式，根据提公因式法的规则，将两项中相同的公因式整体提出，剩余部分放在括号内整理．对照选项匹配整理后的结果． 【详解】解： 12．运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式的确定方法，公因式是多项式各项共有的因式，确定规则为：取相同字母的最低次幂，乘积即为公因式． 【详解】解：∵ 多项式包含两项 和 ，且两项都含有字母和，其中的最低次幂是次，的最低次幂是次， ∴ 应提取的公因式为 ． 13．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 【题型 04:提公因式法分解因式】 14．分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 15．若，，则为（     ） A．15 B．75 C．57 D．95 【答案】C 【分析】先将变形，再代入求解即可． 【详解】解：，， ， ∴ ． 16．分解因式：＝__________. 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，确定公因式是，然后提取公因式即可． 【详解】解：． 17．因式分解：______． 【答案】 【分析】利用提公因式法解答即可． 【详解】解：． 18．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 【题型 05:公式法分解因式】 19．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项． 【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征； C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解． 20．因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：. 21．因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：． 22．分解因式：=_____． 【答案】 【分析】先提公因式，再公式法因式分解． 【详解】解：原式． 23．因式分解：＝______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ． 【题型 06:综合提公因式和公式法分解因式】 24．分解因式：__________． 【答案】 【分析】先变形得到公因式，提取公因式后利用平方差公式分解到不能再分解． 【详解】解：原式 ． 25．因式分解：_________________． 【答案】 【详解】解：． 26．分解因式：的结果是________． 【答案】 【详解】解：， 原式 ． 27．分解因式：________ 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】解：原式 ． 28．分解因式_____． 【答案】 【详解】解： ． 【题型 07:十字相乘法】 29．因式分解：_____． 【答案】/ 【详解】解：． 30．因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 31．分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 32．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 【题型 08:分组分解法】 33．因式分解：________． 【答案】 【分析】根据多项式特点，进行分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 34．分解因式：___________． 【答案】 【分析】将原式分组，把含的二次项分为一组，先用完全平方公式变形，再用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 35．分解因式：______． 【答案】 【分析】对多项式分组后，先提每组的公因式，再提取整体公因式完成分解． 【详解】解： ． 36．因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： 【题型 09:因式分解的应用】 37．阅读材料： 上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解； （2）配方后根据平方的非负性求最小值； （3）配方后根据非负性求出，，的值即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ∵， ∴多项式的最小值为； （3）解：由题意得：， ∴． ∴． 又∵，，， ∴，，， ∴，， ∴的周长为． 38．漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由如下： ∵， 即 ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）先对多项式分组，再提取公因式，即可求出答案． （2）先对多项式分组，再提取公因式，最后根据三角形三边和大于0的性质可求出有2条边相等，得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）略． 39．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用分组分解法把分成两组，分别提公因式分解因式； （2）把中凑出一个完全平方式，再分组分解因式； （3）根据长方形的面积可得，再进行因式分解； （4）根据正方形的面积可得，把 整体代入即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由图可知长方形的宽为，长为， 长方形的面积为， 多项式分解因式为； （4）解：由图可知正方形的边长为， 正方形的面积为， ， ， 或， 图形的边长不能为负数， 舍去负值， ． 40．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)128160 (2)282114 【分析】（1）将，分别代入，，计算，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式，然后把代入分解好的式子计算，最后按从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：当时，，，，将128，16，0这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码是128160； （2）， 当时，，，，将28，21，14这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码为282114． 1 学科网（北京）股份有限公司 $