专题09 整式乘除法重难点七大题型突破-2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题09 整式乘除法重难点七大题型突破 【题型 1:单项式乘单项式】, 【题型2:单项式乘多项式】. 【题型 3:单项式乘多项式的应用】. 【题型 4:多项式乘多项式】 【题型 5:多项式乘多项式与图形面积】 【题型6:单项式除单项式】 【题型 7:多项式除单项式】 . 【题型 1:单项式乘单项式】, 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 2．计算，结果中x，y的指数依次为（     ） A．3，7 B．3，3 C．2，6 D．2，7 【答案】A 【详解】解：， ∴的指数为3，的指数为7． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的幂运算与乘法计算，先利用积的乘方法则化简第一项，再按照单项式乘单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： 4．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 5．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 【题型2:单项式乘多项式】. 6．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而算出式子的结果． 【详解】解：． 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据单项式乘以多项式运算法则将括号展开，合并同类项得最简结果，代入a的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 9．已知：，求的值． 【答案】 【分析】先由单项式乘以多项式运算法则化简，再由积的乘方运算的逆运算恒等变形，最后将代入代数式，由含乘方的有理数加法运算计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 10．先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】先利用单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则化简原式，再将和的值代入化简后的式子计算结果即可． 【详解】解：原式 当，时 原式． 【题型 3:单项式乘多项式的应用】 11．老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含、的式子表示） (2)若某种地砖的价格是元/，则购买地砖至少需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【详解】（1）解：由题知， （平方米）， 答：至少需要平方米地砖； （2）解：由题知，购买地砖至少需要费用元． 12．公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用大长方形面积减去小长方形面积求解即可； （2）将代入（1）中的代数式，即可求值． 【详解】（1）解：草坪面积为： ； （2）解：当时，草坪面积． 13．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 14．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【题型 4:多项式乘多项式】 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 17．（1）计算： ①； ②． （2）分别求的值： ①； ②． （3）已知，、为正整数，求的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，． ②，；（3）满足题意的为：37，20，15，13，12． 【分析】（1）依据题意，根据多项式与多项式相乘即可得解； （2）依据题意，先根据常数项相等求出，再根据一次项系数相同进而求出； （3）依据题意，列出关于，的方程，再结合，为正整数，进而可以得解． 【详解】解：（1）①原式； ②原式． （2）①， ，． ，． ②， ，． ，． （3）由题意得，， ，． ，为正整数， ，；，；，；，；，；，； ，；，；，． 满足题意的为：37，20，15，13，12． 【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，解题时要熟练掌握相关变形是关键． 18．已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简原式，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 【题型 5:多项式乘多项式与图形面积】 19．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 【答案】(1)①；② (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算即可；②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与m无关． 【详解】（1）解：①根据题意得： ； ； 故答案为：； ② ， ∵， ∴， ∴，即； 故答案为： （2）解：①根据题意得：该正方形纸片的边长是 ， 故答案为： ②， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 20．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1) (2)①45；② 【分析】（1）利用大正方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积求解即可； （2）①结合（1）可得出，再代入求值即可； ②根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方的逆用法则可得出，由题意可得出，再根据，代入求值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：①由（1）可知 ． 故答案为：45； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整式的应用，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方的逆用，代数式求值．解题的关键是将整体面积划分为几部分之和得出公式，并运用公式求值． 21．如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为米，宽为米的长方形健身广场，广场内有一个边长为米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．    (1)用含，的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化带的总面积． 【答案】(1) (2)600 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，对于（1），根据总面积减去正方形活动场所的面积列出式子，再根据整式混合运算法则计算； 对于（2），将字母的值代入，计算可得答案． 【详解】（1）解：（1）根据题意，广场上绿化带的总面积是 ． 答：广场上绿化带的总面积是平方米． （2）把代入，得 （平方米） 答：广场上绿化带的总面积是600平方米． 22．如图所示，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：如图②所示，可以解释．    【初步运用】 （1）仿照例子，图③可以解释等式_______． （2）取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的相邻两边长分别为和，不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张？ 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作，你会发现拼成的长方形的长是______，宽是______，将改写成两个整式积的形式为______．并画图说明． 【答案】（1）； （2）15张； （3），，， 如图：    【分析】（1）根据图②结合图形的面积即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边，即可． 【详解】解：（1）图③可以解释为：； 故答案为：； （2）∵， ∴需要C类卡片15张； （3）通过操作，你会发现拼成的长方形的长是，宽是， ． 故答案为：，， 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 【题型6:单项式除单项式】 23．_________． 【答案】/ 【分析】根据单项式除法运算法则，分别计算系数与同底数幂即可得到结果． 【详解】解：． 24．计算：_________． 【答案】 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 25．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，将系数与同底数幂分别相除，即可得到结果． 【详解】解：． 26．如果，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 【详解】解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 【题型 7:多项式除单项式】 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．计算： 【答案】 【详解】解： ． 29．已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （2）根据题意列出式子进行计算即可． 【详解】（1） ， 小马误算为， 故：； （2）解： 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 整式乘除法重难点七大题型突破 【题型 1:单项式乘单项式】, 【题型2:单项式乘多项式】. 【题型 3:单项式乘多项式的应用】. 【题型 4:多项式乘多项式】 【题型 5:多项式乘多项式与图形面积】 【题型6:单项式除单项式】 【题型 7:多项式除单项式】 . 【题型 1:单项式乘单项式】, 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算，结果中x，y的指数依次为（     ） A．3，7 B．3，3 C．2，6 D．2，7 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 4．若，则、的值为（    ） A． B． C．D． 5．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型2:单项式乘多项式】. 6．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 7．计算： (1)； (2) 8．先化简，再求值：，其中． 9．已知：，求的值． 10．先化简，再求值：．其中，． 【题型 3:单项式乘多项式的应用】 11．老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含、的式子表示） (2)若某种地砖的价格是元/，则购买地砖至少需要多少元？ 12．公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 13．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 14．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【题型 4:多项式乘多项式】 15．计算： (1) (2) 16．化简：． 17．（1）计算： ①； ②． （2）分别求的值： ①； ②． （3）已知，、为正整数，求的值． 18．已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【题型 5:多项式乘多项式与图形面积】 19．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 20．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 21．如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为米，宽为米的长方形健身广场，广场内有一个边长为米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．    (1)用含，的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化带的总面积． 22．如图所示，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：如图②所示，可以解释．    【初步运用】 （1）仿照例子，图③可以解释等式_______． （2）取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的相邻两边长分别为和，不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张？ 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作，你会发现拼成的长方形的长是______，宽是______，将改写成两个整式积的形式为______．并画图说明． 【题型6:单项式除单项式】 23．_________． 24．计算：_________． 25．计算的结果是______． 26．如果，则______． 【题型 7:多项式除单项式】 27．计算： (1)； (2)． 28．计算： 29．已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)求整式； (2)求的正确结果． 30．先化简，再求值：，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $