重难专题07 双曲线（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题07 双曲线 常考题型·精准突破 考点一 双曲线概念及定义应用 题型1 双曲线的概念及定义应用 1．【答案】ACD 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】2 题型2 方程为双曲线满足的条件 7．【答案】D 8．【答案】BCD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 11．【答案】BCD 考点二 双曲线的焦点三角形 题型1 双曲线焦点三角形的应用 12．【答案】C 13．【答案】B 14．【答案】A 15．【答案】D 16．【答案】B 17．【答案】ACD 18．【答案】34 考点三 双曲线的方程 题型1 求双曲线的标准方程 19． 【答案】A 20．【答案】A 21．【答案】D 22．【答案】A 23．【答案】D 题型2 双曲线的轨迹方程 24．【答案】D 25．【答案】D 26．【答案】C 27．【答案】A 28．【答案】B 29．【答案】ACD 考点四 双曲线的最值问题 题型1 几何法求双曲线的最值 30．【答案】A 31．【答案】B 32．【答案】BC 33．【答案】ABC 34．【答案】(1) (2) 题型2 坐标法求双曲线的最值 35．【答案】B 36．【答案】A 37．【答案】B 38．【答案】B 39．【答案】D 考点五 双曲线离心率和渐近线 题型1 求双曲线离心率 40．【答案】C 41．【答案】A 42.【答案】D 43.【答案】A 44．【答案】 45．【答案】B 题型2 求双曲线的离心率取值范围 46．【答案】A 47．【答案】A 48．【答案】C 49．【答案】 50．【答案】 51．【答案】 题型3 求双曲线的渐近线 52．【答案】C 53．【答案】A 54．【答案】B 55．【答案】D 56．【答案】B 57．【答案】B 考点六 直线与双曲线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长 58．【答案】D 59．【答案】A 60．【答案】D 61．【答案】D 62．【答案】A 63．【答案】D 64．【答案】D 题型2 椭圆的中点弦和焦点弦问题 65．【答案】B 66．【答案】C 67．【答案】C 68．【答案】C 69．【答案】C 70．【答案】B 考点七 双曲线的定点、定值和最值 题型1 双曲线的定点、定值和最值 71．【答案】(1)(2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 72．【答案】(1)（）(2)（i）设（，），则，即， 则，同理可得， 因为，所以， 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值. （ii） 73．【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 74．【答案】(1) (2)①；②存在， 75．【答案】(1) (2)证明：如图，由题得，设，，的方程为， 联立得，消去并化简得， 则，，即， 且，. 因为，所以， 即， 化简得， 解得或，且均满足. 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 76． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 77．【答案】(1) (2)（i）依题意，直线的斜率必不为0，可设其方程为，， 联立，消元得， 则由，解得 由韦达定理，， 则， 为定值； （ii） 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】A 二、多选题 10．【答案】BCD 11．【答案】BCD 三、填空题 12．【答案】/ 13．【答案】 四、解答题 14．【答案】(1).(2)（ⅰ）,（ⅱ）. 15．【答案】(1)；(2)； (3)存在，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 双曲线 常考题型·精准突破 考点一 ：双曲线概念及定义应用 题型1 双曲线的概念及定义应用（重） 题型2 方程为双曲线满足的条件（高频） 考点二：双曲线的焦点三角形 题型1 双曲线焦点三角形的应用（高频） 考点三：双曲线的方程 题型1 求双曲线的标准方程（高频） 题型2 双曲线的轨迹方程（难） 考点四：双曲线的最值问题 题型1 几何法求双曲线的最值（难） 题型2 坐标法求双曲线最值（高频） 考点五：双曲线离心率 题型1 求双曲线离心率（高频） 题型2 求双曲线的离心率取值范围（难） 考点六：直线与双曲线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长（难） 题型2 双曲线的中点弦问题（难） 题型3 双曲线的焦点弦 考点七：双曲线的定点、定值和最值 题型1 双曲线的定点、定值和最值（难、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 双曲线概念及定义应用 题型1 双曲线的概念及定义应用 1．在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 2．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 3．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 4．过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键在于利用圆的切线性质和双曲线的定义，结合中点坐标公式，将转化为与双曲线的实轴长有关的表达式求解即可. 【详解】双曲线可化为， 可得， ，故双曲线的右焦点为， 由过点的直线与交于点，若的中点为, 在中，, 又直线与圆相切于点, ，且， 由双曲线的定义可得即 在中，, 因为为的中点，根据题意可知点在线段上，所以, 则. 故选：. 5．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则______． 【答案】2 【分析】根据圆的切线长定理，结合内心的性质、双曲线的定义、三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】设各边的切点为， 由圆的切线长定理可知， 由双曲线的定义可知： ， 因为， 所以，所以为双曲线的右顶点， 显然， 的横坐标为2，所以， 设过作直线的垂线交于， 因为点是内心,且 ， 所以，且是的中点， 所以， 由双曲线的定义可知：， 所以. 故答案为：2 题型2 方程为双曲线满足的条件 7．若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 【答案】D 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可. 【详解】由方程，得. 对于A选项，若曲线表示圆，所以，解得，即曲线可能是圆，A选项说法正确； 对于B选项，若曲线为双曲线，则，解得，B选项说法正确； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C选项说法正确； 对于D选项，若曲线为椭圆，则，解得且，D选项说法不正确. 故选：D. 8．当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合三角函数值的符号，曲线的方程，利用双曲线的标准方程的形式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时， 即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确； 对于B，当为第二象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确； 对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得 此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确； 对于D，当为第四象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确. 9．已知曲线，则下列说法正确的（   ） A．若，则曲线的焦距为4 B．若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为 C．若曲线表示椭圆，则 D．是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】对于A，若，则曲线的方程为， 表示焦点在轴上的椭圆，其焦距为，故A正确； 对于B，若，则曲线的方程为， 表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确； 对于C，法一：排除法当时，曲线的方程为，表示圆， 法二：若曲线表示椭圆则解得且，故C错误； 对于D，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 又因为，， 所以是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件，故D正确． 10．已知方程：，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．不存在，使方程表示圆 【答案】ABD 【分析】对实数的取值进行分类讨论，并化简方程，分析方程所表示的图形，即可得出合适的选项. 【详解】当时，曲线的方程为，即， 当时，曲线的方程为，即，故存在，使方程表示直线，C对； 当且时，曲线的方程可化为， 若方程表示椭圆，则，解得且，A错； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线，B错； 当时，曲线的方程为，方程表示圆，D错. 11．若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BCD 【分析】根据二元二次方程与曲线的关系列不等式求参数范围，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对； 对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对； 对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对. 故选：BCD 考点二 双曲线椭圆的焦点三角形 题型1 双曲线焦点三角形的应用 12．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 13．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 14．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 15．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义和标准方程，结合余弦定理即可求解. 【详解】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 17．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 【答案】ACD 【分析】根据条件，利用双曲线的定义求出，再由余弦定理即可求出，进而可得，即可判断出A、B和D的正误，再由平方关系和三角形面积公式，求出的面积，即可判断C的正误. 【详解】易知，则，又，所以，又，所以， 则，所以A正确， 对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误， 对于C，因为，则， 所以的面积为，故C正确， 对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确. 18．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 考点三 双曲线的方程 题型1 求双曲线的标准方程 19．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 20．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 21．已知双曲线的一条渐近线上的两点，若在轴正半轴上存在一点，使得取得最大值时，点恰为双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明米勒定理，根据该定理结合已知得出，再根据渐近线方程即可求解． 【详解】先证明米勒定理： 已知点是角的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大． 证明：如图，设是边上不同于点的任意一点，连结， 设与的外接圆交于点，则， 故最大． 又（弦切角定理）， 所以与相似，则， 于是：最大的外接圆与边相切于点证毕． 由米勒定理结合题意：当取得最大值时，点恰为双曲线的焦点， 所以， 依题意，双曲线的一条渐近线为，所以， 所以，则双曲线方程为． 22．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，得出焦点坐标和渐近线方程，进而得出向量坐标，结合且，构造方程组求出，联立渐近线方程得出，进而求出，从而求出双曲线的方程． 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得，， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 23．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 题型2 双曲线的轨迹方程 24．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 25．已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 26．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 27．已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 28．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 29．已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（   ） A．点的轨迹方程为 B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C．当时， D．过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A：借助垂直平分线性质可得，再利用可得，即可由双曲线定义得到点的轨迹方程；对B：设，可得，再表示出并计算即可得；对C：借助三角形内角和及诱导公式可得，再借助B中所得结合斜率与倾斜角的关系，利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；对D：取点关于对称点，可得的轨迹方程，则可得中点的轨迹方程，再利用三角换元法及辅助角公式计算即可得解. 【详解】又：，则，半径， 由为线段的垂直平分线，故， 又为上的任意一点，故， 由，则， 则或，则， 故点的轨迹为以、为焦点，的双曲线， 由、，故，则， 即点的轨迹方程为，故A正确； 对B：设在左侧，由点的轨迹方程为，故、， 设，则有，故， 则，故B错误； 对C：由，故， 则， 即， 由B知，又， ， 故， 即， 则， 即，故C正确； 对D：取点关于对称点，则， 故点的轨迹方程为， 由在上且，则为中点，则有，， 故，，即有， 化简得，故可设，，， 则，其中， 即的最大值为，故D正确. 考点四 双曲线的最值问题 题型1 几何法求双曲线的最值 30．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 31．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 32．分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 33．已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 34．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解； （2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 题型2 坐标法求双曲线的最值 35．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 36．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 37．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 38．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 39．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则， 故， 又，故， 又，故当时，取得最小值，且其没有最大值， 故的最小值为，无最大值. 故选：D 考点五 双曲线离心率和渐近线 题型1 求双曲线离心率 40．已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线 的渐近线方程为 . 由得 ，又， 所以离心率. 41．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由和点在双曲线上得到两个方程，利用平分得到角平分线定理，将线段比转化为离心率的表达式，联立方程消元后得到关于离心率的方程，解出并结合确定最终结果. 【详解】设，由得（1） 又在双曲线上：（2） 由平分，由角平分线定理得（3）， 由 (1)(2) 消去得（4）， 又 将 代入 (3) 的平方： 即，整理得（5）， 由(4)(5)得即 因为，所以，代入得 化简得，即， 解得，因为，所以 42．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用垂直直线联立求出A点坐标，由线段比例得到向量关系求出B坐标，代入双曲线方程得到a，b，c关系，再用椭圆、双曲线的定义求出椭圆长半轴，最后算椭圆离心率. 【详解】设，其中，，则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， ，故， ，， 由双曲线定义得，所以， 设椭圆的长轴长为， 由椭圆和双曲线共焦点和椭圆定义得， 所以椭圆半轴长为， 所以椭圆的离心率为. 43．已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，再由，得到关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 44．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】先用双曲线定义表示出两条焦半径长度，再对焦点三角形用余弦定理，建立关系式，算出离心率． 【详解】设，则， 由双曲线定义可得， 即， 所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得， 故离心率． 45．已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 题型2 求双曲线的离心率取值范围 46．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性确定双曲线渐近线斜率范围，进而求出离心率范围. 【详解】依题意，不妨设双曲线的方程为， 而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且， 由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限， 又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或， 而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点， 因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：， 则，， 所以该双曲线的离心率的取值范围是. 47．若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 48．直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 49．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 50．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量得到线段比例，构造相似三角形以及三角形中位线，证得为中点，利用勾股定理建立关系式，依据与的单调性取右顶点处的最小值建立不等式求解离心率. 【详解】如图： 由，得，过作直线的垂线，垂足为， 设（也就是直线）与交于点，因为，故， 于是，由相似比可得，又为的中点， 又，根据三角形中位线的判定，为的中位线，则， 所以，即，结合三点共线，， 推出，也就是为线段的中点，由，为直角三角形， 由勾股定理得， 在中有，将、代入， 整理得：， 当点在双曲线第一象限向右上方运动时，与的长度均单调递增， 因此代数式的最小值出现在无限靠近双曲线右顶点处， 此时，，则该式的最小值趋近于， 题目要求存在满足条件的点，只需最小值小于，即， 展开并化简得，两边同时除以可得，由离心率定义，得， 故双曲线离心率的取值范围是. 51．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 题型3 求双曲线的渐近线 52．设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 53．已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意解得，， 所以双曲线的渐近线方程为． 54．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 55．设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】首先求出线段的长度，再利用已知相切关系得到是等腰直角三角形，借助三线合一即可求出答案. 【详解】 因为双曲线的右焦点，渐近线方程是, 令渐近线的方程是, 所以到渐近线的距离, 因为,所以是的中点，又因为内切圆与三角形相切，所以, 又因为,所以是等腰直角三角形，所以, 同理，渐近线的方程是时,, 所以则的渐近线方程是. 56．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 57．设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 考点六 直线与双曲线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长 58．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，直线过，根据双曲线渐近线的斜率可得到取值范围. 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 59．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 60．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分在同一支上和在两支上两种情况讨论求解即可. 【详解】根据双曲线的性质，如果在同一支上，则的最小值为通径，即， 如果在两支上，则的最小值为实轴长，即． 因为，所以根据双曲线的性质，这样的直线有4条,如图. 故选：D．      61．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 62．已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及弦长公式计算即可． 【详解】因为双曲线离心率，所以． 由，得，所以双曲线方程为，右焦点为． 由题意知，直线的方程为，设， 联立，得， 所以， 则 ，所以． 故选：A. 63．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【详解】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 64．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出点到直线AB的距离和点到直线AB的距离即可求得答案. 【详解】设点到直线AB的距离为，点到直线AB的距离为， 对于双曲线，，， 所以， 所以，， 则， 所以. 题型2 双曲线的中点弦和焦点弦问题 65．直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，，由图可知 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为1，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：B.    66．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，过的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且，则　　 A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2.又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 选C 67．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 68．若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论已知点的位置，将点坐标代入双曲线方程得的范围，代入离心率公式，可得e的范围. 【详解】若点在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以为中点的弦， 此时，解得，则， 所以，符合题意； 若点在右焦点所在的双曲线外部，则， 设以为中点的弦与双曲线E交于两点， 则， 则，， 两式作差得，整理得弦的斜率， 因为存在该中点弦，所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点， 则，解得，所以， 则，符合题意. 综上，离心率的取值范围是. 故选：C 69．已知直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法可证，代入选项求和直线的方程，并判断直线与双曲线的位置关系，即可判断ABC；对于D：分析可知点在双曲线上，显然不合题意. 【详解】由双曲线方程可知：渐近线方程为， 设，，则， 可得直线的斜率，可得直线的斜率， 由题意可得：，两式相减可得， 整理可得，即. 对于选项A：若，则， 可得，即， 则直线l的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 因为，可知直线l与双曲线不相交，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，即， 则直线l的方程为，即， 此时直线l与渐近线重合，可知直线l与双曲线不相交，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，即， 则直线l的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 因为，可知直线l与双曲线相交，故C正确； 对于选项D：若，则， 可知点在双曲线上，不合题意，故D错误； 故选：C. 70．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 考点七 双曲线的定点、定值和最值 题型1 双曲线椭圆的定点、定值和最值 71．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 72．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 【答案】(1)（） (2)（i）设（，），则，即， 则，同理可得， 因为，所以， 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值. （ii） 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）（i）设（，），计算，，然后可求得，再结合已知可得证； （ii）设：，设，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，计算出与的面积之和并代入转化为关于的函数，结合导数知识得最值. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以，为焦点且实轴长为的双曲线的上支， 由，，得，， 故的方程为（）. （2）（i）略 （ii）依题意可得直线的斜率必然存在，设：，代入， 得，则恒成立， 设，，，， 则，，则， 因为，所以的面积 由（i）知，则，同理得的面积． 不妨设，，则与的面积之和如下， 为 ， 令，， 则 ． 因为，所以，则在上单调递增， 所以， 从而与的面积之和的最小值为. 73．已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）略 74．已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. （2）①求出直线的方程，与双曲线方程联立并求出弦长，进而求出三角形面积；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由点在双曲线上，得， 由离心率为，得，又，联立解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线，设， ①直线斜率为，由直线l过点及，得直线的方程为， 代入双曲线，得， ，， 所以． 又点到的距离为， 的面积为． ②设，当直线不垂直于轴时，设，， 代入双曲线，得， ，，， 因此 ， 当且仅当，即时，为常数，为常数， 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值. 75．已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明：如图，由题得，设，，的方程为， 联立得，消去并化简得， 则，，即， 且，. 因为，所以， 即， 化简得， 解得或，且均满足. 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论． 【详解】（1）因为双曲线：的一条渐近线为：， 所以，即. 又因为右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 所以双曲线的方程为． （2）略 76．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式列式求出即可. （2）（ⅰ）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出三角形面积的函数关系，进而求出最小值；（ⅱ）假定存在并设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合韦达定理化简求解. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为. （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为. （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为. 77．已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）依题意，直线的斜率必不为0，可设其方程为，， 联立，消元得， 则由，解得 由韦达定理，， 则， 为定值； （ii） 【分析】（1）联立双曲线方程和直线可利用根的判别式，整理得，得到，所以过点P且与直线l垂直的直线为，可得，所以即可求解； （2）（i）设直线方程为，，，联立方程，由韦达定理，，则为定值；（ii）设，，且，，联立方程得到，，，所以由（ⅰ）知，，则，代入得，所以. 【详解】（1）联立，消元得 因为，由，整理得， 因此，， 所以，其中 过点P且与直线l垂直的直线为， 可得，，依题意可得 由，，可得， 即点Q的轨迹方程为 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，，且， 联立，得，所以，同理可得 联立得，所以，同理可得 所以 由（ⅰ）知，，则， 代入得 因为，所以，设， 因函数在上单调递减，在上单调递增，故， 则，从而，，即 又因为， 所以的取值范围为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】画出图分析可知是等腰三角形，即，为的中点，为的中点，所以，然后结合双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，延长，交于点，    因为是的平分线，且，所以与全等， 所以，为的中点，为的中点，所以， 由于双曲线的左、右焦点分别为， 所以，，所以双曲线的定义可知：， 所以，即， 所以. 故选：A 2．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线定义知，，设，，则. 双曲线离心率，故. 在中，，由余弦定理得：， 又，代入得. 将、代入上式：. 化简得. 即，整理为. 因式分解得，因，故. 则，因此. 3．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 4．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意知：，，. 设，则，，则，， ，. 在中，，，， ，代入数据解得，， 所以. 5．已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离公式，结合函数单调性逐项确定范围即可． 【详解】对于， 不妨取，右焦点， 设，则，即， ， 在上单调递增， 当， ，故A错误； ， ，，故B错误； 而，， 即的取值范围为，故C正确； 设焦点到渐近线的距离为， ，，故D错误． 6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为.    椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，点关于的对称点分别为点，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（    ） A．42 B．21 C．63 D．84 【答案】B 【分析】根据给定条件可得，利用及双曲线定义求出实轴长.. 【详解】由点分别为线段的中点，为线段的中点，得， 而，则，解得， 由在双曲线的右支上，得的实轴长. 故选：B 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在中分别利用勾股定理可求得，结合双曲线中的数量关系求得，从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】如图， 设，则，，， 在中，由勾股定理：，即， 在中，由勾股定理：，即， 即，解得，∴， 则，所以渐近线方程：. 故选：C. 9．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合对勾函数的性质即可得答案． 【详解】设椭圆与双曲线的焦距，， 由题意， ，， ，， ， ， ，则， ， ，解得， 设，则，， ， 在上单调递增， ． 故选：A． 二、多选题 10．已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【答案】BCD 【分析】先由双曲线的定义及圆的切线长定理得，从而可得，进而可判断A错误；对B由向量的坐标运算可得，从而可判断渐近线方程；对C在焦点三角形中用余弦定理可得离心率；对D由勾股定理及双曲线的定义可得. 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 11．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则（  ） A．双曲线的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若的面积为，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合双曲线的定义和性质依次判定即可. 【详解】 如图所示，双曲线：，其中，， 左焦点，右焦点，渐近线方程， 设过左焦点的直线与渐近线平行，则直线的方程为， 联立，解得，所以点的坐标为， 对于A，由题意可知，，且为锐角， 则构造直角三角形，对边为，邻边为，斜边为， 所以，所以，而双曲线的离心率，故A错误； 对于B，若，则，即 由于向量， ， 所以，化简得， 由于，解得，，即，， 所以向量， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，且， 化简得，解得，故C正确； 对于D，若的面积为，由于的底边为， 高为点的纵坐标的绝对值， 所以，解得， 由C选项可知， 所以，故D正确. 三、填空题 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 13．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 四、解答题 14．已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1). (2)（ⅰ）, （ⅱ）. 【分析】（1）易知，再由离心率定义得到，再由得到，从而得到双曲线方程. （2）（ⅰ）先设直线方程并与双曲线方程联立得到  ①，  ②，再由可得到   ③，联立①②③可解得：，从而得到直线方程.（ⅱ）先通过向量数量积得到，再通过，从而得到，最后通过函数在上是单调递增函数，求得的取值范围. 【详解】（1）已知双曲线：的左焦点为，因此， 由离心率定义，代入可得：，即， 又因为，所以，将代入双曲线方程， 可得到双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，与双曲线方程联立： 消去整理得：， 设，，,，由韦达定理得：   ① ，           ②. 由双曲线的中心对称性可知：若直线与的另一个交点为，则. ， ， 又，即，即， 又因为，， 所以，即，即  ③， 联立①，③可得：，， 所以，即，解得： ，又因为，所以. 故直线的方程为，即. （ⅱ）因为，在双曲线上， 所以有，作差可得：， 即，即， 又，， 所以，即. 由弦长公式得：， ， ，， ， ，即， ， ， 函数在上是单调递增函数， 当时，， 当时，， 因此，的取值范围为. 15．已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 双曲线 常考题型·精准突破 考点一 ：双曲线概念及定义应用 题型1 双曲线的概念及定义应用（重） 题型2 方程为双曲线满足的条件（高频） 考点二：双曲线的焦点三角形 题型1 双曲线焦点三角形的应用（高频） 考点三：双曲线的方程 题型1 求双曲线的标准方程（高频） 题型2 双曲线的轨迹方程（难） 考点四：双曲线的最值问题 题型1 几何法求双曲线的最值（难） 题型2 坐标法求双曲线最值（高频） 考点五：双曲线离心率 题型1 求双曲线离心率（高频） 题型2 求双曲线的离心率取值范围（难） 考点六：直线与双曲线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长（难） 题型2 双曲线的中点弦问题（难） 题型3 双曲线的焦点弦 考点七：双曲线的定点、定值和最值 题型1 双曲线的定点、定值和最值（难、高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 双曲线概念及定义应用 题型1 双曲线的概念及定义应用 1．（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 2．已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 3．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 4．过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 5．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则______． 题型2 方程为双曲线满足的条件 7．若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 8．（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 9．（多选）已知曲线，则下列说法正确的（   ） A．若，则曲线的焦距为4 B．若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为 C．若曲线表示椭圆，则 D．是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件 10．（多选）已知方程：，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．不存在，使方程表示圆 11．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 考点二 双曲线的焦点三角形 题型1 双曲线焦点三角形的应用 12．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 13．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 14．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 15．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 18．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 考点三 双曲线的方程 题型1 求双曲线的标准方程 19．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 20．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的一条渐近线上的两点，若在轴正半轴上存在一点，使得取得最大值时，点恰为双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 22．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 23．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型2 双曲线的轨迹方程 24．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 25．已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 26．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 27．已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 28．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 29．（多选）已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（   ） A．点的轨迹方程为 B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C．当时， D．过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 考点四 双曲线的最值问题 题型1 几何法求双曲线的最值 30．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 31．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 32．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 33．（多选）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 34．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 题型2 坐标法求双曲线的最值 35．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 37．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 考点五 双曲线离心率和渐近线 题型1 求双曲线离心率 40．已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 41．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 42．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 43．已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 44．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 45．已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型2 求双曲线的离心率取值范围 46．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 49．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 50．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 51．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 题型3 求双曲线的渐近线 52．设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 53．已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 54．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 55．设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 56．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 57．设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 考点六 直线与双曲线的位置关系 题型1 直线与双曲线的关系求参或弦长 58．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 60．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 61．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 62．已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 63．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 64．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C．3 D．2 题型2 双曲线的中点弦和焦点弦问题 65．直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 66．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，过的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且，则　　 A． B．3 C．4 D． 67．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 68．若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 69．已知直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 70．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 考点七 双曲线的定点、定值和最值 题型1 双曲线的定点、定值和最值 71．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 72．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 73．已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 74．已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 75．已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 76．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 77．已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 2．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，点关于的对称点分别为点，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（    ） A．42 B．21 C．63 D．84 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 11．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则（  ） A．双曲线的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若的面积为，则 三、填空题 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 13．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 四、解答题 14．已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 15．已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $