专题10 双曲线的定义、标准方程和性质的应用（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10双曲线的定义、标准方程和性质的应用 题型归纳 题型一双曲线的定义与轨迹方程 题型二双曲线的标准方程 题型三由方程判断双曲线与参数范围 题型四双曲线的基本量与几何性质 题型五渐近线与高心率的互求 题型六由定义求距离的最值 题型七焦半径与焦点三角形 题型专练 题型一：双曲线的定义与轨迹方程 1.己知F1-2,0、F22,0,动点P满足PF1-PF2=2,则动点P的轨迹方程为() A.x-Y=1 B.X-￥=1x≤1 3 3 C首-1x 。.y-芳1y2 2.已知圆A:x+3+y=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为 Q,则Q点的轨迹方程为() A首-1 ar若 C.2==1(x≥1 3.设点A-23,0,B23,0,M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值3点M的 轨迹方程是() 号苦-y0 117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=y20 c. X-y=1y0 0.186 4.动点Mx,y与定点F3,0的距离和它到定直线：x= 3的距离的比是2 ,则动点M的轨迹方程为( 54 45 0.95 5.已知M-2,0,圆C:x-4x+y=0,动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( ) A.x-=1x21) 3 8苓y-1x8l c首1 1 6.己知两条直线1：y=2x,2:y=2x,有一动圆M与l1交于A,B两点，与l交于C,D两点，且 AB=2,CD=4,则圆心M的轨迹为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.在平面直角坐标系xOy中，A一2,0，B2,0,动点C和D分别位于y正半轴和负半轴上，若 OCOD=1,则AC和BD的交点M的轨迹方程为() A.x+y=4y≠0 B.x2+y2=4y≠0 6c等产-y0 ￥-y=1y0 题型二：双曲线的标准方程 1.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点2，-2V2,则双曲线的标准方程为() B.88 x-y=1 D.44 +士=1共焦点且过点P2,2的双面线的标准方程为（） 2.与椭圆C:15+6 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 盖苦1 x2 v2 3.双曲线焦点在x轴，离心率=22，且过点2,0，则双曲线方程为() C. =1 214 0.216 4.与稀圆兰+之=1有公共焦点，且过点M-22,1的双曲线方程为 105 5.己知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为 6。与双曲线4~y=1有公共渐近线，且过点一2,3的双曲线的实轴长为 7.已知双曲线C过点3,1，且与双曲线3y2-x2=1有相同的渐近线，则C的焦距为() A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 题型三：由方程判断双曲线与参数范围 1.已知双曲线C: X+y =1,则( mm+1 A.0<m<1 B.C的焦点在x轴上 c.-1<m<-1 D.C的焦点在y轴上 2.已知方程， +一y=1表示双曲线，则m的取值范围为（） 1-m2+m A.m<-2 B.m>1 C.-2<m<1 D.m<-2或m>1 3.设m为实属，若方程一与片21*不在方在难上前双角统则实数m的蚊恤回是《） m-3m+2 A.-2<m<3 B.m>3 <m<3 c.2 0-2m 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知方程 y =1表示双曲线，则实数m的取值范围为 m+2m-1 5.已知双豳线 +y2 a-32-a =1,焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于」 6.若三个点-3,1.-2,33，-1中恰有两个点在双曲线c:言-y=1a>0上，则双曲线c的渐 近线方程为 式-号=1a≠0上存在四个点A,B,C,D,使四边形ABCD是正方形，则实数Q的取值范 7.己知曲线97 围是 题型四：双曲线的基本量与几何性质 1.双曲线2x-y2=4的实轴长为 2.双曲线)一=1的实轴长为 3.已知双曲线C: :京y=1a>0)的焦距为10，则a= 2 y 4、已知双曲线g=1(b>0),且c=5,那么正实数b 5.已知双曲线C: =1的离心率为√3，则C的焦距为() a3a+5 A.3 B.23 c.V15 D.215 6.已知双曲 a =1a>0,b>0的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为() A.y=±V3x 3 B.y=± X 3 1 C.y=±2x D.y=±2x 7.已知双曲线C: 号-。=1的左顶点为-3,0，则该双曲线的离心率为 a78 题型五：渐近线与离心率的互求 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.已知双曲线C: 号-兰=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=-3x,则双曲线C的离心率为( a b2 ) A.3 B.2 C.3 D.4 y2 x2 2.己知双曲线 =1的一条渐近线方程为y= X,则其离心率为() B.25 c.V5 D.2 3.已知双曲线C:,上=1(m>0)的离心率为2，则C的南近线方程为（) 4 m 1 A.y=±2X B.y=±x C.y=±V3x 0.y=t3 4若双曲线 二+Y=1的渐近线方程为x士2y=0,则该双曲线的焦距为 416k 兰-兰=1a>0,b>0的一条新近线的倾斜角为号，则离心率为 5.双曲线。b 2π 6.己知双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1,F2,∠F1MF,=120°则双曲线的离心率为 7.已知点P在双曲线C:X-兰=1上，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 6 题型六：由定义求距离的最值 1.记双曲线E: 45 =1的右焦点为F,A3,2,P为E上一点，则PA+PF的最小值为() A.2 B.2V10-4 c.2V10 D.2V10+2 2.R知F是斑准线子苦=1哈上在点：点P是双佳线T支上的点，点A3,1则PF+PA的条小 值为() A.11 B.9 c.V13 D.5 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3已知双由线E:父-芳1的有病点为元动点M在双由线右支上，点A0,一.则MF-MA销员 大值为() A.5 B.5-2 c.2V2 D.22-2 4.设点P是亩线-兰=1右支上一动点，F为东焦点，点Q是圆2+y-4=1上动点，则 45 PF到+PQ的最小值是 5.己知双曲线C :兰-兰=1a>0,b>0前左右焦点分别为P,F,点P在C的右支上，过点P作C的- d b2 条渐近线的垂线，垂足为Q.当PF1+PQ取最小值为4时，则△QF1F2面积的最大值为() A.1 B.2 C.4 D.8 6.已知双曲线C:-兰=1的右焦点为R,中心为0，P是C右支上的动点，若点M满足MM市=0， 3 则OM的最小值为() 1 A.2 B.1 c.3 D.2 7.已知双曲线C:X-兰-1b>0)的左、右焦点分别为F、F2,动点P为双曲线右支上任意一点，点 63 Q(0,4),若△PQF1周长的最小值为12，则b=() A.V10 B.3 c.2V2 D.V6 题型七：焦半径与焦点三角形 1.已知双曲线C:等兰-1的丙个熊点为5，B,双自线C上有一点P若P下6，则PF A.10 B.2 C.2或10 D.14 -兰=1的左、右焦点分别是P1,F,点P在双曲线上，且PF=5PF2,则PF,日 2.双曲线1620 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 已知双曲线C:兰.兰-1，双南线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 169 4.己知F1,F2为双曲线 兰=1的左，右焦点，过点F向该双曲线的一条渐近线作垂线PF,華足为 43 P,则△PF1F2的面积为() A.2 B.3 C.4 D.23 知0为坐标原点，F为双曲线C:名-广b>0的左焦点，直线yKx与C交手A,B两点（点A 第一象限)，若OA=OF,且AF·BF=2,则C的离心率为() 6 23 A.2 B. 3 c.3 D.6 6.以双曲线-二=1的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则m的值为 4 m 知双曲线的左、石焦点分别为，2，若在双线的右支上有个点卫，清园 PF1=3PF2,则点P的横坐标为 717可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10双曲线的定义、标准方程和性质的应用 题型归纳 题型一双曲线的定义与轨迹方程 题型二双曲线的标准方程 题型三由方程判断双曲线与参数范围 题型四双曲线的基本量与几何性质 题型五渐近线与高心率的互求 题型六由定义求距离的最值 题型七焦半径与焦点三角形 题型专练 题型一：双曲线的定义与轨迹方程 1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.D 题型二：双曲线的标准方程 1.c 2.C 3.A 4音 若1 5. 6.4/2 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.D 题型三：由方程判断双曲线与参数范围 1.D 2.D 3.A 4.-0∞，-2U1,+00 5. 2/0.5 6.y=±3 7.-0∞，-3U3,+0∞ 题型四：双曲线的基本量与几何性质 1.2V2 2.22 3.2V6 4.4 5.B 6.B 亚27 7. 313 题型五：渐近线与离心率的互求 1.B 2.C 3.C 4.45 5.2 ,6 6.2 1.7 题型六：由定义求距离的最值 1.B 2.B 2/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.D 4.8 5.B 6.B 7.C 题型七：焦半径与焦点三角形 1.A 2.2 3.12 4.D 5.B 6 32, 7. 5/6.4 3/3 专题10 双曲线的定义、标准方程和性质的应用 题型一 双曲线的定义与轨迹方程 题型二 双曲线的标准方程 题型三 由方程判断双曲线与参数范围 题型四 双曲线的基本量与几何性质 题型五 渐近线与离心率的互求 题型六 由定义求距离的最值 题型七 焦半径与焦点三角形 题型一：双曲线的定义与轨迹方程 1．已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【解析】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 2．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【解析】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为. 　　 故选：B 3．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解析】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 4．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【解析】解：由题意可得， 化简得． 故选：B 5．已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【解析】圆 ，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 6．已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【解析】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 7．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【解析】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 题型二：双曲线的标准方程 1．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【解析】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 2．与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【解析】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 3．双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，所以，所以， 所以双曲线方程为. 4．与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【解析】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 5．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出双曲线的标准方程. 【解析】根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方， 所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且； 又，所以； 又1，即1， 解得，， 所以双曲线的标准方程是． 故答案为： 6．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为__________. 【答案】 【分析】设该双曲线方程为，代入，求解，再根据双曲线定义求解实轴长即可. 【解析】由题意知该双曲线与双曲线有公共渐近线， 故设该双曲线方程为，代入，得，解得 所以，故该双曲线的实轴长， 故答案为：. 7．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解的焦距. 【解析】由题可知与有相同的渐近线， 故设的方程为：， 点代入得：， 把代入所设方程得：， ，，因此，即，双曲线的焦距为. 题型三：由方程判断双曲线与参数范围 1．已知双曲线C：，则（　　） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【解析】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意得：，解得或. 3．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 4．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据双曲线的方程格式进行计算即可. 【解析】因为方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【解析】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 6．若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________. 【答案】 【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上，即可求出，进而求出双曲线的渐近线方程. 【解析】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上， 又双曲线的图象关于原点对称, 所以点， 在双曲线上， 所以，解得， 所以其渐近线方程为：. 故答案为：. 7．已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【解析】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 　　 题型四：双曲线的基本量与几何性质 1．双曲线的实轴长为_________ . 【答案】 【解析】将双曲线方程化为标准形式得. ∴ 该双曲线焦点在轴上，. ∴ ，双曲线的实轴长为. 2．双曲线的实轴长为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，即可求解. 【解析】由双曲线，可得，可得，所以双曲线的实轴长. 3．已知双曲线的焦距为10，则__________. 【答案】 【分析】利用焦距的定义及双曲线中三者的关系即可求解. 【解析】因为双曲线的焦距为10， 所以，解得， 由双曲线的标准方程可知，，解得或（舍去） 故答案为：. 4．已知双曲线，且，那么正实数______. 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，得出方程，即可求解. 【解析】因为双曲线，且， 由，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. 5．已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 6．已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 7．已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】/ 【分析】根据顶点坐标以及可直接计算出离心率. 【解析】由题意知，因为，则， 则双曲线离心率为, 故答案为： 题型五：渐近线与离心率的互求 1．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为双曲线C的一条渐近线方程为， 所以， 所以离心率. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的一条渐近线方程为，得， ，， 所以，化简得， 所以. 3．已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率列方程，求得，进而求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 4．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为，则，得， 则，故该双曲线的焦距为. 5．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 【答案】 【解析】由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得这条渐近线的斜率； 双曲线的渐近线为； ，，得； ，，； . 6．已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】设虚轴的一个端点，结合焦点，的坐标和，得到，再用平方关系化简，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率． 【解析】由双曲线的对称性不妨设双曲线方程为， 可得虚轴的一个端点，，， 因为，可得，两侧平方可得， 可得，所以，所以. 7．已知点在双曲线：上，则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为______． 【答案】 【解析】双曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，，即，. 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，代入参数得渐近线为，即 和 . 设双曲线上点的坐标为，根据点到直线的距离公式， 得点到两条渐近线的距离分别为：，. 两个距离的乘积为：， 因为点在双曲线上，满足，等式两边同乘得， 代入上式得. 题型六：由定义求距离的最值 1．记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【解析】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图： 　　 则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 2．已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（　　） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解析】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9． 　　 故选：B． 3．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【解析】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 4．设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______． 【答案】8 【分析】由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值． 【解析】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.当取最小值为4时，则面积的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线定义结合点到直线距离得出，再化简根据二次函数最值求解. 【解析】，又的最小值为点到的渐近线的距离，即，故. 当取最小值时，为直角三角形，且， 所以点纵坐标绝对值为，所以面积为， 由二次函数性质，当时，取最大值2， 所以面积的最大值为2. 故选：B. 6．已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【解析】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【解析】 的周长为 ， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 题型七：焦半径与焦点三角形 1．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【解析】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 2．双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则______． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义及已知可得，即可得. 【解析】由题设，双曲线参数，又， 则，所以. 故答案为：2 3．已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为__________. 【答案】12 【分析】根据双曲线定义求解. 【解析】由双曲线，得，，， 设其左右焦点为，， 则由双曲线的定义，得， 可设，则有(舍去或12， 故P在左支上，P到另一个焦点的距离为12. 故答案为： 4．已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线可得到渐近线方程，然后利用点到直线的距离算出，继而求得，根据三角形面积公式可得结果. 【解析】如图 　　 由题意可得双曲线的一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以. 故选:：D. 5．已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），若，且，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称性得到四边形为矩形，⊥，由双曲线定义和勾股定理列出方程，求出，得到，求出离心率. 【解析】设双曲线右焦点为，连接， 由对称性可知，，，， 因为，所以， 故四边形为矩形，⊥， 因为，所以， 由双曲线定义可得， 由勾股定理得， 由题意得， 即，解得， 故，解得， 离心率为. 故选：B 6．以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程、离心率及右焦点坐标，再利用圆的切线性质列式计算得解. 【解析】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点， 依题意，，所以. 故答案为： 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在双曲线的右支上有一个点，满足，则点的横坐标为________． 【答案】/6.4 【分析】设，由双曲线的定义得，即点在圆上，利用圆的方程与双曲线方程联立，求出. 【解析】由双曲线得，， 双曲线的右支存在一点， 由，，解得， 故点在以为圆心的圆上， 联立，可得，解得或（舍去） 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $