专题04 整式运算中含参数及新定义型问题（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题04 整式运算中含参数及新定义型问题 常考题型·精准突破 题型1 利用单项式乘法求字母或代数式的值（重） 题型2 利用单项式乘多项式求字母的值（重） 题型3 完全平方式中的字母参数问题（高频） 题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频） 题型5 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题（难） 题型6 整式的运算中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．11 2．1 3．3 ◆题型2 利用单项式乘多项式求字母的值 4．0 5．4 6． ◆题型3 完全平方式中的字母参数问题 7． 8．11或 9．或 ◆题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值 10． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 11． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 12． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． ◆题型5 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 14． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 15． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． ◆题型6 整式的运算中的新定义型问题 16． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 17． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，列出关于x的方程求解； （2）先根据新定义得出，再结合，得到关于n的方程求解； （3）先根据，求得n，再得出，结合，得到关于x的方程，再将待求式子变形后整体代入求值． 【详解】（1）解∶根据定义得； ， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， 解得∶ ， ， ∵， ∴， 化简得：， 即， ∴． 18． 【答案】(1)解：B是整式A的“文脉增项式”，理由如下： ∵， ， ∴， ∵的项数为，的项数为，，符合“文脉增项式”的定义， ∴是整式的“文脉增项式”； (2)或 【分析】（1）计算乘积后对比项数即可判断； （2）先根据时求出的值，再计算乘积合并同类项后，根据定义要求分类得到系数为的情况，结合的条件求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：将，代入，得， 解得，满足 ∴， ∴， ∵的项数为，根据定义，的项数应为，该式共有项，其中的系数为，常数项为，均不为， ∴分两种情况： ①当时，解得，符合的要求， ②当时，解得，符合的要求， ∴的值为或． 19． 【答案】(1) (2)证明：，且和都是整式，符合“平方和式”定义， 是“平方和式”； (3)是，乘积仍是“平方和式”， 理由如下： ，是“平方和式”， 可设，，其中、、、都是整式， 则 、、、都是整式， 和均为整式， 因此和的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”． 【分析】（1）逐一判断三个整式能否写成两个整式的平方和； （2）通过分组配方将原式变形为两个整式的平方和； （3）设出，的平方和形式，展开后重新配方即可证明乘积仍符合定义． 【详解】（1）解：逐个验证三个整式： 为一次整式，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， ，和均为整式，符合“平方和式”定义，是“平方和式”， ，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， 故符合要求的是； （2）略 （3）略 20． 【答案】(1)；减项 (2)B是A的“增项多项式”，理由如下： ， 的项数比A的项数多1项， B是A的“增项多项式” (3)2 (4)或 【分析】（1）计算，比较与即可求解； （2）计算，比较与即可求解； （3）计算，是的“完美多项式”，则，令的二次项系数和一次项系数等于0，即可求解； （4）计算，是的“完美多项式”，则，分情况讨论和，求解的值． 【详解】（1）解：， 的项数比A的项数少1项， ∴是的减项多项式； （2）略 （3）解：， ∵是的完美多项式， ∴， ∵，中和是固定项， ∴，， 解得； （4）解： 当时，，，，此时， ∴符合题意， 当时，，，要使，则， 而，，其中，， 必须使， ∴， 解得， 综上所述，，或，是的“完美多项式”． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．A 3．C 4．B 二、填空题 5．2 6．0 7．21或 8． 三、解答题 9． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m、n的值； （2）将m、n的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵该代数式中不含x项与项， ， 解得； （2）解：． 10． 【答案】(1)，； (2)1 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行计算，再由结果中不含与项令其系数为0，进而求解即可； （2）先将原式化简，再将代入计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果中不含与项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 11． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 12． 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 13． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 14． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式运算中含参数及新定义型问题 常考题型·精准突破 题型1 利用单项式乘法求字母或代数式的值（重） 题型2 利用单项式乘多项式求字母的值（重） 题型3 完全平方式中的字母参数问题（高频） 题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频） 题型5 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题（难） 题型6 整式的运算中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则__________． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 2．（25-26八年级上·河南开封·阶段检测）已知单项式与的积为，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 3．（25-26七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． ◆题型2 利用单项式乘多项式求字母的值 4．（25-26七年级下·江苏无锡·开学考试）要使的展开式中不含项，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 5．（25-26八年级上·湖南·阶段检测）若的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则_______． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． ◆题型3 完全平方式中的字母参数问题 7．（25-26七年级下·四川达州·期末）如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_______． 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构特征，确定一次项系数的所有可能取值，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 8．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为____________． 【答案】 11或 【分析】完全平方公式为，完全平方式有两种不同的形式，将给定多项式和完全平方公式对比即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴该多项式可以写成的形式， ∴， ∴， ∴或 ． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为______． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． ◆题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 11．（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 12．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． ◆题型5 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 14．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． ◆题型6 整式的运算中的新定义型问题 16．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 17．（25-26八年级上·四川广元·期末）定义，如，已知，（n为常数）， (1)若，求x的值； (2)若将A整理成二次三项式配方后为求n的值； (3)若n满足且，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，列出关于x的方程求解； （2）先根据新定义得出，再结合，得到关于n的方程求解； （3）先根据，求得n，再得出，结合，得到关于x的方程，再将待求式子变形后整体代入求值． 【详解】（1）解∶根据定义得； ， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， 解得∶ ， ， ∵， ∴， 化简得：， 即， ∴． 18．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”． (1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值． 【答案】(1)解：B是整式A的“文脉增项式”，理由如下： ∵， ， ∴， ∵的项数为，的项数为，，符合“文脉增项式”的定义， ∴是整式的“文脉增项式”； (2)或 【分析】（1）计算乘积后对比项数即可判断； （2）先根据时求出的值，再计算乘积合并同类项后，根据定义要求分类得到系数为的情况，结合的条件求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：将，代入，得， 解得，满足 ∴， ∴， ∵的项数为，根据定义，的项数应为，该式共有项，其中的系数为，常数项为，均不为， ∴分两种情况： ①当时，解得，符合的要求， ②当时，解得，符合的要求， ∴的值为或． 19．（25-26七年级下·江苏常州·期末）定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”． (1)在，，中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明是“平方和式”； (3)如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】(1) (2)证明：，且和都是整式，符合“平方和式”定义， 是“平方和式”； (3)是，乘积仍是“平方和式”， 理由如下： ，是“平方和式”， 可设，，其中、、、都是整式， 则 、、、都是整式， 和均为整式， 因此和的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”． 【分析】（1）逐一判断三个整式能否写成两个整式的平方和； （2）通过分组配方将原式变形为两个整式的平方和； （3）设出，的平方和形式，展开后重新配方即可证明乘积仍符合定义． 【详解】（1）解：逐个验证三个整式： 为一次整式，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， ，和均为整式，符合“平方和式”定义，是“平方和式”， ，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， 故符合要求的是； （2）略 （3）略 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， (1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； (2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由； (3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________； (4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值． 【答案】(1)；减项 (2)B是A的“增项多项式”，理由如下： ， 的项数比A的项数多1项， B是A的“增项多项式” (3)2 (4)或 【分析】（1）计算，比较与即可求解； （2）计算，比较与即可求解； （3）计算，是的“完美多项式”，则，令的二次项系数和一次项系数等于0，即可求解； （4）计算，是的“完美多项式”，则，分情况讨论和，求解的值． 【详解】（1）解：， 的项数比A的项数少1项， ∴是的减项多项式； （2）略 （3）解：， ∵是的完美多项式， ∴， ∵，中和是固定项， ∴，， 解得； （4）解： 当时，，，，此时， ∴符合题意， 当时，，，要使，则， 而，，其中，， 必须使， ∴， 解得， 综上所述，，或，是的“完美多项式”． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 2．若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题的关键是根据题意将式子展开再让不含该项的系数为0． 根据多项式乘多项式的法则，计算展开后，合并同类项，让与项的系数分别为 0 即可求解． 【详解】解： ， ∵乘积中不含与项， ， 解得：， ， 故选：A． 3．已知多项式是完全平方式，则k的值为（       ） A．3 B．9 C．9或 D．9或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，解题关键是正确配方．由多项式是完全平方式，可得，即可得或． 【详解】解：由多项式是完全平方式， 得，即或． 故选：C． 4．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 二、填空题 5．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 6．如果计算的结果不含项，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零即可得出答案． 【详解】解： ， ∵计算的结果不含项， ∴． ∴． 故答案为：0． 7．若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】21或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 8．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 9．已知关于x的代数式中不含x项与项． (1)求m、n的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m、n的值； （2）将m、n的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵该代数式中不含x项与项， ， 解得； （2）解：． 10．若的计算结果中不含与x项． (1)求m，n的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，； (2)1 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行计算，再由结果中不含与项令其系数为0，进而求解即可； （2）先将原式化简，再将代入计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果中不含与项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 11．定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 12．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 13．7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 14．定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04整式运算中含参数及新定义型问题 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1利用单项式乘法求字母或代数式的值（重） 题型2利用单项式乘多项式求字母的值（重） 题型3完全平方式中的字母参数问题（高频） 题型4已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频） 题型5多项式乘多项式与图形面积中无关型问题（难） 题型6整式的运算中的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.(25-26七年级下江苏泰州阶段检测)若(m)(2x)=8x8,则m+k= 2.(25-26八年级上河南开封阶段检测)己知单项式3xy与2y的积为my”,则m-n= 3.(25-26七年级下宁夏中卫阶段检测)(xy)(xmy)=xy,求m”的值 ◆题型2利用单项式乘多项式求字母的值 4.(25-26七年级下江苏无锡开学考试)要使(x+m-(-2x)的展开式中不含x4项，则a的值为 5.(25-26八年级上湖南阶段检测)若（少-y+4y)小(y)的展开式中不含y项，则k的值是 6.(25-26七年级下河南郑州期中)己知M=y2+2y+a,N=-y,P=y+2y2-5y+2,且M.N+P的值 与y无关，则a= ◆题型3完全平方式中的字母参数问题 7.(25-26七年级下四川达州期末)如果多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 8.(25-26六年级下山东泰安期末)如果x+(k-3列y+16y是一个完全平方式，那么k的值为 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级下黑龙江大庆期末)已知代数式m+(k-)m+16是一个完全平方式，则实数k的值为 ◆题型4已知多项式乘积不含某项求字母的值 10.(25-26七年级下江苏泰州期中)关于x的代数式(x+3)(2x-4)+4r2+m化简后不含有x2项和常数 项。 (1)求a和m的值. (2)若an-mn=28,求代数式4n2+3m的值. 11.(25-26七年级下江西抚州期中)己知(-3)(x+2)-2+b展开后，不含有x2项和常数项。 (I)求a、b的值： (2)在(1)的条件下，求(a-b)(d2+ab+b2)的值， 12.(25-26七年级上·河南安阳期末)我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式-x+2y-5 的值与x的取值无关，求a的值， 通常的解题思路是：把x,y看作字母，a看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式=(a-I)x+2y-5 ,代数式的值与x的取值无关， ∴a-1=0, 解得：a=1 【理解应用】 (1)若关于x的多项式2mx+3x-m2+1的值与x的取值无关，则m的值为_； (②)已知A=(c+33x-)-x(2m+3),B=-22+5mx-4,且2A+B的值与x的取值无关，求m,n的值： ◆题型5多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 13.(25-26八年级上贵州黔西南阶段检测)【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题： 代数式ar-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值.其解题过程如下： 解：原式=(a+3)x-6y+5 ·代数式的值与x的取值无关， ∴a+3=0,解得a=-3 【理解应用】(1)己知A=(2x+(x-2)-x(1-3m),B=-x2+mrx-1,且A+2B的值与x的取值无关， 求m的值. 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【能力提升】(2)用7个如图1所示的小长方形（长为a,宽为b)拼成如图2所示的大长方形ABCD, 大长方形中两个阴影部分也是长方形.设右上角的长方形的面积为S,左下角的长方形的面积为S2,当 AB的长变化时，S-S2的值始终保持不变，求α与b的等量关系. B S2 图1 图2 14.(25-26七年级下·辽宁辽阳期中)现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,c,d,规定 (a,b)⑧(c,d)=ad-bc,等号右边是通常的减法和乘法运算.例如：(1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2. D S2 S a B 图1 图2 请解答下列问题 (1)填空：（-2,3)8(4,5)=— (②)若(2x+l,m-)⑧(5，x-2)的代数式中不含x的一次项时，求n的值： (3)求(3x+1,x-2)8(x+2,x-3)的值，其中x2-4x+1=0: (4)如图1，小长方形长为a,宽为b,用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中AB=5,大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S,右上 角长方形的面积为S2.当2S-3S,=20,求(2a+b,6b)⑧(b-3,3a-6b)的值， 15.(24-25七年级下·广东佛山期中)教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算， 学会了研究运算的方法.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,C,d规定 (a,b)⑧(c,d=ad-bc.例如：(1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2 请解答下列问题： 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G S B a B 图1 图2 图3 (1填空：（-3,5)⑧(6,2)=-： (②)若(x+l,x+2)⑧(4，x+)的代数式中不含x的一次项时，求n的值： (3)如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为正 方形时，设正方形ABGF和正方形CDEG的边长分别为a,b,若BE=9,(a+1,b+)⑧(-l,a-I)=40, 求出阴影部分的面积. (4)如图2，小长方形长为a,宽为b,用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中AB=5,大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S,右上 角长方形的面积为S2,当2S,-3S2=5时，求(2a+b,b)⑧(-4b+3,2a-4)的值. ◆题型6整式的运算中的新定义型问题 16.(25-26七年级上：河北沧州期末)定义一种新运算：对任意有理数a,b都有a®b=2a-3b.例如： 1⊕2=2×1-3×2=-4. (1)求-2⊕3的值。 (2)化简并求值：(x+3a)⊕(x-2b),其中a,b互为相反数，x是最大的负整数. (3)已知x2⊕a与3⊕ar2的差中不含x2项，求a的值. a b 17.(25-26八年级上四川广元期末)定义cd 123 ad-bc,如45 =2×5-3×4=-2,已知 x+12 A= r-1x (n为常数)，B= x+3 x x x-2 (1)若B=2,求x的值： (2)若将A整理成二次三项式配方后为(x+)+山求n的值： (3)若n满足2×21-22，且A=2-B,求4x2+8x-20的值， 18.(25-26七年级下·江西景德镇期末)在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整 式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 脉增项式” (1)如果A=x-4,B=2x+3,判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由； (2)已知A=x+a,B=x2+bx+9都是关于x的整式，且a,b均为不等于0的有理数，当x=1时，A=0且B 是A的“文脉增项式”，求b的值. 19.(25-26七年级下江苏常州期末)定义：若一个整式能表示成A2+B2(A,B为整式)的形式，则 称这个整式为“平方和式”.例如，x-2x+5=(x-2x+1)+4=(x-l+2,且x-1,2均为整式，所以 x2-2x+5是“平方和式”. (1)在3x+2,x2+4,x2+2x中，是“平方和式”的是_： (2)根据定义，说明a2+b2+2a-4b+5是“平方和式”： (3)如果M,N是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不 是，请举出反例. 20.(25-26七年级下辽宁沈阳期中)定义：N(4)是多项式A化简后的项数，例如多项式A=x2+2x-3, 则N(4)=3,一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C(即C=A×B),如果N(C)=N(4)+l,则称 B是A的“增项多项式”，如果N(C)=N(4),则称B是A的“完美多项式”，如果N(C)=N(A)-l, 则称B是A的“减项多项式”， (1)若A=x2-x+1,B=x+1均是关于x的多项式，则多项式C= 且B是A的“ 多 项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入)； (2)若A=x-2,B=x+3均是关于x的多项式，B是不是A的“增项多项式”？请判断并说明理由： (3)若A=x-2,B=x2+x+4均是关于x的多项式，且B是A的“完美多项式”，则a=- (4若A=x2-x+3m,B=x2+x+m均是关于x的多项式，且B是A的“完美多项式”，求m的值. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.设(x-y2)(xmy）=xy,则n"的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 51/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.若(x2+p(x2-9r+4)的乘积中不含x2与x项，则p+q的值为() A.-4 B.-8 C.-2 D.8 3.已知多项式4x2-2(k-3)x+9是完全平方式，则k的值为() A.3 B.9 C.9或-3 D.9或3 4.已知x(x-a)+b(x+a)=x+5x-6,当x为任意数时该等式都成立，则a(-l)+b(a+1)的值为() A.17 B.-7 C.-1 D.-17 二、填空题 5.若（-5a"b-）2a2b=-l0ab,则2m+n= 6.如果计算(2-r+3x+m(-4r)的结果不含x项，那么m的值为 7.若16x2-2(m-1)y+25y2是一个完全平方式，那么m的值是 8.如果(x-a)x+x(r-2)的展开式中不含有x这一项，那么a的值为 三、解答题 9.已知关于x的代数式c+2m-x+”中不含x项与x2项. 。1 (I)求m、n的值： (2)求代数式m2025n24的值. 10.若+m)?+x+”的计算结果中不含x2与x项. (1)求m,n的值： ②求代数式(n+2m)-(n+2m)(n-2m)÷4m的值. 1定父0的则-k,6-14-g-之.已4 |2x+11 x-12x (n为常数0)，B= x+1x- x-1x+1 (1)若B=4,则x的值为： (2)若A的代数式中不含x的一次项，当x=1,求A+B的值： (3)若A中的n满足8×21=2，且A=B+2时，求16x2-8x+9的值. 12.我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它 们的“对消值”.如M=2x2-x+6与V=-2x2+x-1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5. ()下列各组多项式互为“对消多项式”的是一（填序号）： 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①3x2+2x与3x2+2: ②x-6与-x+2: ③-5x2y3+2xy与5x2y3-2y-1」 (②)多项式A=(x-a'与多项式B=-br2-2x+b(a,b为常数)互为“对消多项式”，求它们的“对消 值”； 13.7个如图①的小长方形，长为a,宽为b,按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中 未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S:AB的长度为m. S2 图① 图② )填空：S=一，S2= (用含a、b、m的式子表示)： (2)若S-S2的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在(2)的条件下，直接写出S-S2的值 14.定义：若多项式mr+a,mx+b,mx+c满足(mr+b)-(mx+a)(mx+c)=n(其中a<b<c,m,n 是常数，且m≠0)，则称多项式r+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”，常数n叫做多项式mx+a, mx+b,mx+c的“和谐值”.例如多项式3x+1,3x+2,3x+3满足(3x+2-(3x+1)(3x+3)=1,那么 多项式3x+1,3x+2,3x+3叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式3x+1,3x+2,3x+3的“和谐 值”. (1)试判定多项式2x-3,2x+1,2x+4是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说 明理由； (2)若多项式mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”（其中a<b<c,m,n是常数，且m≠0）， “和谐值”为n. ①试说明a,b,c满足的数量关系； ②设S=4n,试说明：S=a2-2ac+c2: (3)x-3,x-P,x-9为“和谐多项式群”，卫，9满足P>9且P>3(P，9为常数)，“和谐值”为 q-6,求出所有符合条件的P,9的值. .m 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8/8