专题05 等腰三角形重难点八大题型突破2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题05 等腰三角形重难点八大题型突破 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 【答案】A 【分析】分两种情况：若腰长为5，底边长为10；若腰长为10，底边长为5，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若腰长为5，底边长为10，三边长为5，5，10， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ② 若腰长为10，底边长为5，三边长为10，10，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为， 即该等腰三角形的周长为25． 2．若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质以及周长的计算． 解题的关键在于明确等边三角形三条边长度相等，其周长等于三条边长度之和． 等边三角形三边相等，周长等于边长的3倍，因此边长可通过周长除以3求得． 【详解】∵等边三角形的周长 = 3 × 边长，周长为， ∴边长 ． 故选：B． 3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．7cm或5cm C．5cm D．3cm 【答案】D 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是3cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，正确理解题意，分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 4．等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（    ）． A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确 【答案】B 【分析】设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：设等腰三角形腰长为x， 由题意得：或， 解得或8， 当时，8，8，17无法构成三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 5．等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理计算底角的度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为，该等腰三角形顶角为， ∴其底角的度数为． 6．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先根据邻补角性质求出与外角相邻的内角，再分该内角为顶角或底角两种情况，结合等腰三角形性质与三角形内角和定理计算顶角． 【详解】当的角是顶角的外角时，顶角的度数为； 当的角是底角的外角时，底角的度数为， 所以顶角的度数为； 故顶角的度数为或． 7．等腰三角形一个内角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分析即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 8．一个等腰三角形的底角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及内角和； 等腰三角形两个底角相等，已知底角为，结合三角形内角和，可求顶角． 【详解】解：∵ 等腰三角形两底角相等，且底角为， ∴ 两底角之和为， ∴ 顶角 ， 故选：B． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 9．如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（   ） A．底角是 B．底角是 C．底角是或 D．底角是或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论：一是顶角是底角的2倍，二是底角是顶角的2倍，分别设未知数列方程求解，即可得到底角的可能度数． 【详解】等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍， 分两种情况： 当顶角是底角的2倍时，设底角为，则顶角为， ，解得， 底角为； 当底角是顶角的倍时，设顶角为，则底角为， ，解得， 底角为； 综上，底角为或． 故选：． 10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况讨论，分别计算底角． 【详解】解：设等腰三角形中，，作腰上的高，垂足为D， 则，． ∵与的夹角为，即， ∴在中，． 当为锐角三角形时， 点D在上，， ∴底角． 当为钝角三角形时， 点D在的延长线上，， ∴， ∴底角． 综上，底角为或， 故选：C． 11．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为，即可求解． 【详解】解：①如图，若等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， ∴底角的度数为； ②如图，若等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． ∴底角的度数为； ∴底角的度数为或． 故选：A 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：①若该等腰三角形为钝角三角形；②若该等腰三角形为锐角三角形；先求出顶角，即可求出底角的度数． 【详解】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时， 一腰上的高与另一腰的夹角是， 底角， ②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时， 一腰上的高与另一腰的夹角是， 底角． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 13．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．据此求解即可． 【详解】解：如图：分情况讨论 当为是面积为1的等腰三角形，符合条件的C点有4个． 故选：B 14．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【详解】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为: 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 16．在中，，点在上，点在上，连接，且． (1)当点在边（点除外）上运动（如下图），且点在边上时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (2)当点在直线上运动，且点在边所在的直线上时，若，求的度数． 【答案】(1) 猜想：．证明如下： 设，． ， ， ． ， ， ，， ， ． (2)的度数为或或 【分析】（1）通过设未知数表示角的度数，结合等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形内角和定理，推导与的数量关系； （2）基于（1）的结论，结合点在直线上的不同位置进行分类讨论，利用角的和差关系计算的度数． 【详解】（1）略 （2）解：，， 点不在的延长线上，故可分为以下两种情况： ①当点在线段上时，如图①，此时点在的延长线上或线段上， 则，， ． ， ． 由（1）知，， ； ②如图②，当点在的延长线上时，点在的延长线上或的延长线上． 同（1）的方法得， ． 同理可得， ． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理与外角性质，解题的关键是通过设元推导角的数量关系，以及在点运动时进行分类讨论，体现了代数设元和分类讨论的数学思想． 17．如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 【答案】(1)运动4秒或8秒时为等腰三角形 (2)运动2秒或5秒时为直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质； （1）由于点在线段上时，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，然后求出，再根据时间路程速度计算即可得解；根据有一个外角是时可得出的长，故可得出结论； （2）分和两种情况求出，再求出的长，然后根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】（1）当点在线段上时，如图1， ，为等腰三角形， ∴是等边三角形， ， ， 运动时间为：秒， 当点在线段外时，记为，如图2， ， ， 此时，， 时间等于． 故运动4秒或8秒时为等腰三角形； （2）时，， ， 运动时间为：秒， 时，， ， 运动时间为：秒， 故运动2秒或5秒时为直角三角形． 18．已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，．    (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； (3)如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 即， ， ， ； (2)或或 (3) 证明：如图，延长点，使得， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即．    【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线和进行分类讨论是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）根据（1）可得，分类讨论即可解答； （3）延长点，使得，证明为等边三角形，可得，再证明，得到，最后证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）中可得， ， 当时，， ； 当时，； 当时，， ， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或； （3）略 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 19．如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，当是直角三角形时，求运动时间t． 【答案】或 【分析】根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可． 【详解】解：依题意得 是边长的等边三角形 ， ， 当时， ，即得， 当时， ，即得， 故当或时，是直角三角形． 20．在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、一元一次方程的应用、含角的直角三角形的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到； （2）证明是等边三角形，利用列方程，解方程即可； （3）分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ （2）解：由题意可得，则，    如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得； （3）解：存在， 由题意可得，，，， 如图，当时，， ∴，即， 解得， 如图，当时，， ∴，即， 解得，     ∵ ∴符合题意， 综上可知，或 21．如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长度； (2)若点，两点的运动速度相同，则经过秒后，与是否全等？请说明理由． (3)若点，两点的运动速度不相同，则当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)厘米 (2) ，理由如下： ∵在中，厘米， ∴， ∵点，两点的运动速度相同，， ∴（厘米）， ∵厘米， ∴厘米， ∵点为的中点， ∴厘米， ∴， 在和中，， ∴． (3) 【分析】本题考查了列代数式表示式，等边对等角及全等三角形的判定和性质的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据路程速度时间先表示出，根据即可表示出； （2）根据当时，厘米，可求出，根据判定两个三角形全等即可； （3）根据中点的定义得出，根据点与点速度不相同，得出，分和两种情况，根据全等三角形点性质，列方程求出值即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，运动时间为秒， ∴厘米， ∵厘米， ∴厘米． （2）略 （3）解：∵点P在线段上以厘米/秒的速度运动，点在线段上以每秒个单位长度的速度运动， ∴厘米，厘米， 由（1）可知：厘米， ∵在中，厘米， ∴， ∵点为的中点， ∴厘米， ∵点与点速度不相同， ∴， ①当时，则，，不符合题意， ②当时，，， ∴，， 解得：，，符合题意， ∴点的运动速度为时，能够使与全等． 22．已知：等边的边长为． (1)如图1，点P、Q分别是等边的边、上的动点，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为． ①嘉淇认为，在点P、Q运动的过程中，，你认为她的理由是（   ） A．            B．            C．            D． ② ， （用含t的式子表示） ③当为直角三角形时，求t的值． (2)若点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿着射线、运动，当点P在线段上运动时，点P的速度为，点Q的速度为；当点P在线段的延长线上运动时，点P、Q的速度都为，在点P、Q运动的过程中，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)①B，②，，③或； (2)或5.6 【分析】（1）①根据等边三角形得和，结合题意得，即可利用证明；②根据题意可得和；③分情况：当时，，有列式求解即可；当时，，有列式求解即可． （2）根据等边三角形求得顶点到对边的距离的为，分当点P在线段上运动时，点Q线段上运动时，有和，根据三角形面积公式列式求解；当点P在线段上运动时，点Q在线段延长线上运动时，有和；当点P在线段延长线上运动时，点Q在线段延长线上运动时，有和，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， 故选：B； ②设时间为，则，， ③当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴秒或秒时，为直角三角形； （2）解：∵是边长为等边三角形， ∴， 过点A作交于点D，如图， 则，， ∴顶点到对边的距离的为 当点P在线段上运动时，点Q线段上运动时，如图， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴，， ∴，解得，不符合题意，舍去； 当点P在线段上运动时，点Q在线段延长线上运动时， ∵点P的速度为，点Q的速度为 ∴，， ∴，解得； 当点P在线段延长线上运动时，点Q在线段延长线上运动时， ∵点P的速度为，点Q的速度为 ∴，， ∴，解得； 综上，或5.6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和应用分类讨论思想是解题的关键． 23．如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)t为4秒 (3)能，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒 【分析】此题考查等边三角形性质与全等三角形的判定和性质，以及通过题目所给信息，合理设置未知数建立方程，并求出对应的解． （1）写出点与点的运动距离公式，并写出两点重合的表达式，解出方程即可； （2）因为为等边三角形，则为，结合为等边三角形的性质、列式计算，即可作答． （3）结合等腰三角形的性质，进行分类讨论，即点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形；当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形；当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点第一次到达点时，、同时停止运动，且点第一次到达点需要运动 运动时间． 点的运动距离设为， 则； 设点的运动距离为， 则． 、两点重合， 可表示为：，即 解得：； （2）解：设经过秒后，为等边三角形 ∵ ∴当时，为等边三角形 ， ， 解得： 即为等边三角形时，为4秒． （3）解：由（2）得，点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形； 当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形． 假设是等腰三角形，则， ， 又， 是等边三角形，， 在和中， ，， ， ， 解得：， 即当为8秒，为以为底边的等腰三角形； 同理可得，当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形， 此时，，可得： 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，， 由题意得，， 解得： 综上所述，点、能否与中的某一顶点构成等腰三角形，、运动的时间为4秒或8秒或16秒． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 24．【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 【答案】 （1）①证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 25．【基本作图】在正中，分别在、上各取一点O、P，连结，分别以O、P为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连结、、，如图(1)． 【初步感知】根据作图过程判断是____________三角形； 【尝试探索】当点O重合到顶点C上，如图2，与存在怎样的数量关系？为什么？ 【深入研究】点P在边上运动，且点O不与点B、C重合，如图3，确定线段，，之间的数量关系； 【灵活运用】若点P在直线边上运动，点O恰好为边的中点，的周长为24，，求线段的长． 【答案】初步感知：等边； 尝试探索： 解：，理由如下： 在上截取，连接，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵点C与点O重合， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵，， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 深入研究：或． （4）的长为2或6 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由作图可知，，即可得出结论； （2）通过证明，即可得出结论； （3）根据题意进行分类讨论：①当点P在中点左侧时，在上截取，通过证明，得出，即可得出结论；②当点P在中点右侧时，过点O作交于点H，通过证明，得出，，即可得出结论； （4）根据题意进行分类讨论：①当点P在点A的右侧时，根据中点定义得出，根据等边三角形的性质得出，由（2）得：，即可得出结论；②当点P在点A的左侧时，过点O作，交于点M，根据等边三角形的性质和中点定义得出，，，推出为等边三角形，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】解∶（1）由作图可知，， ∴是等边三角形(或正三角形)； 故答案为：等边； （2）略 （3），，三条线段的数量关系是：或． 理由如下： ∵点P在边上， ∴有以下两种情况： ①当点P在中点左侧时，在上截取，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即：． ②当点P在中点右侧时，过点O作交于点H，如图所示：    同①可证：为等边三角形，， ∴，， ∵． （4）∵点P在直线上，， ∴有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图：    ∵，点O为的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由(2)得：， ∴． ②当点P在点A的左侧时，过点O作，交于点M，连接，如图：     ∵为等边三角形，点O为的中点，， ，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 的长为：2或6． 26．【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）3，60 （2）；理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴； （3）有，的最小值为8 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形三边关系等，两点之间，线段最短等知识，综合性强，难度较大，证明三角形全等是解题根据﹒ （1）证即可得解； （2）证即可得解； （3）在射线BC上截取，连接，证明，进而证明是等边三角形，再证明点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得到，即可得到，由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，求出，即可得到的最小值为8． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∴， 故答案为：3，60； （2）略 （3）解：有最小值；理由如下： 如图，在射线BC上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为8． 27．已知在等边中，点是边上一定点，点是射线上一动点，以为边作等边，连接．探究线段、、之间的数量关系． (1)观察猜想： 如图1，当点与点重合，直接写出线段、、之间的数量关系； (2)类比探究： 如图2，当点在边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系并证明；（提示：在上截取，连接） (3)解决问题： 当点在边的延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1); (2)当点在边上，上述关系不成立，他们之间的关系是，证明： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, ∴当点在边上，上述关系不成立，此时； (3)1 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到条件证明，则，得到，即可得到结论； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，则，即可得到； （3）当点在边的延长线上，延长至点P，使得，先证明，则，即可得到，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）略 （3）如图所示，当点在边的延长线上，延长至点P，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的性质是解题的关键． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 28．如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过作交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，， 是等边三角形， ， 、同时出发，速度相同，即， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点； (3)线段的长不变，恒为6， 理由如下： 是边长为的等边三角形， ， 由（2）知， ， 是等边三角形，， ， ，即的长不变． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，得到，则，设，进而得到，，列方程求解即可； （2）过作交于点，，得到，，推出，由题意得，则，证明，得到，即可得证； （3）由题意可得，由（2）知，得到，根据是等边三角形，，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解： 是边长为的等边三角形， ，， 又 ， ， ∵、同时出发，速度相同，即 ∴可设， ，， 在中，， ，即， 解得， 当时，； （2）略 （3）略 29．如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点是的中点， 度， 度， 度， （选填“”“”或“”）． (2)如图（2），若点不是的中点，题（1）中与的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D作的平行线，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)90，30，30， (2)成立，理由如下： 证明：如图2，过D作，交于F， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即； (3) 解：． 证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）求出，推出，根据等边三角形性质求出，即可得出答案； （2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，，，即， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90，30，30，=； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质． 30．【课本再现】 （1）如图1，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． 求证：． 【拓展】 （2）如图2，是等边三角形，点D在上，延长至点E，使． 求证：． 【探究】 （3）在等边中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵是等边的中线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图1，过点作，交于点． ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）不存在 分为两种情况讨论． ①如图2，当点在的延长线上，点在的延长线上时，过点作，交于点． 又∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ②如图3，当点在的延长线上，点在的延长线上时． ∵是等边三角形的外角，故． ∵是的外角， ∴， 即是的最大内角， ∴，即与的等量关系不存在． 【分析】（1）三线合一，等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证明为等边三角形，证明，即可得出结论； （3）分点在的延长线上，点在的延长线上和点在的延长线上，点在的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形重难点八大题型突破 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 2．若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．7cm或5cm C．5cm D．3cm 4．等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（    ）． A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 5．等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为（     ） A． B． C． D． 6．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 7．等腰三角形一个内角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（   ） A．或 B． C．或 D．或 8．一个等腰三角形的底角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 9．如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（   ） A．底角是 B．底角是 C．底角是或 D．底角是或 10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 11．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 13．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 14．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 16．在中，，点在上，点在上，连接，且． (1)当点在边（点除外）上运动（如下图），且点在边上时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (2)当点在直线上运动，且点在边所在的直线上时，若，求的度数． 17．如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 18．已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，．    (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； (3)如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 19．如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，当是直角三角形时，求运动时间t． 20．在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 21．如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长度； (2)若点，两点的运动速度相同，则经过秒后，与是否全等？请说明理由． (3)若点，两点的运动速度不相同，则当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 22．已知：等边的边长为． (1)如图1，点P、Q分别是等边的边、上的动点，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为． ①嘉淇认为，在点P、Q运动的过程中，，你认为她的理由是（   ） A．            B．            C．            D． ② ， （用含t的式子表示） ③当为直角三角形时，求t的值． (2)若点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿着射线、运动，当点P在线段上运动时，点P的速度为，点Q的速度为；当点P在线段的延长线上运动时，点P、Q的速度都为，在点P、Q运动的过程中，当时，请直接写出的值． 23．如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 24．【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 25．【基本作图】在正中，分别在、上各取一点O、P，连结，分别以O、P为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连结、、，如图(1)． 【初步感知】根据作图过程判断是____________三角形； 【尝试探索】当点O重合到顶点C上，如图2，与存在怎样的数量关系？为什么？ 【深入研究】点P在边上运动，且点O不与点B、C重合，如图3，确定线段，，之间的数量关系； 【灵活运用】若点P在直线边上运动，点O恰好为边的中点，的周长为24，，求线段的长． 26．【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 27．已知在等边中，点是边上一定点，点是射线上一动点，以为边作等边，连接．探究线段、、之间的数量关系． (1)观察猜想： 如图1，当点与点重合，直接写出线段、、之间的数量关系； (2)类比探究： 如图2，当点在边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系并证明；（提示：在上截取，连接） (3)解决问题： 当点在边的延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 28．如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 29．如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点是的中点， 度， 度， 度， （选填“”“”或“”）． (2)如图（2），若点不是的中点，题（1）中与的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D作的平行线，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 30．【课本再现】 （1）如图1，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． 求证：． 【拓展】 （2）如图2，是等边三角形，点D在上，延长至点E，使． 求证：． 【探究】 （3）在等边中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $