专题04 双曲线的标准方程和几何性质的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题04 双曲线的标准方程和几何性质的六种题型 题型一：双曲线的定义及应用 题型二：求双曲线的标准方程 题型三：双曲线的焦点三角形问题 题型四：双曲线的简单几何性质相关问题 题型五：双曲线的渐近线相关问题 题型六：求双曲线的离心率或离心率范围 题型一：双曲线的定义及应用 1．若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解出双曲线的方程，然后结合双曲线的渐近线的几何特征得到结果即可. 【详解】若，则点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 其方程为． 因为是该双曲线的一条渐近线， 整条直线在双曲线的外部区域，所以， 故选：C． 2．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 3．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 4．已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可求圆心轨迹. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设动圆圆心为，半径为r，则，且， 可得为定值，且， 所以动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支. 故选：B. 5．已知两点及直线l：①；②；③；④，在直线l上存在点P满足的所有直线方程是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】即，则将题意转化为双曲线右支与直线存在交点的问题即可. 【详解】即，故点P满足的方程为以为焦点，的双曲线的右支，则，，即. 其渐近线为，故①不满足，③满足； ②过，在焦点右侧，故满足； ④过，且斜率为，故不满足. 综上有②③直线与相交，即直线上存在点P满足. 故选：C 6．公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（    ） A．到两点距离相等的点的轨迹是直线 B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 【答案】D 【分析】判断到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断. 【详解】对于A，到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，正确； 对于B，以为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 则，设动点，由题意知, 即 ，化简为， 即此时点的轨迹为圆，B正确； 对于C，不妨设动点P到两点距离之和等于5 ，即，由于， 故到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以为焦点的椭圆，C正确； 对于D，设动点P到两点距离之差等于3 ，即,由于， 故到两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B侧的一支，D错误， 故选：D 7．方程可化简为 . 【答案】 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点 到点 的距离， 表示点 到点 的距离， 因此，方程可以理解为：， 根据双曲线的定义得：， ， 故双曲线方程为：， 又， 所以点在双曲线的上支上， 所以双曲线方程为：. 故答案为： 8．若将方程化简为的形式，则 【答案】 【分析】将方程两边取平方后整理成，再进行两边取平方，化简即得双曲线的轨迹方程，写出，计算即得答案. 【详解】由两边取平方， 可得， 整理得：， 两边再取平方，可得， 即，也即. 故，则. 故答案为：. 9．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则 . 【答案】2 【分析】先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    10．如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 【答案】 【分析】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为： 11．在中，是的中点，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，用距离公式表示条件，联立圆的方程与双曲线的方程，得到，的面积最大即求的最大值. 【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立如图8所示的平面直角坐标系， 则的面积只与点的纵坐标有关．    设的长为，则点既在以为圆心，为半径的圆上， 又在以为焦点，实轴长为的双曲线右支上， 联立圆与双曲线的方程有 两式相减并整理得． 当且仅当时取到等号，所以． 故答案为：. 12．在平面直角坐标系xOy中，利用公式①其中a，b，c，d为常数，将点的坐标变换为点，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将，称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示.依据以上信息，处理以下问题： (1)已知点按照二阶矩阵变换n次得到点，求点的坐标; (2)如图，将点绕原点O按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 (3)如图，y轴与直线是函数所对应的曲线C的两条渐近线，判断C是否为双曲线，若是请给予证明，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)坐标变换公式为 (3)是，证明见解析 【分析】（1）设，通过计算整理可得答案； （2）设，，则，，，利用两角和正弦及余弦公式计算即可； （3）设图象上任一点绕原点逆时针旋转后得到点，由（2）可知代入，得即可证明. 【详解】（1）记，由题意得即， 即 （2）设，，则，，， 故， ， 所以坐标变换公式为该变换所对应的二阶矩阵为 （3）曲线C是双曲线. 证明：考虑双曲线的图象关于两条渐近线的夹角的角平分线对称，设y轴与直线的角平分线与y轴所夹的锐角为，y轴与直线所夹的锐角为，则， 易知，，由于，所以，， 设图象上任一点绕原点逆时针旋转后得到点， 由（2）可知： 所以 代入，得，旋转后对应曲线方程为：， 即曲线C绕原点逆时针旋转后为焦点在y轴上，对称中心为坐标原点的双曲线，所以曲线C是双曲线. 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 13．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【答案】(1)的长度最短，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案； （2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 题型二：求双曲线的标准方程 1．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D，结合几何关系可得，，由勾股定理可得，化简即可求解. 【详解】如图，连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D， 则D为AB的中点，直线的倾斜角为30°，故，，， 所以，即，解得，故双曲线方程为． 故选：C 3．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 4．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 5．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的焦距的概念和双曲线的定义列方程求，可得双曲线方程. 【详解】设双曲线的半焦距为， 因为，所以， 由双曲线定义可得，又， 所以， 所以， 所以，， 双曲线的方程为 故选：D. 7．设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，，，则三角形为直角三角形，可得，，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程 【详解】设左焦点F的坐标为，由点F过直线， 所以，解得， 设右焦点为N，连接，，. 由，故三角形为直角三角形，即, 又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则. 又，则，， 由双曲线定义，则， 所以， 所以 所以双曲线C的方程为. 故选：D. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质，通过已知条件建立方程组求出双曲线方程中的参数、的值，进而得到双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，且焦距为.依题意得， ，.因此双曲线的方程为. 故答案为：. 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 10．已知双曲线，若两条直线与该双曲线有四个交点，则称该双曲线为“和谐双曲线”，请写出一个以为焦点的“和谐双曲线”的方程： ． 【答案】（答案不唯一，形如，其中且均可．） 【分析】根据定义写出一个答案即可. 【详解】由已知，，可取． 以为焦点的“和谐双曲线”的一个方程为. 故答案为：（答案不唯一，形如，其中且均可．） 11．已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程写出端点、焦点坐标，进而确定双曲线参数并写出双曲线C的方程. 【详解】椭圆的长轴端点为、焦点为， 所以双曲线的焦点为，实轴端点为， 设双曲线的方程为，即， 所以双曲线C的方程为. 故答案为：. 12．已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由点在双曲线上，和实轴长得到，求解即可； （2）①由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由题设条件，可得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； （2） ①因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得    ①， 在中，由余弦定理，得 ， 即    ②， 由①－②，得，即， 所以的面积； ②设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 题型三：双曲线的焦点三角形问题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的内切圆与线段，，分别相切于点，，，由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 3．已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【详解】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 5．设为坐标原点，是双曲线的两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义将用表示，再根据垂直关系，即可求解. 【详解】 因为，所以有，，， 所以， 根据双曲线的定义，， 设，则，又因为， 所以，即， ，解得或（舍去） 所以． 故选：A 6．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出的周长． 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 7．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】利用双曲线的定义即可列方程求解. 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 9．设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 【答案】2 【分析】对于双曲线，，，到渐近线的距离，由圆与C的一个公共点为A，与圆相切，在直角三角形中，由勾股定理求解即可. 【详解】 对于双曲线，，， 其渐近线方程为，， 到渐近线的距离， 所以圆的半径， 因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，， 由双曲线定义知，则， 在直角三角形中，根据勾股定理， 而，所以. 即，所以， 因为，解得. 故答案为： 10．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 11．已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 【答案】16 【分析】根据双曲线上的点的对称性可得，结合双曲线的定义得，设，则，利用对称产生的直角三角形结合勾股定理列式求解的值，从而得四边形的面积. 【详解】如图，因为关于直线对称，设交与， 则，且，    由双曲线定义可得，所以， 在中，， 设，则， 在中，由得①， 在中，由得②， 解①②可得：， 所以， 于是可得四边形的面积为. 故答案为：. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    14．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义和余弦定理得得解. 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 题型四：双曲线的简单几何性质相关问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以 , 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以 , 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 2．双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积． 【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 故选：B． 3．已知双曲线，为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A，两点，且，，则的一条渐近线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得出四边形为长方形.设，根据双曲线的定义可得.然后在中，根据正弦定理可得出，则有，求解得出的值，根据勾股定理即可得出，，进而即可得出答案. 【详解】 由已知结合双曲线的对称性可得，四边形为长方形. 所以，. 设，， 根据双曲线的定义可得，. 又，在中，有. 又，所以. 由正弦定理可得，，即. 又， ， 所以，， 所以，，即， 解得，， 所以，. 又， 所以， 所以，，，所以. 所以，双曲线的渐近线方程为. 所以，倾斜角为或. 故选：C. 4．已知双曲线上两点，关于轴对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，通过可得，进而可求得离心率. 【详解】设，，为双曲线的左顶点，所以， 那么， 又点在双曲线上，所以，得， 代入中，得， 所以，所以. 故选：D. 5．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （   ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可. 【详解】依题意可知，，， 因为，所以，所以，， 所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为， 由双曲线的对称性可知，双曲线的顶点到渐近线的距离为. 故选：B 6．双曲线的实轴长为，焦距为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之差. 【详解】由知双曲线的焦点在轴上，且. ∴，， 所以，，. 故选：C. 7．双曲线，左右顶点为为右支上一点且不重合，过点作轴于点，且，则 度． 【答案】20 【分析】设，，则为锐角，由题意结合斜率与倾斜角的关系以及点的坐标满足双曲线方程可得，再结合，即可求解. 【详解】不妨设，，则为锐角， ，， ，， ．    故答案为：20. 8．已知双曲线E与双曲线共渐近线且经过点，则双曲线E的标准方程为 ，顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）根据两个双曲线共渐近线，设双曲线的方程为，，再代入点的坐标，即可求双曲线方程和顶点坐标. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，得，即， 所以双曲线方程为，整理为， 顶点在轴，且，所以顶点坐标为. 故答案为：； 9．双曲线的实轴长与焦距之积为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之积. 【详解】由知双曲线的焦点在轴上，且， 故其焦距为， 故双曲线实轴长与焦距之积为. 故答案为：. 10．已知双曲线的离心率为，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为 . 【答案】 【分析】根据曲线方程确定曲线的对称轴，结合双曲线性质确定实轴所在直线，进而求顶点坐标，最后求出参数，即可得答案. 【详解】设在曲线上， 也在曲线上且也在曲线上， 曲线的两条对称轴分别为，而与曲线没有交点， 为曲线实轴所在的直线，联立， 则实轴端点为， ，而双曲线旋转前后离心率都为， 因为旋转前后虚轴长度不变， 的虚轴长为4. 故答案为：4 11．与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线（椭圆，双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．对圆，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若是圆的直径，是圆上一点（异于），均与坐标轴不平行，则． (1)试根据点和直径的特殊位置，写出椭圆和双曲线的类似结论； (2)对于任意位置满足条件的点和直径，证明（1）中的其中一个结论． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的左右顶点为，上顶点为，得，进而类比得到一般的结论，双曲线同理可求解即可； （2）是椭圆的一条直径，，设是椭圆上一点（异于），，进而结合椭圆的方程计算即可证明. 【详解】（1）解：对于椭圆，设左右顶点为，上顶点为， 所以，， 所以，一般地，若是椭圆的直径，是椭圆上异于的一点，且均与坐标轴不平行，则； 同理，一般地，若是双曲线的直径，是双曲线上异于的一点，且均与坐标轴不平行，则；同理可证明双曲线的结论． （2）证明：（椭圆）设是椭圆的一条直径，， 设是椭圆上一点（异于），， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以. （双曲线）设是双曲线的一条直径，， 设是双曲线上一点（异于），， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以. 12．某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点测得汽笛声的时刻晚（设海面上声速为）．若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积） （1）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？ （2）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由． 【答案】（1）；（2）船能由海上安全驶入内陆海湾，理由见解析． 【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支即可求解； （2）设直线的方程为，分和两种情况讨论，每种情况下分别设出直线与双曲线右支、直线的交点，判断其与位置关系即可求解． 【详解】（1）设轮船所在的位置为，由题意可得．因为， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支． 设点的轨迹方程为，则 ， 所以兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是. （2）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾． 设直线的方程为． 当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，则 ， 因为， 点在点的左侧，所以船不可能进入暗礁区． 当时，设与双曲线右支、直线分别交于点， 则， 因为，所以， 所以在点的右侧，所以船不可能进入暗礁区． 综上所述，在轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾． 题型五：双曲线的渐近线相关问题 1．已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题设，，可得，然后由不等式知识可得答案. 【详解】设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，长半轴为，则； 对于，其半焦距为，长半轴为，则， 则， 结合（当且仅当时取等号）及基本不等式， ， 当且仅当时取等号. 故选：D 2．已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：C． 3．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由离心率的定义得到，再利用关系求出，然后可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 由， 所以渐近线方程为. 故选：A 5．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆与双曲线计算出离心率，结合条件求得，再求出渐近线方程即得 【详解】对于椭圆，离心率为， 对于双曲线，离心率为， 因为，所以， 化简得，解得. 对于双曲线的渐近线为. 故选：D. 6．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线的右焦点，根据题意求出的坐标，利用中点坐标公式列式计算得的关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，如图所示： 过第一象限的渐近线方程为， 所以直线与直线交于点， 联立，解得：， 由是线段的中点， 所以’ 所以双曲线的渐近线方程为：， 故答案为：. 7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解即可. 【详解】作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 8．过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的对称性，取双曲线的左顶点为点，易得，设点，由条件推得，再利用点在双曲线上，整体消元后得到即得渐近线方程. 【详解】如图，取双曲线的左顶点为点，连接，因直线过原点， 得四边形为平行四边形， 则，设点，因， 又由可得代入上式，化简可得，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 9．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点､若轴，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】时根据直线过，求得半焦距的值，从而有，根据轴及双曲线的通径得到点的坐标代入直线方程，得到待定系数的另一个方程，解出，进而可得解. 【详解】因为直线过，则令，，所以，即， 因为轴，则令，，解得，则， 代入直线方程有，可得， 又因为，解得所以双曲线的标准方程为. 则其渐近线方程为. 故答案为：. 10．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可. 【详解】    由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 11．已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 / 【分析】设椭圆的半焦距为，则，由点的横坐标，得，代入双曲线方程得，则得，，即可求得椭圆的离心率和双曲线的渐近线方程. 【详解】 设椭圆的半焦距为， 则，，① 因为在方向上的投影向量为，点在第一象限， 所以点的横坐标， 代入椭圆的方程得， 又点在双曲线上， 所以，② 由①②解得，， 所以椭圆的离心率为； 双曲线的渐近线方程为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 12．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程. 【详解】设双曲线：， 将代入可得， 故双曲线：. 故答案为：. 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义可知轨迹，求出得解即可； （2）由题意求出点到轴的距离，利用三角形面积公式得解. 【详解】（1）因为， 由双曲线定义得，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线， 所以， 故的方程为． （2）由题意得，的渐近线方程为， 以为直径，则为直角，且， 从而得到点到轴的距离为， 所以四边形的面积． 14．已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为 (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线的方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【详解】（1）双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； （2）设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． （3）设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 题型六：求双曲线的离心率或离心率范围 1．已知双曲线，以其右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据圆与渐近线相切，可知圆心到渐近线的距离等于半径，据此建立方程求解即可． 【详解】由题意知圆心，双曲线的渐近线为， 不妨设其中一条为，因为圆与渐近线相切， 圆心到渐近线的距离， 即 即离心率为， 故选：B． 2．已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 3．已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，然后求解离心率的表达式，推出范围，即可得到选项 【详解】如图，设在右支上，    设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：A 4．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：D． 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】写出直线方程和双曲线交点坐标，联立方程组解得交点坐标，然后得到向量，由得建立方程，解得，然后由离心率公式求得结果. 【详解】直线， 联立方程组得，整理得或， 即，， 则，， ∵，∴， 即，∴或（舍去）， ∴离心率. 故选：A.    6．已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围 ． 【答案】 【分析】由双曲线焦半径公式得到结合存在四个点满足 得到，进而可求解. 【详解】双曲线的左准线方程为，设，在右支上， 由双曲线的第二定义可知，得， 再由，得， 即在右支， 同理可得：在左支， 又， ，， 即， 又， 即， 即存在四个点满足， 所以，由于，所以，即， 故答案为：． 7．已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解. 【详解】设，则有， 即，所以. 由题意知， 则. 所以，即. 将代入双曲线方程可得，即. 因为，所以，即. 由可得，所以离心率. 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为： 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据根据双曲线的定义、标准方程可得离心率. 【详解】因为双曲线， 所以，解得，即 故双曲线，所以，即 所以的离心率. 故答案为：. 9．已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】采用设点法，根据向量共线比例得，再将其代入双曲线方得到的表示，再根据得，联立得到的另一种表示，从而得到关于的齐次方程，转化为离心率方程，解出即可. 【详解】如图所示，设， 则，． 因为，所以， 因为，在双曲线上，所以， 又因为，所以是以为直径的圆与的交点， 所以．又， 联立得， 所以，整理得， 解得或（，舍去），所以． 故答案为： 10．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设点在双曲线的第一象限，设，，根据，由勾股定理，求得，在中，由余弦定理，列出方程，求得，进而得到双曲线的离心率. 【详解】设点在双曲线的第一象限，由轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得，所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 11．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线与交于另一点，若，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义及图形，再结合勾股定理计算得出，即可得出离心率. 【详解】如图，连接，，设，则， 由双曲线的定义可知，，， 设，则，. 在中，， 即，整理得，① 又，在中，， 即，整理得，② 由②①得，，则，所以，. 在中，， 即，化简得. 故答案为： 12．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，得到，，结合双曲线的定义，推出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以，， 因，由双曲线的定义，可得，即， 即，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 13．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； (2)已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用，可求出，再利用求出，可得的方程，再利用共轭双曲线的概念求解即可； （2）（i）假设两曲线方程 ，，根据离心率定义求证即可； （ii）据离心率定义求，再利用不等式求最值即可. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距长为，长轴长为，短轴长为， 由题意，，解得， 从而， 因为双曲线的中心在原点，焦点在上，所以的方程为， 从而它的共轭双曲线的方程为. （2）解：不妨设双曲线的标准方程为， 则的标准方程为，所以 （i）. （ii）， 因为，所以，（当且仅当时取等号） 所以，即的取值范围是. 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 49 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线的标准方程和几何性质的六种题型 题型一：双曲线的定义及应用 题型二：求双曲线的标准方程 题型三：双曲线的焦点三角形问题 题型四：双曲线的简单几何性质相关问题 题型五：双曲线的渐近线相关问题 题型六：求双曲线的离心率或离心率范围 题型一：双曲线的定义及应用 1．若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 3．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 5．已知两点及直线l：①；②；③；④，在直线l上存在点P满足的所有直线方程是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（    ） A．到两点距离相等的点的轨迹是直线 B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 7．方程可化简为 . 8．若将方程化简为的形式，则 9．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则 . 10．如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 11．在中，是的中点，，，则的面积的最大值为 ． 12．在平面直角坐标系xOy中，利用公式①其中a，b，c，d为常数，将点的坐标变换为点，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将，称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示.依据以上信息，处理以下问题： (1)已知点按照二阶矩阵变换n次得到点，求点的坐标; (2)如图，将点绕原点O按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 (3)如图，y轴与直线是函数所对应的曲线C的两条渐近线，判断C是否为双曲线，若是请给予证明，若不是请说明理由. 13．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条 折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 题型二：求双曲线的标准方程 1．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 10．已知双曲线，若两条直线与该双曲线有四个交点，则称该双曲线为“和谐双曲线”，请写出一个以为焦点的“和谐双曲线”的方程： ． 11．已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程为 . 12．已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 题型三：双曲线的焦点三角形问题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 5．设为坐标原点，是双曲线的两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 7．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 9．设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 10．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 11．已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 12．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 14．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 题型四：双曲线的简单几何性质相关问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 2．双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知双曲线，为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A，两点，且，，则的一条渐近线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线上两点，关于轴对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （   ） A．3 B． C． D．6 6．双曲线的实轴长为，焦距为，则（    ） A．1 B． C． D． 7．双曲线，左右顶点为为右支上一点且不重合，过点作轴于点，且，则 度． 8．已知双曲线E与双曲线共渐近线且经过点，则双曲线E的标准方程为 ，顶点坐标为 ． 9．双曲线的实轴长与焦距之积为 . 10．已知双曲线的离心率为，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为 . 11．与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线（椭圆，双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．对圆，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若是圆的直径，是圆上一点（异于），均与坐标轴不平行，则． (1)试根据点和直径的特殊位置，写出椭圆和双曲线的类似结论； (2)对于任意位置满足条件的点和直径，证明（1）中的其中一个结论． 12．某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点测得汽笛声的时刻晚（设海面上声速为）．若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积） （1）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？ （2）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由． 题型五：双曲线的渐近线相关问题 1．已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D． 2．已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 8．过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ． 9．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点､若轴，则双曲线的渐近线方程为 . 10．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 11．已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 12．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为 . 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 14．已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 题型六：求双曲线的离心率或离心率范围 1．已知双曲线，以其右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 2．已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围 ． 7．已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 . 9．已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为 . 10．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为 . 11．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线与交于另一点，若，，则的离心率为 . 12．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为 . 13．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； (2)已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $