专题10 乘法公式 重难点七大题型突破-2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10 乘法公式重难点七大题型突破 【题型1平方差公式运算】 【题型2平方差公式的几何背景】 【题型3完全平方公式】 【题型4完全平方公式下的几何背景】 【题型5完全平方公式的逆运算】 【题型6求完全平方式中的字母系数】 【题型7整式的混合运算】 【题型1平方差公式运算】 1．已知（________），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能够使用平方差公式计算的是（    ） A． B．C．D． 3．若，，则的值为（    ） A． B．12 C． D．7 4．计算的结果是（     ） A． B．0 C．1 D． 【题型2平方差公式的几何背景】 5．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 6．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 7．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则______（填“”、“”或“”）． 8．学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 9．如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 10．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【题型3完全平方公式】 11．计算：________． 12．已知，则__________． 13．计算． (1)利用乘法公式计算：． (2)计算：． 14．计算： (1)； (2)． 【题型4完全平方公式下得几何背景】 15．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如下图，可以得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 16．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 17．用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (3)如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 18．如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为________． (2)请你用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，并用等式表示． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 19．如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 20．图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 【题型5完全平方公式的逆运算】 21．，，则的值为（     ） A． B． C． D． 22．已知，，则代数式的值为（     ） A．11 B． C． D．7 23．已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 24．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 25．已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【题型6求完全平方式中的字母系数】 26．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（     ） A． B． C．20 D．10 27．如果是一个完全平方式，则a的值为（     ） A．6 B． C． D． 28．若是一个完全平方式，则k的值是（     ） A．16 B． C．8 D． 29．已知关于的多项式是某个多项式的平方，则的值为（     ） A．4 B．8 C．8或 D．4或 30．已知，则常数的值为（     ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【题型7整式的混合运算】 31．计算： (1) (2) 32．先化简，再求值：，其中， 33．先化简再求值：，其中，． 34．先化简，再求值：，其中，． 35．先化简，再求值：，其中x，y满足． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 乘法公式重难点七大题型突破 【题型1平方差公式运算】 【题型2平方差公式的几何背景】 【题型3完全平方公式】 【题型4完全平方公式下的几何背景】 【题型5完全平方公式的逆运算】 【题型6求完全平方式中的字母系数】 【题型7整式的混合运算】 【题型1平方差公式运算】 1．已知（________），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴横线上应填的代数式是． 2．下列各式中，能够使用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特征，判断两个因式中是否一项完全相同，另一项互为相反数，依次检验四个选项． 【详解】解：，两项均互为相反数，不满足平方差公式结构．故A项错误． ，2m这一项完全相同，n与互为相反数，满足平方差公式结构．故B项正确． ，两项均互为相反数，不满足平方差公式结构．故C项错误． ，这一项完全相同，与没有互为相反数，不满足平方差公式结构．故D项错误． 3．若，，则的值为（    ） A． B．12 C． D．7 【答案】B 【分析】利用平方差公式分解所求多项式，直接代入已知条件计算，无需分别求解，的值，简化运算过程． 【详解】解：由平方差公式可得，， ，， 代入得． 4．计算的结果是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】观察算式中三个数的特点，可将2027和2025变形为含2026的式子，运用平方差公式简化计算，即可得到结果． 【详解】解： 原式 ， ， ． 【题型2平方差公式的几何背景】 5．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 6．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出第一幅图和第二幅图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：第一幅图中阴影部分的面积为：， 第二幅图中阴影部分的面积为：， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴． ∴选C． 7．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故答案为：． 8．学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 【答案】(1) (2)①5；② (3)． 【分析】（1）根据图1中的阴影部分拼成图2的长方形，得 ，根据图形分别求出、，即可得． （2）根据得，根据公式得，再根据即可求出的值． （3）先计算的乘方后，再根据计算，再约分后找到规律，计算即可． 【详解】（1）解：如图， 在图1中，， 在图2中，， ∵图1中的阴影部分拼成图2的长方形， ∴ ， ∴． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为5． ② （3）解：原式 9．如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 【答案】(1)；； (2)； (3)①B； ②； (4)． 【分析】（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①利用两次平方差公式求解即可； ②利用两次平方差公式求解即可； （4）将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为； （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：； （3）①解：原式， ∵，， ∴； ②解：原式 ； （4）解： ． 10．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【答案】(1)C (2)4 (3) (4) 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：； （2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ； （3）解：∵， ， ， ∴ ； （4）解：． 【题型3完全平方公式】 11．计算：________． 【答案】 【分析】先处理原式的负号简化，再用完全平方公式展开计算． 【详解】解：先对原式变形，得 平方运算可消去负号， 原式 根据完全平方公式展开，得 原式， 分别计算每一项，得 ， ， ， 整理得最终结果为． 12．已知，则__________． 【答案】 【分析】将等式左边按完全平方公式展开，对比两边同类项的系数即可得到的值. 【详解】解：∵对等式左边用完全平方公式展开，得 计算整理得： ∵已知 ∴对比等式两边一次项系数，得. 13．计算． (1)利用乘法公式计算：． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将拆分为，利用完全平方公式计算； （2）将原式整理为平方差公式的形式，利用乘法公式计算即可． 【详解】（1） 解： ； （2）解：原式 ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】两个小题均利用完全平方和公式展开计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4完全平方公式下得几何背景】 15．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如下图，可以得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图形（大正方形面积等于两个小正方形与两个长方形面积之和）可得公式 ． 16．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用两种方法表示出图2中阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为 ∴验证的恒等式是． 17．用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (3)如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）设，，将，代入（2）所得结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为代数式1：；代数式2：； （2）解：从（1）中可得或． （3）解：方法1： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 方法2： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 18．如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为________． (2)请你用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，并用等式表示． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)两种不同的方法表示为，；等式表示为 (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）根据图，得出小长方形的长和宽分别为和，即可得到阴影部分的正方形边长； （2）根据（1），可知阴影部分的正方形边长为，再根据正方形的面积公式，即可得出图2中阴影部分的面积，另一种表示方法为首先算出大正方形的面积，然后再减去四个小长方形的面积，即可得到阴影部分面积，然后列出等式即可． （3）设、，可得，，利用完全平方公式求出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵小长方形的长和宽分别为和， ∴阴影部分的正方形边长为． （2）解：①∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， ②∵沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形， ∴阴影面积为， ∴． （3）解：设、， ∵以，为边向两边作正方形，面积分别是和，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积为， 答：阴影部分的面积为8． 19．如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用拼成的正方形面积减去长方形面积，即可得到图2空白部分的面积，进而即可求出空白部分的边长； （2）用拼成的正方形面积减去长方形面积，即可表示出图2空白部分的面积，再将，且代入式子求解，即可解题； （3）由（1）的求解过程可表示出，和的数量关系． 【详解】（1）解：图2的空白部分的面积是 ， 则图2空白部分的边长是 ； （2）解：图2中的空白正方形的面积为：， ，且， ； （3）解：由（1）可知，． 20．图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①8；②1300 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①应用完全平方公式的变式进行计算即可得出答案；②设正方形边长为，可得，，令，，由长方形面积知，算出；阴影面积为，借助整体代入求值． 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵两个正方形的边长分别为p、q， ∴， 把，代入上式： ． ∴图2中阴影部分的面积为． ②设正方形边长，则． ∵，， ∴， 令，． 长方形相邻两边为、， ∴． ， 观察图形，阴影部分组合成边长为的正方形， 因此阴影面积． 由（1）得到的恒等式：， 代入，， ， ∴图3阴影部分面积为1300． 【题型5完全平方公式的逆运算】 21．，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的变形运算把原式转化为，再代入已知计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 22．已知，，则代数式的值为（     ） A．11 B． C． D．7 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ ． 23．已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先求出两个式子的差，再将所求代数式变形为含已知条件的形式，代入计算即可． 【详解】解：设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴ 将，代入得， ． 24．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 25．已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【题型6求完全平方式中的字母系数】 26．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（     ） A． B． C．20 D．10 【答案】B 【详解】解：∵ 是二项式的平方，且，． ∴ ． 即． ∴ ． 27．如果是一个完全平方式，则a的值为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，可写成，展开对比一次项系数，求出的值． 【详解】解：， ， ， 所以， 28．若是一个完全平方式，则k的值是（     ） A．16 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． 29．已知关于的多项式是某个多项式的平方，则的值为（     ） A．4 B．8 C．8或 D．4或 【答案】C 【详解】解：∵关于的多项式是某个多项式的平方， ∴， ∴， ∴． 30．已知，则常数的值为（     ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】B 【详解】解：∵，且， ∴． ∴，． 解得， ∴． 【题型7整式的混合运算】 31．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 33．先化简再求值：，其中，． 【答案】 ； 【详解】解： ， 当，时， 原式． 34．先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【分析】利用完全平方公式、平方差公式和整式除法法则化简式子，再代入，计算即可． 【详解】解： 代入，，原式 35．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】首先，将整式按照整式的混合运算法则进行化简，然后，根据，绝对值的非负性及平方数的非负性，得到的值，最后，再将的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ，                        ，，， ，，即，． 将，代入得： 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $