专题04平行四边形重难点专项训练（12大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下册.

**基本信息** 系统梳理平行四边形13类核心题型，从性质应用到综合证明，梯度覆盖基础至进阶，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|3题（选择/填空/解答）|利用对边、对角、对角线性质计算|性质是判定与综合应用的基础| |判定|3题（选择/填空/证明）|添加条件或判断平行四边形|判定定理与性质互逆，需结合图形特征| |中位线|3题（选择/填空/解答）|求解长度及实际应用|中位线定理是三角形与平行四边形的桥梁| |综合应用|3题（作图/证明/探究）|与全等、图形变换结合|多知识点融合，体现推理能力与空间观念|

专题04平行四边形重难点专项训练 题型梳理归纳 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2求平行线间的距离 题型3利用平行线间距离解决问题 题型4判断能否构成平行四边形 题型5添一条件成为平行四边形 题型6数图形中平行四边形个数 题型7求与已知三点构成平行四边形的点的个数 题型8与三角形中位线有关的求解问题 题型9三角形中位线的实际应用 题型10平行四边形性质与判定综合应用 题型11全等三角形与平行四边形综合 题型12平行四边形性质和判定综合证明 题型13进阶练习9题 核心题型精讲 题型1.利用平行四边形的性质求解 1．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 2．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 3．在中，，长是周长的 (1)求的长度 (2)若对角线，求的面积． 题型2求平行线间的距离 1．在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，则直线a上任意一点P到直线c的距离是（   ） A．4 B．6 C．1或5 D．4或6 2．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 3．如图，在五边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，，求平行线与之间的距离． 题型3利用平行线间距离解决问题 1．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为_______． 3．如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 题型4判断能否构成平行四边形 1．如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有___________（填序号）． 3．如图所示，在中，点O在AC边上运动，过O点作直线交的平分线于E点，交的平分线于F点，连接． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？请说明理由． 题型5添一条件成为平行四边形 1．如图，已知，添加下面的条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 3．如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 题型6数图形中平行四边形个数 1．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 2．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 题型7求与已知三点构成平行四边形的点的个数 1．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 3．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 题型8与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 2．如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________ 3．如图，在中，D、E分别是、的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型9三角形中位线的实际应用 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 2．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 3．如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 题型10平行四边形性质与判定综合应用 1．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 3．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 题型11全等三角形与平行四边形综合问题 1．下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 3．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 题型12平行四边形性质和判定综合证明 1．如图，在中，点、分别在、的延长线上，且满足，若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④与之间的距离为或的长．其中正确的有________． 3．如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 分层精练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，．则的周长是（    ） A．16 B．8 C．11 D．21 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 二、填空题 4．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 5．探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 6．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 三、解答题 7．如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 8．如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 9．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平行四边形重难点专项训练 题型梳理归纳 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2求平行线间的距离 题型3利用平行线间距离解决问题 题型4判断能否构成平行四边形 题型5添一条件成为平行四边形 题型6数图形中平行四边形个数 题型7求与已知三点构成平行四边形的点的个数 题型8与三角形中位线有关的求解问题 题型9三角形中位线的实际应用 题型10平行四边形性质与判定综合应用 题型11全等三角形与平行四边形综合 题型12平行四边形性质和判定综合证明 题型13进阶练习9题 核心题型精讲 题型1.利用平行四边形的性质求解 1．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 【答案】A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 2．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 3．在中，，长是周长的 (1)求的长度 (2)若对角线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件求出平行四边形周长，再求的长度； （2）根据已知数据，应用勾股定理逆定理，证明，进而求的面积． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由已知，中，， 在中，，，, ，即， ∴， ， ． 题型2求平行线间的距离 1．在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，则直线a上任意一点P到直线c的距离是（   ） A．4 B．6 C．1或5 D．4或6 【答案】D 【分析】因为直线的位置不明确，所以分①直线在直线、外，②直线在直线、之间两种情况讨论．解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 【详解】解：①当直线在直线、外时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ∴直线上任意一点到直线的距离是； ②当直线在直线、之间时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ∴直线上任意一点到直线的距离是； 综上，与之间的距离为或． 2．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 3．如图，在五边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，，求平行线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可知，再根据五边形的内角和可得，再根据角平分线的定义求得，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, 在五边形中， ∴, ∵平分，平分， ∴, , （2）解：过点作, ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴, 则平行线与之间的距离为． 题型3利用平行线间距离解决问题 1．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过点A作与点G，再根据同高等底进行求解即可． 【详解】解：如图，过点A作与点G， ∵， ∴是的高， ∵，且， ∴， ∵， 又∵， ∴的面积是8． 2．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为_______． 【答案】75°/75度 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线间距离相等．直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两底角相等．掌握直角三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 过点作，由，则有，根据，可计算出，在中，，则有，所以，根据等腰三角形性质即可计算出． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则有， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 3．如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 题型4判断能否构成平行四边形 1．如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 2．一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有___________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键； 根据平行四边形的判定定理，逐一分析各条件是否满足判定要求即可． 【详解】解：对于条件①，一组对边平行且一组对角相等，根据平行四边形的判定定理，可证明另一组对边也平行，从而判定为平行四边形； 已知：,, 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 对于条件②，一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分，可通过全等三角形证明对角线互相平分，从而判定为平行四边形； 已知：，对角线平分， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴, 又∵， ∴四边形是平行四边形； 对于条件③，一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分，“一组对边相等 + 一条对角线被另一条平分” 无法推出三角形全等，缺少 “夹角相等” 或 “另一组对边相等” 的条件，不能满足平行四边形的判定定理； 对于条件④，两组对角的平分线分别平行，可推导出两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，可判定为平行四边形； 已知：，分别平分，，且，，分别平分，,且， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①②④． 3．如图所示，在中，点O在AC边上运动，过O点作直线交的平分线于E点，交的平分线于F点，连接． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)当点O运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由见详解 【分析】（1）通过已知，可得两组相等角，又，根据平行线性质，产生与上述角相等的内错角，通过等量代换得到，，再由等角对等边推出，，从而证明． （2）通过平行四边形判定以及矩形判定分析：、分别平分邻补角和，其和为，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得出四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； （2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形， 理由如下： 当O是中点时，， 由（1）已证， ∴四边形的对角线互相平分， ∴是平行四边形， ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴当O运动到的中点时，四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握这些性质是解决本题的关键． 题型5添一条件成为平行四边形 1．如图，已知，添加下面的条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 、当添加时，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、∵， ∴， 当添加时，得， ∴， 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、当添加时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、当添加时，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形是平行四边形，该选项符合题意． 2．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 【答案】(1)①②④ (2)①（答案不唯一），见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确； 故答案为：①②④； （2）解：选择①，，、为垂足； 证明：∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 选择②， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 选择④， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 题型6数图形中平行四边形个数 1．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 2．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 即平行四边形，平行四边形，平行四边形； 故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形． 3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 题型7求与已知三点构成平行四边形的点的个数 1．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 2．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 3．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 题型8与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出是边上的中线，利用勾股定理求出的长，根据面积法求解即可． 【详解】解：，， 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵D为中点，， ∴， 连接， 则， 取中点E，连接， 则是中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 3．如图，在中，D、E分别是、的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用三角形中位线的性质求解即可； （2）根据三角形中位线的性质以及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． （2）解：∵是的中位线， ∴， ∴． 题型9三角形中位线的实际应用 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线，即， B选项符合题意． 2．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 【答案】/16米 【分析】先判断是的中位线，再由中位线的性质即可得解． 【详解】解：，是，的中点， 是的中位线， ， ． 3．如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度的直尺作图，平行四边形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的性质作图即可； （2）先连接，交于点O，连接并延长，交于点F，连接，与的交点，即为点P，即可解答． 【详解】（1）解：如图(1)，平行四边形即为所求．理由如下： ∵E是边中点，点D是边的中点， ∴F是边的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）如图(2)，点P即为所求．理由如下： ∵，点D是边的中点，， ∴，，， 即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的四等分点， ∴ ∴． 题型10平行四边形性质与判定综合应用 1．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案． 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点， 过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径， 如图  所示， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大． 2．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 3．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 题型11全等三角形与平行四边形综合问题 1．下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 2．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 3．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 题型12平行四边形性质和判定综合证明 1．如图，在中，点、分别在、的延长线上，且满足，若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，即；再证明，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 2．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④与之间的距离为或的长．其中正确的有________． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行四边形的判定与性质进行判断即可． 【详解】解:∵，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，与之间的距离为或的长， 则①②③④都正确. 3．如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，得出，结合平行线的性质与判定、角平分线的定义，推出，根据“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”判定四边形是平行四边 形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 分层精练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，．则的周长是（    ） A．16 B．8 C．11 D．21 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出的周长． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4）， ∴点D的坐标不可能是（-3，2）. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平面直角坐标系与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，利用图象法解决问题． 3．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 【详解】∵解：四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 二、填空题 4．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 5．探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【详解】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 6．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 / 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 三、解答题 7．如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得到且，因为已知，所以可推出，进而判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质证明两角相等； （2）先利用平行四边形对角相等的性质得到，在中根据三角形内角和定理求出的度数，再由的性质得到，最后结合平行四边形邻角互补的性质，或利用外角性质计算的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ． 8．如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)当时（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，即可得，再根据可得结论； 对于（2），由（1）可知，即可知四边形是平行四边形，再添加一个内角等于或对角线相等，答案不唯一． 【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 当时， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 【答案】(1)32 (2)2 【分析】（1）作于F，根据可知长度，根据角平分线以及平行线的性质可知，进而可用面积公式求解； （2）取DE中点H，连，可证是平行四边形，根据三角形的中位线以及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）作于F， ， 平分， ∴, ， ， ， （2）取DE中点H，连，则． ∵点F是的中点，点H是的中点， ∵点E是BC的中点，， ∴是平行四边形， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $