专题03四边形及多边形重难点专项训练（13大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 以“概念辨析-性质计算-综合应用”为主线，系统覆盖四边形及多边形14类题型，通过典例提炼公式应用与分类讨论方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|题型1-3（9题）|四边形稳定性原理、凸/凹多边形判定、正多边形定义辨析|从多边形基本概念到特殊多边形性质，构建概念网络| |性质计算|题型4-12（36题）|内角和/外角和公式、对角线条数公式、截角分类讨论|性质推导（内角和公式）→定量计算（周长/对角线）→变式应用（多算内角问题）| |综合应用|题型13-14（18题）|平面镶嵌密铺条件、网格面积割补法、跨知识点综合|性质应用（内角和）→实际问题（镶嵌）→拓展提升（进阶练习）|

专题03四边形及多边形重难点专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1.四边形不稳定性辨析 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类 题型3.正多边形概念辨析 题型4.多边形、正多边形周长计算 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 题型6.对角线分割三角形个数问题 题型7.多边形截角后边数判断 题型8.多边形内角和基础计算 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 题型11.网格中多边形面积 题型12.内角和与外角和综合计算 题型13. 平面镶嵌 题型14进阶练习9题 👍核心题型精讲 题型1.四边形不稳定性辨析 1．如图，拉一拉，你发现了它们有什么变化吗？这说明了（   ） A．四边形不具有稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形可以变成三角形 D．四边形的对称性 2．如图为平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的_____，可以自由伸缩，改变角度． 3．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类 1．如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 题型3.正多边形概念辨析 1．下列说法中正确的是（   ） A．若，则点是线段的中点 B．两点之间的线段叫做两点间的距离 C．六条边都相等的六边形是正六边形 D．直线和直线表示同一条直线 2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 3．画示意图表示下列概念之间的关系：等边三角形、多边形、正多边形 题型4.多边形、正多边形周长计算 1．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 2．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 3．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 1．从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 2．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 3．已知多边形内角和与外角和的和为，求多边形边数及对角线的条数． 题型6.对角线分割三角形个数问题 1．从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（    ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 2．过多边形某个顶点的对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形，它的内角和为____度． 3．已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为． (1)求这个正多边形木架的边数． (2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值． 题型7.多边形截角后边数判断 1．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    2．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 题型8.多边形内角和基础计算 1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 2．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 3．计算下方图形中的值． 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形． 3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 1．正边形的每一个外角的度数为，则的值是（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 2．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 3．下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 题型11.网格中多边形面积 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 题型12.内角和与外角和综合计算 1．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 2．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______． 3．已知：如图，分别为四边形的外角．求证：． 题型13. 平面镶嵌 1．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______． 3．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． ✍分层精练 一、单选题 1．在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 3．如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题 4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 5．两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 6．如图，，，是正边形的三条边，在该正边形下方以为一边作正六边形．已知，则的值为_____． 三、解答题 7．解答下列问题： (1)若一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． (2)如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且．求证：． 8．在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 9．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03四边形及多边形重难点专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1.四边形不稳定性辨析 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类 题型3.正多边形概念辨析 题型4.多边形、正多边形周长计算 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 题型6.对角线分割三角形个数问题 题型7.多边形截角后边数判断 题型8.多边形内角和基础计算 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 题型11.网格中多边形面积 题型12.内角和与外角和综合计算 题型13. 平面镶嵌 题型14进阶练习9题 👍核心题型精讲 题型1.四边形不稳定性辨析 1．如图，拉一拉，你发现了它们有什么变化吗？这说明了（   ） A．四边形不具有稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形可以变成三角形 D．四边形的对称性 【答案】A 【详解】解：由题意，说明了四边形不具有稳定性. 2．如图为平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的_____，可以自由伸缩，改变角度． 【答案】不稳定性 【详解】解：平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的不稳定性，可以自由伸缩，改变角度 ． 3．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类 1．如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 题型3.正多边形概念辨析 1．下列说法中正确的是（   ） A．若，则点是线段的中点 B．两点之间的线段叫做两点间的距离 C．六条边都相等的六边形是正六边形 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义可判断A；根据两点间的距离的定义可判断B；六条边和六个内角都相等的六边形是正六边形，据此可判断C；根据直线的表示方法可判断D． 【详解】解：A、若，且点C在线段上，则点是线段的中点，原说法错误，不符合题意； B、两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，原说法错误，不符合题意； C、六条边和六个内角都相等的六边形是正六边形，原说法错误，不符合题意； D、直线和直线表示同一条直线，原说法正确，符合题意； 2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 【答案】 6 【分析】根据全等的性质来举例即可求解． 【详解】解：根据题意得图， 可知正六边形中每条边都相等，每个内角都相等 包含有6个等边三角形， 则三个相邻的等边三角形组成的四边形是等腰梯形， 则四边形,四边形,四边形,四边形,四边形,四边形都是等腰梯形， 则有6个全等的等腰梯形． 3．画示意图表示下列概念之间的关系：等边三角形、多边形、正多边形 【答案】见解析 【分析】多边形：由若干条线段首尾顺次连接构成的封闭平面图形(如三角形、四边形、五边形等)； 正多边形：各边长度相等、各内角大小相等的多边形(如正三角形、正方形、正五边形等)，是多边形的特例； 等边三角形三边长度相等、三个内角均为；用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈． 【详解】解：示意图如下： 题型4.多边形、正多边形周长计算 1．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 2．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【答案】 【分析】根据小正方形总面积得到大长方形的面积，找出所有符合条件的长和宽的组合，利用长方形周长公式计算各组合对应的周长，比较得到最短周长． 【详解】解：∵边长为的小正方形面积为，个小正方形的总面积为， ∴拼成的大长方形面积为， 设大长方形的长为，宽为，且，，为正整数，可得， 所有符合条件的组合如下： 当时，，周长为， 当时，，周长为， 当时，，周长为， 比较得， 因此最短周长为． 3．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 1．从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据对角线定义得到n边形从一个顶点出发的对角线条数规律，代入八边形边数计算即可. 【详解】解：∵ 对n边形，从一个顶点出发，不能向自身和相邻的两个顶点作对角线， ∴ 从一个顶点出发的对角线条数为， ∵ 该多边形为八边形，即 ， ∴ 对角线条数为 . 2．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 3．已知多边形内角和与外角和的和为，求多边形边数及对角线的条数． 【答案】边数12，对角线条数54 【分析】设这是边形，已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是360度，因而内角和是1800度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． 【详解】解：设这是边形，则 ， ． 这个多边形的对角线的条数 ． 答：多边形的边数12，对称线条数54． 题型6.对角线分割三角形个数问题 1．从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（    ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形，代入九边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发作对角线，可将边形分成个三角形，该多边形为九边形，即， ∴可分成的三角形个数为． 2．过多边形某个顶点的对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形，它的内角和为____度． 【答案】 八 【分析】根据多边形的性质，边形过一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，先根据分成三角形的个数求出多边形的边数，再利用分成的所有三角形内角和之和计算多边形的内角和． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得：， 多边形内角和： ， 即这个多边形是八边形，它的内角和为度． 3．已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为． (1)求这个正多边形木架的边数． (2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值． 【答案】(1)10 (2)7 【分析】（1）设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为求得外角度数，除以这个外角度数即得所求的多边形的边数； （2）根据三角形的稳定性，多边形从一个顶点出发可以画的对角线条数，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意得：， 解得：， ， 故这个正多边形木架的边数为10． （2）解：∵三角形具有稳定性， ∴要使该正多边形木架不变形，需要将这个正多边形木架变成多个三角形， ∵从多边形一个顶点出发，连接其所有不相邻的顶点，可以将多边形分割成多个三角形， ∴从十边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，将十边形分成八个三角形， 即要使该正多边形木架不变形，至少要钉上7根木条． 题型7.多边形截角后边数判断 1．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 2．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 题型8.多边形内角和基础计算 1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正八边形的内角和． 2．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 【答案】5 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合已知的外角和与内角和的比，求出该多边形的内角和度数，再利用边形内角和公式求解边数即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，多边形外角和与内角和之比为， ∴该多边形的内角和为， 设该多边形的边数为，由边形内角和公式得： ， 等式两边同时除以得 ，解得． 3．计算下方图形中的值． 【答案】 【分析】由四边形的内角和为360°即可列出关于x的等式，解出x即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形． 【答案】十三 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于 设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则， ∴， 解得， 又∵， ， ，即 又∵为正整数， ， 故答案为：十三． 3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 1．正边形的每一个外角的度数为，则的值是（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】D 【分析】 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角的度数相等，因此用总外角和除以单个外角的度数，即可求出边数. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正边形的每个外角都相等，且每个外角为 ∴. 2．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 【答案】84 【详解】解：∵正六边形每个内角为，每个外角为，正五边形每个内角为，每个外角为， ∴， ∴． 3．下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【答案】(1)M和N的边数分别是4和6； (2)见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【详解】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； （2）嘉嘉解法：． 淇淇解法：正六边形的每个外角为：； 故正六边形的每个内角为． 题型11.网格中多边形面积 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求． （2） 解：． 题型12.内角和与外角和综合计算 1．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】利用多边形外角和为固定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，即可得到答案. 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和恒为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 又∵边形的内角和公式为， ∴列方程得 ， 解得 ，因此这个多边形是正六边形. 2．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______． 【答案】/144度 【分析】先根据题意列方程求出正多边形的边数，再计算正多边形一个内角的度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∴该正多边形的内角和为， 由题意得， 解得， 该正多边形的内角和为， 则这个正多边形一个内角的度数为． 3．已知：如图，分别为四边形的外角．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据邻补角定义得，再根据四边形内角和等于得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵分别为四边形的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型13. 平面镶嵌 1．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用周角定义求出正多边形内角，进而求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形， ∴每个内角度数， ∴每个外角度数， ∵多边形的外角和为， ∴边数为：， 故这种正多边形是正六边形． 2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______． 【答案】 【详解】解：正方形的一个内角的度数为，正六边形每个内角的度数为， ∴中间的正多边形一个内角的度数为， 设中间的正多边形的边数为； ∴， 解得：． 3．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． 【答案】(1) (2) (3)A，B，D (4) (5)，无，不可行 (6)铺设广场的总成本为1845元 【分析】（1）根据正多边形内角和可进行求解； （2）根据周角的定义可进行求解； （3）根据密铺的定义及正多边形的性质可进行求解； （4）由题意易得五边形内角和，然后根据图形可进行求解； （5）由题意易得方程，然后问题可求解； （6）设正三角形个，正方形个，正六边形个，则，然后可得该图形由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，进而问题可求解． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合； （3）解：A．正三角形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面． （4）解：五边形内角和：， ； （5）解：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，根据题意，可得方程； 发现方程无正整数解；结论：由上可得，“挑战小组”方案不可行； （6）解：设正三角形个，正方形个，正六边形个，则， ，，为正整数， ， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图，则三角形，正方形，正六边形的数量之比为， 需要90块正方形地砖，费用：（元）， 需要正三角形数量：（块），费用：（元）， 需要正六边形数量：（块），费用：（元）， 总成本：（元）， 答：铺设广场的总成本为1845元． ✍分层精练 一、单选题 1．在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由3条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 2．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 3．如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 二、填空题 4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 【答案】9 【分析】先根据多边形内角和定理与多边形外角和定理求出该多边形的边数，再代入边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 由题意得：， 解得， 则该多边形的对角线的条数共有（条）． 5．两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 【答案】18 【分析】由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是2， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 6．如图，，，是正边形的三条边，在该正边形下方以为一边作正六边形．已知，则的值为_____． 【答案】18 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正六边形的一个内角度数，再根据点处的三个角之和为求出正边形的一个内角度数，最后利用正边形内角公式列方程求解的值． 【详解】解：正六边形的一个内角为． 由图可知，正边形的一个内角、正六边形的一个内角与构成一个周角． 设正边形的一个内角为， 则． 解得． 根据正边形内角公式，得． 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 三、解答题 7．解答下列问题： (1)若一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． (2)如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式以及外角和建立方程，解方程即可求解； （2）先证明，再根据，即可得证． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为 ． 得， 答：这个多边形的边数是 （2）证明：， ， 即． 在和中 ． 8．在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 【答案】十边形 【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形内角和公式，多边形外角和为． 在各个内角都相等的多边形中，各外角也相等．首先设多边形的边数为，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，分别求出一个内角和一个外角，根据“一个内角是一个外角的倍”，列方程解方程即可得边数． 【详解】解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等． 设这个多边形的边数为n，则， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故这个多边形是十边形． 9．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $